精品解析：江西省九江市第十一中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九江第十一中学2024—2025学年度上学期 期中考试试卷·初三数学 卷面满分：120分 答卷时间：120分钟 命题人：闵礼刚 审题人：汪茫 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件:①是整式方程，即等号两边都是整式;②只含有一个未知数;③整理后未知数的最高次数是2；根据定义即可解答． 【详解】解：A. 未知数的最高次数是3，故错误； B. 化简后得：，是一元一次方程，故错误； C. 当时，不是一元二次方程，故错误； D. 合一元二次方程的定义，故正确 故选：D． 2. 如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，证明出是的中位线是本题的关键．根据菱形的性质得出， ，，根据三角形中位线定理得出，得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵是边的中点，， ∴是的中位线， ， ∴， ， 故选：C． 3. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设阔为步，则长为步，根据长方形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：设阔为步，则长为步， 可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程． 4. 如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，根据中位线的性质得出，，则，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围值是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围． 【详解】根据题意得：△＝b2−4ac＝4−8（k−1）＝12−8k＞0，且k−1≠0， 解得：且k≠1． 故选：C． 【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键． 6. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件用可证明两三角形全等；②过点作的延长线于点，利用勾股定理可求，利用为等腰直角三角形，可证为等腰直角三角形，再利用勾股定理可求，；③利用①中的全等，可得，再结合三角形外角性质可证；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积，从而可得答案． 【详解】解：①， ． ， 在正方形中，，， ． 在和中， ， ， 故①正确； ③， ， 又，， ． 即，故③正确； ②过点作的延长线于点，如图， ，， ． 又， ． ， ． ， ， 即点到直线的距离为，故②正确； ④，， 在中，， ， 故④不正确． 综上所述，正确结论的序号为①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正方形面积的计算，勾股定理等知识，等腰直角三角形的性质，证明，进而结合全等三角形的性质分析是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 8. 在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设四个小组分别记作A、B、C、D， 画树状图如图： 小明和小亮所有分组的情况共16种，小明和小亮被分在同一组的情况有4种，所以小明和小亮被分在同一组的概率为. 故答案为：. 考点：概率. 9. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，求代数式的值，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在矩形中，、交于点，为边上一点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，根据矩形的性质可得，再由勾股定理可得，再证得，可得，，从而得到，然后由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 11. 如图，在中，，是上一点，且，，，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理与平行线的性质，解题关键利用勾股定理求得的长度，由相似三角形的判定和性质得到，推出．从而求得的长度，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴，即 ∴． 故答案为：． 12. 在矩形中，，，点是的中点，连接，在平面内有一动点，若与全等时，则________． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，以的中点为圆心为半径作圆，得出点的位置，进而分别求得即可求解． 【详解】解：∵矩形中，，，点是的中点， ∴ ∴， 如图所示，以的中点为圆心，为半径作圆， 当在上时，与全等， 则， ∴四边形是矩形，则 ∴， 当关于对称时，设交于点，则， ∴， ∴， 当关于对称时，连接，则四边形是矩形， ∴ 又∵，且， ∴四边形是矩形， ∴ 综上所述， ，， 故答案为：，，． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化为，再开平方即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据配方法得出，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴，即 ∴ ∴ ∴， 解得： 14. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能， ∴选中东关街的概率是， 故案䅁为：； 【小问2详解】 列表如下： 小亮 小明 C D E C D E 共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种， ∴小明和小亮选到相同景区的概率：； 答：小明和小亮选到相同景区的概率． 15. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元．平均每周可售出顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶．该商店若希望每周获利元，则每顶头盔应降价多少元？ 【答案】每顶头盔应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每顶头盔应降价x元，则平均每周可售出顶，再根据“每周获利3000元”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ， 答：每顶头盔应降价元． 16. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，以点E、F为顶点作正方形EGHF； （2）在图②中，连接AE、BF交于点P，以点P为顶点作正方形． 【答案】（1） 如图，四边形EGHF即为所求作． ； （2） 如图，四边形PNML即为所求作． ． 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD，AC交BD 于点O，连接EO，延长EO交AD于H，连接FO，延长FO交AB于G，四边形EGHF即为所求作； （2）同（1）作出四边形EGHF，连接CH、DG，CH交DG于点M，DG交AE于点N，CH交BF于点L，四边形PNML即为所求作 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 17. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． （1）求的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定 （1）根据，得，得，根据，，即可求出； （2）由（1）得，根据，得，得，即可求出． 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴ ∴，即 又∵且 ∴ ∴． 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） ∵分别是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理： （1）先证明是的中位线，进而可证明，再由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得到结论； （2）利用三角形中位线定理得到，再根据求出，由菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）可得是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 19. 已知：关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程行两根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：，， ， ， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 20. 如图，在四边形中，平分，． （1）求证：∽； （2）点是边的中点，连接，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似判定与性质，勾股定理及直角三角形的性质： （1）根据平分得到，结合，即可证明； （2）先利用勾股定理求出，再根据，得到，求出，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴都是直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点，是直角三角形， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． （1）直接写出________，________（用含有的代数式表示）； （2）求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； （3）四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3） 解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 【解析】 【分析】此题考查列代数式，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）根据路程=速度×时间解答即可； （2）根据可表示出四边形的面积，利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（2）的结论建立方程求解判断即可． 【小问1详解】 解：∵运动的时间为t，点P的速度为，点Q的速度为， ，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：． ， ． 【小问3详解】 略 22. 【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为．求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形． （3）如图3，，是四边形的对角线，，若，，，，分别为，，，的中点．设，．求关于的函数关系式． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）证明：在菱形中，，，， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接，， 在菱形中，，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵，，，分别为，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， ∵，，． ∴ ∴ 即． 【点睛】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，函数关系式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①， ② （2）三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）略 （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江第十一中学2024—2025学年度上学期 期中考试试卷·初三数学 卷面满分：120分 答卷时间：120分钟 命题人：闵礼刚 审题人：汪茫 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形中，，交于点，若是边的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步．”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围值是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④，其中正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则________． 8. 在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是______． 9. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 10. 如图，在矩形中，、交于点，为边上一点，若，，，则的长为________． 11. 如图，在中，，是上一点，且，，，连接．若，，则的长为________． 12. 在矩形中，，，点是的中点，连接，在平面内有一动点，若与全等时，则________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程 （1） （2） 14. 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 15. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元．平均每周可售出顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶．该商店若希望每周获利元，则每顶头盔应降价多少元？ 16. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中，以点E、F为顶点作正方形EGHF； （2）在图②中，连接AE、BF交于点P，以点P为顶点作正方形． 17. 如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，． （1）求的值； （2）的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的长． 19. 已知：关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程行两根分别为，，且满足，求的值． 20. 如图，在四边形中，平分，． （1）求证：∽； （2）点是边的中点，连接，若，，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． （1）直接写出________，________（用含有的代数式表示）； （2）求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； （3）四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 22. 【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为．求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形． （3）如图3，，是四边形的对角线，，若，，，，分别为，，，的中点．设，．求关于的函数关系式． 六、（本大题共12分） 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $