精品解析：江苏省前黄高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

省前中2027届高一第一学期期中考试数学试卷 命题人:魏晴 审核人:高飞 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（ ） A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a 3. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 函数的值域为（　　） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍. A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，.若存在，使得，则的最大值是（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 18 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数，则（ ） A. f（x）的图象过点（-1，1） B. f（x）的图象过点 C. f（x）为奇函数 D. f（x）为偶函数 10. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则下面有关结论正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转换为集合问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是 C. 先递减后递增 D. 方程有且仅有一个解 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____________________. 13. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：; （2）若，求下列式子的值： ①; ②. 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且，使成立，求实数的取值范围． 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式． 19. 对于图象连续不间断的函数，若在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 省前中2027届高一第一学期期中考试数学试卷 命题人:魏晴 审核人:高飞 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2. 已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（ ） A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小. 【详解】解：由函数在上单调递增， 所以， 由于函数在上单调递减， 所以， 由于函数在上单调递增， 所以， 故. 故选：A. 3. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，解不等式即可求出答案. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以恒成立，所以， 解得， 故实数的取值范围是． 故选：B． 4. 函数的值域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域. 【详解】因为，所以，. 因此，函数的值域为. 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由，得，所以函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，故排除AC； 又，故排除D. 故选：B. 6. 针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别列出指数等式即可求解. 【详解】由题可知，，， 则有， 又因为，所以， 故选:C. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”并结合不等式，从而求解. 【详解】由于函数在上单调递减，又因为在定义域内是减函数， 所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递增，且， 所以得：解得：. .故的取值范围是：，故C项正确. 故选：C. 8. 函数，.若存在，使得，则的最大值是（ ） A. 8 B. 11 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】 令，原方程可化为存在，使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得的最大值. 【详解】因为存在， 使得， 故. 令，，则， 故，因为 故，故. 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到满足的条件，本题属于较难题. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 幂函数，则（ ） A. f（x）的图象过点（-1，1） B. f（x）的图象过点 C. f（x）为奇函数 D. f（x）为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的解析式分析函数的奇偶性，判断点是否在图象上即可求解. 【详解】因为， 所以， 故AB正确； 因为，关于原点对称， ， 所以是偶函数,故C错误，D正确. 故选：ABD 10. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则下面有关结论正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令，由，可求；B选项，令，得，令得，可得为奇函数；C选项，令，，且，得出即可；D选项，，由，得. 【详解】A选项，中，令得，， 又，故，故A正确； B选项，中，令，得，解得， 中，令得， 即，故为奇函数，B正确； C选项，中，令，，且， 故，即， 当时，，故，即， 故在上单调递增，C错误； D选项，，， 当时，，，故， 又在上单调递增，，所以，D正确. 故选：ABD． 11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转换为集合问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑. 结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是 C. 先递减后递增 D. 方程有且仅有一个解 【答案】AC 【解析】 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】依题意，， 对于A，，则的图象是轴对称图形，A正确； 对于B，设，，，则，如图， 线段轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即，因此，B错误； 对于C，设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则， ，则， 即，而在轴上点的右侧，， 因此，即 于是点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； 对于D，，， 设，则的解是和，有一个解， 由，得，两边平方解得或， 因此有三个解，D错误． 故选：AC 【点睛】思路点睛：将题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，利用数形结合使得较为复杂的函数问题得到解决. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数，列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，，解得， 所以所求函数的定义域为. 故答案为： 13. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨取，由可得，所以，函数在上为减函数， 且，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可. 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需， 设， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为， 所以， 当时，即时， ，此时， 因此由，而， 所以； 当时，即当时， 此时，此时， 因此由，而， 所以， 若时，即时， 若，即当时， 显然此时， 由，显然， 若，即当时， 显然此时， 因此由，而， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：; （2）若，求下列式子的值： ①; ②. 【答案】（1）；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得出所求代数式的值； （2）①②利用平方关系可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）①因为，则，所以，； ②由已知可得，因此，. 16. 设函数． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得； （2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意可知：方程的两根是，1 所以解得 【小问2详解】 由得 ，成立，即使恒成立， 又因为，代入上式可得恒成立． 当时，显然上式不恒成立； 当时，要使恒成立 所以，解得 综上可知的取值范围是． 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 【解析】 【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【小问1详解】 由题设，当时，令， 又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人， ∴，解得. ∴， 故时，， 所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人. 【小问2详解】 由（1）知：， ∵时，当且仅当等号成立， ∴上， 而上，单调递减，则， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2） 函数在上为减函数； 证明如下：任意且，则 因为，所以，又因为， 所以，所以， 即，所以函数在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质和求解即可. （2）利用函数单调性定义证明即可. （3）首先将题意转化为解不等式，再结合的单调性求解即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数， ；，解得， ∴，而，解得， ∴，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，，又，所以， 即解不等式，所以， 所以，解得， 所以该不等式的解集为． 19. 对于图象连续不间断的函数，若在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”.若，则称为的“稳定点”.将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，.已知函数. （1）当时，求函数的不动点； （2）若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出方程的解后可得不动点； （2）根据的判别式恒正可得关于恒成立的不等式，结合可求的范围； （3）记，则即为无解或其解为，故可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 设为不动点，由题知，即解得或， 函数的不动点为和. 【小问2详解】 因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理得到， 所以且恒成立. 由题知对于任意，恒成立， 令，，即， 解得或，又，所以. 【小问3详解】 当时，， ，有实根，所以，得到， 记，则关于的方程的解为方程组的解的值， 两式相减可得， ，即要使与有相同的解， 则与的的解集相同， 所以方程无解或其解与相同， 即无解或其解为， 所以，得到， 综上，所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $