精品解析：四川省通江中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

四川省通江中学高2027届高一期中数学试题 命题人：吴 昊 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知A为奇数集，B为偶数集，命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知，则（ ） A. 27 B. 18 C. 15 D. 25 7. 设是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数不是同一组函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 11. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 是的对称中心 C. D. 不等式的解集为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在幂函数的图象上，则______． 13. 函数为奇函数，则的值为_____． 14. 已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取范围是___________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为R，集合，． （1）求； （2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 16. 已知 （1）求ab的最大值； （2）求的最小值． 17. 我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． （1）试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 18. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，且，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围. 19. 已知二次函数满足，，若不等式有唯一实数解． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的最小值为． （i）求； （ii）解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省通江中学高2027届高一期中数学试题 命题人：吴 昊 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的． 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求，再由并集的定义求. 【详解】因为，， 所以，又， 所以， 故选：C. 2. 已知A为奇数集，B为偶数集，命题，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解. 【详解】命题，， 则，. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】解：由，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的概念，结合图像逐一分析，即可得到结果. 【详解】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 5. 关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由且不等于1， 由题意得，，解得. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. 27 B. 18 C. 15 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用平方公式、立方公式，集合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 7. 设是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 所以由， 函数该函数的周期为， ， 故选：B 8. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，解不等式组即可 【详解】函数在上单调递减， 则有，即 解得， 故选：C 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数不是同一组函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用相等函数定义对选项进行判断得解. 【详解】A. 定义域为 ，定义域为 , 不是同一组函数 B. 定义域为,定义域为不是同一组函数 C. 定义域为,对应关系一致 , 是同一组函数 D. 定义域为定义域为,不是同一组函数 故选：ABD 【点睛】相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的最小值为2 B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由时可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法求函数解析式可判断D. 【详解】A选项，当，，故A错误； B选项，且，当时，， 故函数（且）恒过定点，故B正确； C选项，由得：，故函数函数的定义域为，故C正确； D选项，，且， 故，D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 是的对称中心 C. D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D． 【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误； 又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误； 由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确， 故选：AD． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点在幂函数的图象上，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用待定系数法，求得函数解析式，根据幂的运算，可得答案. 【详解】设幂函数（α为常数），∴，∴，∴，． 故答案为：. 13. 函数为奇函数，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为为奇函数，所以对任意， 都有. 则， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，由图像可得要方程有8个相异实根，则必有2相异实根，且两根均在内，利用根的分布知识列不等式求解即可. 【详解】作出函数的图像如下： 令，则， 要方程有8个相异实根， 则必有2相异实根，且两根均在内 则，解得 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知全集为R，集合，． （1）求； （2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【小问1详解】 ∵，又， ∴． 【小问2详解】 ∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 16. 已知 （1）求ab的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可； （2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得. 【小问1详解】 由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 【小问2详解】 由， 得，且， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 17. 我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完． （1）试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润． （注：年利润=年销售收入固定成本变动成本） 【答案】（1） （2）当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解. 【小问1详解】 因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元， 依题意得，当时，， 当时，， 所以.； 【小问2详解】 当时，， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 因为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 18. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义证明； （2）若，且，求的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 则， 因为，则， 所以，即， 故在上单调递增. （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）利用（1）中结论，结合指数函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解； （3）将问题转化为在上的值域是在上值域的子集，再分别求出与的值域，建立不等式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由（1）知在上单调递增， 因为，且，， 所以，由于在上单调递增， 故，即，解得或. 【小问3详解】 对任意，总有，使得， 则在上的值域是在上值域的子集， 因为，所以在上单调递增， 故当时，所以的值域为， 当时，在上单调递增，所以的值域为， 由，可得，解得，故； 当时，，满足题意； 当时，由在时，，由对勾函数性质可知， 只需且，解得，故， 综上，，即的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是，将问题等价于在上的值域是在上值域的子集，从而得解. 19. 已知二次函数满足，，若不等式有唯一实数解． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上的最小值为． （i）求； （ii）解不等式． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）由已知得对称轴，从而设函数解析式为，由求得，再由不等式有唯一实数解，结合判别式求得，得解析式； （2）（i）根据二次函数性质分类讨论求得最小值；（ii）由的对称性，依照二次函数的知识方法分类讨论解不等式． 【小问1详解】 由可知的对称轴为， 设二次函数， 又，所以，所以， 又有唯一实数解， 所以有唯一实数解，即有唯一实数解， 所以方程的判别式，所以 所以． 【小问2详解】 ①的对称轴为， （Ⅰ）当时，在上为单调增函数，所以； （Ⅱ）当时，在上为单调减函数，所以； （Ⅲ）当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数， 所以； 综上： ②由①知且关于对称． （Ⅰ）当时， 只需，解得， 所以． （Ⅱ）当时， ，，， 解得，所以或． 综合（Ⅰ）（Ⅱ）得不等式的解集为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $