专题强化训练04：数列求和与不等式求法题型归纳【7大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化训练04：数列求和与不等式求法题型归纳 【题型归纳】 · 题型一、分组法求和 · 题型二：并项法求和 · 题型三、倒序相加法求和 · 题型四、错位相减法求和 · 题型五、裂项相消法求和 · 题型六：数列与不等式的交汇 · 题型七：数列求和的其他方法 【题型探究】 题型一、分组法求和 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，结合等比数列的定义分析判断； （2）由（1）可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因点在直线，则. 可得， 即，且， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即 所以. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出等比数列的公比，从而求得. （2）利用分组求和法求得数列的前项和． 【详解】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列， 所以． 设数列的公比为，则， 解得，或（舍）， 所以． （2）由（1）知， 因为，所以， 设数列的前项和为， 则 ， 即数列的前项和为． 3．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，首项，公差，． (1)证明是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先得到数列的通项公式，利用等比数列的定义证明数列是等比数列； （2）由（1）的数列的通项公式，再利用分组求和可得. 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，所以， 当时，，且， 所以数列是以3为首项，以9为公比的等比数列. （2）由（1）得：， 所以 . 题型二：并项法求和 形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 4．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关系，可得是等比数列，求得答案； （2）由（1）求出，根据分组求和求得答案. 【详解】（1）因为，所以当时，， 所以，即. 当时，，解得， 则是首项为1，公比为3的等比数列， 故． （2）由（1）可知当为奇数时，； 当为偶数时，. 当为奇数时， ， 当为偶数时， . 综上，. 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 6．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2)5150. 【分析】（1）根据给定条件，建立首项、公差的方程，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用并项求和法求解即得. 【详解】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 题型三、倒序相加法求和 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 8．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 9．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 题型四、错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．　 10．（2025·全国·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，，成等比数列得：求出，即可得的通项公式； （2），，用错位相减法化简可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，，，成等比数列得：，即， 解得或（舍去）， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得，所以， 所以， ① ， ② ①-②得： ， 所以. 11．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）在数列中，. (1)若，求证：为等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【分析】（1）将已知条件代入化简即可得证； （2）利用（1）中结论求出的通项，然后根据分组求和法和错位相减法求和可得. 【详解】（1）因为， 所以 ， 又，所以是以为首项和公差的等差数列. （2）由（1）可得，， 所以， 记数列的前项和为， 则， ， 两式相减得：， 所以， 所以. 12．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前项的和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等边数列， 则， 故 （2）， 故 则 故 故 则 题型五、裂项相消法求和 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－.⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 13．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的基本量运算，可得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可得数列的前项和． 【详解】（1）由及，得， 两式相减，得， 即， 所以， 由，得， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），得， 所以. 14．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． (1)求数列和的通项公式： (2)设的前项和，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见详解 【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和得证. 【详解】（1）由题，设数列的公比为（），的公差为， 由，即， 解得，， 又，即， 解得，. 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由（1）得，， 所以 ， ，， 所以. 15．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)当时，取最大值； (3). 【分析】（1）根据给定条件，结合变形等式，再利用等比数列定义求出通项. （2）求出，作差并探讨数列的单调性求出最大项. （3）求出，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 当时，，即，当时，，即， 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 所以. 题型六：数列与不等式的交汇 16．（24-25高三上·山西大同·期中）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求出、的值，根据等差数列和等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式； （2）求得，然后对分偶数和奇数两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式； （3）求出数列的通项公式，分析数列的单调性，可求出数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，解得， 所以，. 设的公比为，因为，， 解得，所以，. （2）因为， 当为偶数时， ． 当为奇数时，． 所以，. （3）因为，． 令， 则， 当时，，即， 当时，，即， 所以，数列的最大项为， 因为恒成立，所以，，即实数的取值范围为． 17．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由累加法求的通项公式，由等比数列定义求的通项公式； （2）由等比数列求和公式、错位相减法即可求解； （3）求得，注意到，故可由作商法得的单调性，结合已知即可得解. 【详解】（1），时， ，所以， 而， 综上所述的通项公式为， 因为，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，从而； （2）由题意，所以， 所以， 所以； （3）令，则， 从而，注意到， 因为满足不等式的正整数的个数为3， 所以当且仅当的取值范围. 18．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1） 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； （2）由（1）可知，由错位相减得出； （3）设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 （2）可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. （3）设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 题型七：数列求和的其他方法 19．（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）根据定义求出，再求； （2）由定义得，再求即可. 【详解】（1）由题意可得时，， 故； （2）当时，代入公式可得， 且， 故当时， 时，，代入上式也成立. 综上，. 20．（23-24高三上·广东广州·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果可知，再分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【详解】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为， 所以， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以 21．（23-24高三上·河南·期中）记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由知为等差数列，然后求出的通项公式，利用化简，得到与关系，求出数列的通项公式. （2）对化简，分n为奇数和偶数，求出数列的前n项和，从而确定最值. 【详解】（1）因为，所以为等差数列. 因为，，所以. 所以数列的首项为1，公差为，所以. 所以，即. 当时，， 所以，化简可得. 所以，所以数列是常数列，即， 所以. （2）由（1）可知. 所以 . 当n为奇数时，，是关于n单调递减的数列，所以，即； 当n为偶数时，，是关于n单调递增的数列，所以，即. 所以的前n项和的最大值为，最小值为 【专题训练】 22．（24-25高三上·山东）已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为,根据等差数列通项公式及前n项和公式得到方程组，解出即可； （2）首先得到，再利用错位相减法求和即可得到答案. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,则 ∵，∴，解得 ∴数列的通项公式为. （2）由（1），得， ∴数列的前项和 ∴   ∴ 所以 23．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由当时，；当时，，计算即可得到所求通项公式； （2）运用裂项相消法求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数的最小值． 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，满足上式，所以. （2）由 . 所以，即的最小值为. 24．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知等差数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列前n项和及下标和性质得，进而写通项公式； （2）由，结合的公差，分组求和即可得结果. 【详解】（1）由题设，而， 所以，的公差，故其通项公式为. （2）由，则 . 25．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为 【详解】（1）等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 （2），， 所以数列的前n项和. 26．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，利用等比数列的概念即可求解等比数列通项； （2）结合（1）的结论，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）因为数列的首项为1，且， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据所证数列的结构，可知对题目所给等式取倒数，然后移项即可证明，然后求出数列 的通项，变形即可的通项； （2）用列项求和的方法即可. 【详解】（1）因为， ， 即， 数列是首项， 公差的等差数列， 故， （2）因为， =. 28．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可； （2）利用错位相减法，结合一次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1），当时，， 当，时，，， 两式相减得：为非零定值，而， 即是以1为首项，公比的等比数列，所以； （2）， 所以， ， 两式相减：， 由得，， 即存在使成立， 随着增大，在减小， 当时，， 故求的取值范围是． 29．（23-24高二上·四川内江·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)是等比数列，； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用求得且，注意验证，即可判断是否为等比数列，进而写出通项公式； （2）由（1）得，裂项相消法求，即可证结论. 【详解】（1）由题设，即，且， 又时，，可得， 综上，是公比为2的等比数列，通项公式为. （2）由题设，故， 所以 ，又， 所以，得证. 30．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)，记数列的前n项和为，若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式列方程组求解 （2）裂项相消法求出，求其最值，得答案. 【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，由题意得 所以数列的通项公式为 （2） ， 由恒成立，可知． 31．（23-24高二上·河北秦皇岛·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等比数列的公比为，由，，成等差数列和，列方程组求出和，可得数列的通项公式； （2），裂项相消求得，由，可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，，成等差数列知，， 即， 所以，有，即或. ①当时，，不合题意； ②当时，，得， 所以等比数列的通项公式； （2）证明：由（1）知， 所以， 所以数列的前n项和， 由，可得. 32．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列基本量的计算即可求解； （2）首先得，由裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 成等比数列， 则， 即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 33．（23-24高二下·宁夏吴忠·期末）已知递增的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解首项和公比即可， （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等比数列公比为， 由题意有，解得， 所以． （2）， 所以， ， ． 34．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证. 【详解】（1）由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以 所以， 当时，单调递增，故． 35．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解的通项公式； （2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解. 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 当时，， 因为也适合上式， 所以， 设数列的公比为，因为， 所以，解得， 又，所以； （2）由题意得， 设数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以， 两式相减得， 所以， 故. 36．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知数列是等差数列，为的前项和，且，． (1)求与； (2)记集合，，若将中所有元素从小到大依次排列成一个新的数列，为前n项和． （i）求； （ii）求满足的最小正整数的值． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）23 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，进一步即可求解； （2）（i）直接根据的定义来求解即可；（ii）考虑到的单调性以及，即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得解得 所以， ． （2）与集合相比，元素间隔大， 所以在集合中加入几个中的元素来考虑． （i）． （ii）考虑到，，． 易知为递增数列，则满足的最小正整数的值为23． 37．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）利用递推公式逐项计算可得出、、的值； （2）由已知条件可得出，利用等比数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （3）设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得出的值，结合已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式，利用裂项相消法求出，结合数列的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为知数列满足：，且， 由，可得， 由，可得， 由，可得. （2）解：由可得，且， 所以，数列是公比和首项都为的等比数列， 所以，，故. （3）解：设等差数列的公差为，且， 因为，可得， 因为、、成等比数列，即， 因为，解得，所以，， ， 且数列的前项和为，则数列单调递增，所以，， 因为， 综上所述，对任意，. 38．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知是数列的前项和，若. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题设可得，利用的关系得，进而有，即可证结论； （2）（ⅰ）应用分组求和、等差数列前n项和公式求，根据二次函数性质确定最大值对应的n；（ⅱ）应用分组求和得，利用等差数列前n项和公式求结果. 【详解】（1）因为，所以是为首项，以为公差的等差数列， 所以，即①，则②， 由②-①，得，即， 所以，即，所以数列为等差数列. （2）（i）由题意及（1），在等差数列中，故. 则，故当时取最大值. （ii） . 39．（24-25高二上·江苏苏州·期中）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 (1)求数列的和公比； (2)若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； (2) 由(1)可知，由错位相减得出，再设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 （2）解：可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. 设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 40．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，其前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知代入,结合等差数列基本量可得通项公式； （2）应用等差等比求和公式结合分组求和计算. 【详解】（1）由题意，当时，，即，所以， 当时，，即，所以， 设公差为，则，故． （2）由题设． 41．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合数列第项与前项和的关系变形，再利用等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由时，，知数列是等差数列， 由得，知数列的公差为1， 则， ， 当时，，且也满足上式， ， ，由为定值，知数列是等比数列. （2）易得， 则 则 两式相减得， 化简得. 42．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和．若，且数列满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求证：数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由与的关系，仿写作差后求出数列的通项，再代入所给方程求出数列的通项即可； （2）等差与等比数列相乘求和，采用错位相减法，乘以等比数列的公比，再求和即可； （3）先证明数列为递减数列，求出最大值，再解一元二次不等式求解即可； 【详解】（1）由题意知， 当时，，所以． 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． 因为，所以， 所以，令，可得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，可得 ， 所以，所以． （3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于． 因为， 所以，所以数列的最大项为和，且． 所以，即， 解得或，即实数的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化训练04：数列求和与不等式求法题型归纳 【题型归纳】 · 题型一、分组法求和 · 题型二：并项法求和 · 题型三、倒序相加法求和 · 题型四、错位相减法求和 · 题型五、裂项相消法求和 · 题型六：数列与不等式的交汇 · 题型七：数列求和的其他方法 【题型探究】 题型一、分组法求和 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列． (1)求的通项公式． (2)设，求数列的前项和． 3．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，首项，公差，． (1)证明是等比数列； (2)求数列的前项和． 题型二：并项法求和 形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解． 4．（24-25高三上·河北沧州·期中）设数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 5．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 6．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 题型三、倒序相加法求和 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 8．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 9．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 题型四、错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．　 10．（2025·全国·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项之和. 11．（24-25高三上·河北承德·阶段练习）在数列中，. (1)若，求证：为等差数列； (2)求的前项和. 12．（24-25高三上·江苏苏州·期中）已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前项的和. 题型五、裂项相消法求和 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－.⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 13．（24-25高三上·四川南充·阶段练习）在等比数列中，公比，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和为. 14．（24-25高三上·河北邯郸·期中）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和． (1)求数列和的通项公式： (2)设的前项和，求证：． 15．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的最大项，以及取得最大项时的值． (3)已知，求数列的前项和． 题型六：数列与不等式的交汇 16．（24-25高三上·山西大同·期中）已知是首项为的等差数列，其前项和为，，为等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 18．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 题型七：数列求和的其他方法 19．（23-24高二下·河南·期中）定义表示不超过的最大整数，已知，记数列的前项和为. (1)求的值; (2)已知是正整数，求. 参考公式:. 20．（23-24高三上·广东广州·期中）已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前n项和为，求数列的前项和. 21．（23-24高三上·河南·期中）记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 【专题训练】 22．（24-25高三上·山东）已知等差数列的前项和为，数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 23．（24-25高二上·福建·期中）已知数列的前项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意正整数，都有，求实数的最小值. 24．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知等差数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求 25．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求． 26．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 27．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求． 28．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列的前项和满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 29．（23-24高二上·四川内江·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； (2)设，数列的前项和为，证明：. 30．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列是等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)，记数列的前n项和为，若对于任意，都有，求实数的取值范围． 31．（23-24高二上·河北秦皇岛·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：数列的前n项和. 32．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 33．（23-24高二下·宁夏吴忠·期末）已知递增的等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 34．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 35．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 36．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知数列是等差数列，为的前项和，且，． (1)求与； (2)记集合，，若将中所有元素从小到大依次排列成一个新的数列，为前n项和． （i）求； （ii）求满足的最小正整数的值． 37．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列满足：，且，等差数列的公差为正数，其前项和为，，且、、成等比数列． (1)求、、； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)若，数列的前项和为，求证：． 38．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知是数列的前项和，若. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 39．（24-25高二上·江苏苏州·期中）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 (1)求数列的和公比； (2)若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 40．（24-25高二上·全国）已知数列为等差数列，其前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和． 41．（23-24高二下·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：. (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列，数列的前项和为，求. 42．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前n项和．若，且数列满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求证：数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$