精品解析： 黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

虹桥中学2024-2025九年级上学期数学 期中试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解:∵， ∴的倒数是． 故选择A． 【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键． 2. 下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形； B．此图案不是轴对称图形，是中心对称图形； C．此图案是轴对称图形，也是中心对称图形； D．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，整式乘法公式，幂的乘方，同底数幂的除法；掌握相关运算法则是解题的关键．由合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法、完全平方公式，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】A．，故本选项错误； B．，故本选项正确； C．，故本选项错误； D．，故本选项错误； 故选：B． 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB． 【详解】∵=sinα， ∴AB=. 故选D. 【点睛】本题考查的是解三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键. 7. 如图所示，C是⊙O上一点，若，则∠AOB的度数为（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 140° 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，故可直接得到选项． 【详解】如图，，； 故选C． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 8. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°， ∴∠B=90°﹣25°=65°． ∵△CDB′由△CDB折叠而成， ∴∠CB′D=∠B=65°． ∵∠CB′D是△AB′D的外角， ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故选D． 9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，故A、B不符合题意，C符合题意； ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键． 10. 如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握由二次函数的图象确定二次函数中的符号是解题的关键．根据二次函数的图象确定二次函数中的符号，由与x轴的交点，确定方程的根，以及观察图象确定函数的增减性，再逐项分析即可． 【详解】①由二次函数的图象开口向上，可知， 与轴交于负半轴， ， ，故①正确； ②二次函数的图象，与x轴交于、点， 方程的根是；故②正确 ③二次函数的图象，与x轴交于， 由图象可知，当时，故③错误； ④观察图象可知，对称轴为， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 即当时，y随x的增大而增大． 所以正确的有①②④3个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 将5700 000用科学记数法表示为______． 【答案】5.7×106． 【解析】 【详解】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，∴5700000=5.7×106． 故答案为：5.7×106． 考点：科学记数法. 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，求不等式的解集，掌握分式的分母不能为0是解题的关键． 根据题意可得，由不等式的性质即可求解． 【详解】解：函数中，， ∴， 故答案为： ． 13. 计算：=______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，然后再合并同类二次根式． 【详解】解：= 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的减法，化成最简二次根式再计算，这是通常最直接的做法． 14. 把多项式分解因式的结果是______________________． 【答案】a（3a+b）（3a－b） 【解析】 【详解】解：==a（3a+b）（3a﹣b）． 故答案为：a（3a+b）（3a﹣b）． 15. 抛物线的顶点坐标是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式，熟悉掌握二次函数顶点式的图象和性质是解题的关键． 16. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，x＞−2， 解不等式②得，x≤3， 故此不等式组的解集为：−2＜x≤3． 故答案为：−2＜x≤3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 17. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积．根据扇形的面积公式直接进行计算． 【详解】解：设扇形的半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 故答案为：3． 18. 观察图中图形的构成规律，根据此规律，第个图形中有______ 个圆圈． 【答案】37 【解析】 【分析】将第个图形中圆圈划分成两部分，左边部分为的正方形，又边部分只有个，据此规律可得． 【详解】解：第个图形中，圆圈的个数为：个； 第个图形中，圆圈的个数为：个； 第个图形中，圆圈的个数为：个； 第个图形中，圆圈的个数为：个； 第个图形中，圆圈的个数为：个； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加或倍数情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 19. 在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P在直线BC上，且PC＝AB，则∠APB的正切值为_____． 【答案】1或##或1 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分在点左右两侧，两种情形讨论，进而根据正切的定义求解即可．直角三角形中，锐角的正切值等于这个角的对边与邻边长之比． 【详解】（1）如图①所示， BC＝2AB，PC＝AB， ∴P是BC的中点，即BP＝PC， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴tan∠APB＝＝1； （2）如图②所示， ∵BC＝2AB．PC＝AB， ∴BP＝3AB， ∴tan∠APB＝＝． 综上所述∠APB的正切值为1或． 故答案为1或． 【点睛】本题考查了求角的正切值，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 20. 已知，，D为中点，点E为中点，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、， 则，，，设，则，可得，即，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，如图，作于，则四边形是矩形，，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，D为中点，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正切，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简再求值：其中. 【答案】 【解析】 【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可. 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键. 22. 图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上； （1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8. 【答案】（1）如图，△ABC即为所求； （2）即为所求： 【解析】 【分析】（1）由题可知，点B满足这两个条件，说明点B在AC的垂直平分线上，说明点B在以AC为直径的圆上，故可作的垂直平分线及以为直径的圆，其交点即为所求；（2）由题可知，点D满足CA=CD，故可以为圆心，为半径作圆，交于一格点D，经计算的面积为8，故点D即为所求. 【详解】解；（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点； （2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点； 【点睛】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键. 23. 某中学对部分学生节能习惯进行了调查（指定五种节能习惯供选择，每人必须选一项），并将结果绘成了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）求在这次调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）补全条形图，并求出“用节能家电”在扇形统计图中圆心角的度数； （3）已知六年级有500名学生，七年级有400名学生，八年级有380名学生，九年级有320名学生，请估计全校所有学生中乘坐公交车上学的有多少人？ 【答案】（1）80人； （2）补全统计图如图； 45°； （3）520人 【解析】 【分析】（1）用A的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出抽查的学生人数； （2）根据B所占的百分比求出B的学生人数，再求出C的人数，然后求出D所占的百分比，乘以360°即可得到圆心角的度数；然后补全统计图； （3）用全校学生总人数乘以C所占的百分比，然后计算即可得解． 【详解】解：（1）∵A的人数是24，所占百分比为30%， ∴抽查的学生总人数为：24÷30%=80人； （2）B的人数：80×20%=16人， C的人数：80-24-16-10-4=80-54=26人， C所占的百分比为：×100%=32.5%， D所占的百分比为：×100%=12.5%， 用节能家电所占的圆心角为：360°×12.5%=45°， （3）（500+400+380+320）×32.5%=1600×32.5%=520人． 答：全校所有学生中乘坐公交车上学的有520人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 如图，在菱形中，、交于点O，，． （1）求证：； （2）不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）四边形，四边形，四边形，四边形． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，即可证明； （2）根据平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：图中的平行四边形：四边形，四边形，四边形，四边形． 【点睛】本题主要考查的是特殊平行四边形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？ （2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件． 【答案】 A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元； A种纪念品最多购进80件． 【解析】 【分析】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元，根据数量总价单价结合用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； 设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论． 【详解】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元． 设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件， 根据题意得：， 解得：． 答：A种纪念品最多购进80件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 26. 已知为的直径，，D为上一点，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点B作于E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点F，连接，若的面积为3，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：过点A作于，延长交于点，连接， ，为的直径， ， 均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查圆的有关性质及圆与四边形综合，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）连接，根据题意得到，再由圆内接四边形的性质可得的度数． （2）过点A作于，延长交于点，连接，证明，且为等腰直角三角形，即可得证； （3）连接，过点A作于，延长交于点，连接，则由及可得，即有；由，，得，而，，则可得；再证明四边形是矩形，则有 ，；设，则由（2）知，，；由得，从而有，则可求得；再由，由相似三角形的性质可求得；由面积为3建立方程即可求得x的值，从而求得． 【小问1详解】 解：连接， 为的直径，， ， ， 又四边形为圆内接四边形， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，过点A作于，延长交于点，连接； ∵是直径， ∴； 由（2）知， ∴ ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； 设，则， 由（2）知，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 即， 整理得：， 解得：（舍去）； 当时，； ∵面积为3， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题是圆的综合，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，弧、弦的关系，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，有较强的综合性，构造适当的辅助线是解题的关键． 27. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B（A左B右），交y轴于点C，． （1）求a值； （2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d关于t的关系式； （3）如图2，在（2）的条件下，在上取点E，作于H，F为第一象限内一点，连接，使，过点E作的垂线与过点F作的平行线交于点G，在上取点K，过点K作，若，，求P坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得 ，求出点的坐标，代入解析式，即可求解； （2），用待定系数法求得直线的解析式为，求出点的坐标，即可求解； （3）过作交的延长线于，在轴上截取，连接，延长交轴于，交的延长线于，连接，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证，，设，结合全等三角形的性质得，，由勾股定理得，可求出，同理可证，全等三角形的性质，过作交于，连接，由相似形的判定得，由相似形的性质得，由菱形的判定方法得四边形是菱形，由菱形的性质得，，设，由相似形的判定方法及性质同理可求，由三角函数得，可得，代入用表示的的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：当时， ， 解得：，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 将点代入方程，得 ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得 ， ， 设直线的方程为，则有 解得：， 直线的解析式为， ， ， ； 【小问3详解】 解：过作交的延长线于，在轴上截取，连接，延长交轴于，交的延长线于，连接，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 同理可证：， ， 在和中， ， ()， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：，（舍去）， ， ， 同理可证：， ， ， 过作交于，连接， ， ， ， ， 解得：， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，菱形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数等；掌握待定系数法，菱形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，能根据题意构建菱形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹桥中学2024-2025九年级上学期数学 期中试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 2. 下列图形既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图所示，C是⊙O上一点，若，则∠AOB的度数为（ ） A. 20° B. 40° C. 80° D. 140° 8. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 将5700 000用科学记数法表示为______． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 13. 计算：=______． 14. 把多项式分解因式的结果是______________________． 15. 抛物线的顶点坐标是_______. 16. 不等式组的解集是__________． 17. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为_____． 18. 观察图中图形的构成规律，根据此规律，第个图形中有______ 个圆圈． 19. 在矩形ABCD中，BC＝2AB，点P在直线BC上，且PC＝AB，则∠APB的正切值为_____． 20. 已知，，D为中点，点E为中点，，若，则_____． 三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简再求值：其中. 22. 图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上； （1）在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；（2）在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8. 23. 某中学对部分学生节能习惯进行了调查（指定五种节能习惯供选择，每人必须选一项），并将结果绘成了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）求在这次调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）补全条形图，并求出“用节能家电”在扇形统计图中圆心角的度数； （3）已知六年级有500名学生，七年级有400名学生，八年级有380名学生，九年级有320名学生，请估计全校所有学生中乘坐公交车上学的有多少人？ 24. 如图，在菱形中，、交于点O，，． （1）求证：； （2）不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形． 25. 某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？ （2）若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件． 26. 已知为的直径，，D为上一点，连接． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点B作于E，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点F，连接，若的面积为3，求的值． 27. 如图，二次函数的图象交x轴于A、B（A左B右），交y轴于点C，． （1）求a值； （2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d关于t的关系式； （3）如图2，在（2）的条件下，在上取点E，作于H，F为第一象限内一点，连接，使，过点E作的垂线与过点F作的平行线交于点G，在上取点K，过点K作，若，，求P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $