专题强化训练03：高中数列通项公式的常考求法归纳【8大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化03：高中数列通项公式的常考求法归纳 【题型归纳】 · 题型一：累加法求通项公式 · 题型二：累乘法求通项公式 · 题型三：an与Sn的关系求通项公式 · 题型四：观察法求通项公式 · 题型五：构造法求通项公式 · 题型六：定义法求通项公式 · 题型七：由递推公式求通项公式 · 题型八：求通项公式的综合问题 【题型探究】 题型一：累加法求通项公式 若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项. 1．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 2．（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 题型二：累乘法求通项公式 若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项. 4．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 5．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2 023＝ 题型三：an与Sn的关系求通项公式 题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝来求解. 7．（24-25高二上·山东青岛）已知数列满足，若，则的通项公式为 . 8．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·甘肃兰州）在数列中，，则的通项公式为 . 题型四：观察法求通项公式 10．（24-25高二·上海）数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 11．（2023高三·全国·专题练习）已知数列的前5项为，，，，，则的一个通项公式为 . 12．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知是数列的前项和，，通过计算得，，，，根据通项的规律可以归纳得出 . 题型五：构造法求通项公式 当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝，从而构造出等比数列{an＋λ}. 13．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 14．（24-25高二上·江苏镇江）数列满足，则数列的通项公式为 ． 15．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 题型六：定义法求通项公式 16．（22-23高二上·陕西西安·期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是 ． 17．（2011·山西·一模）已知数列{an} 满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为 A． B． C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3 n 18．（21-22高二上·河南周口·阶段练习）在数列中，已知，且. (1)求通项公式. (2)求证：是递增数列. 题型七：由递推公式求通项公式 19．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，，则 ． 20．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 21．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 题型八：求通项公式的综合问题 22．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 23．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 24．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 【专题训练】 一、单选题 25．（24-25高三上·重庆）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 27．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 28．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足：，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 31．（24-25高三上·重庆·阶段练习）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 32．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·天津·阶段练习）设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 二、多选题 34．（24-25高二·上海·随堂练习）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．使的最小正整数n为13 D．的最小值为 36．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知为数列的前项和，若，则（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 三、填空题 38．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则 . 39．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式 40．（24-25高二上·山东青岛·期中）数列的一个通项公式 ． 41．（24-25高三上·上海长宁·期中）记为数列的前项和，若，则 . 42．（24-25高三上·山东·期中）数列的前项和为，且满足，，则 . 43．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式 . 44．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 四、解答题 45．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足：，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围． 46．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. (1)求和的通项公式; (2)设求数列的前项和. 47．（24-25高三上·广东·阶段练习）设各项非零的数列的前n项乘积为，即，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数的前n项和. 48．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：高中数列通项公式的常考求法归纳 【题型归纳】 · 题型一：累加法求通项公式 · 题型二：累乘法求通项公式 · 题型三：an与Sn的关系求通项公式 · 题型四：观察法求通项公式 · 题型五：构造法求通项公式 · 题型六：定义法求通项公式 · 题型七：由递推公式求通项公式 · 题型八：求通项公式的综合问题 【题型探究】 题型一：累加法求通项公式 若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项. 1．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【分析】求出，利用累加法求和得到通项公式. 【详解】， 故， 所以 . 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出数列的通项. 【详解】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 3．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则 . 【答案】， 【分析】利用累加法可求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以. 所以，，…， 以上各式相加，得： 所以 又也符合上式， 所以，. 故答案为：， 题型二：累乘法求通项公式 若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项. 4．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 . 【答案】 【分析】借助与的关系及累乘法计算即可得. 【详解】当时，，即，， 则，即， 则有，，，， 则， 当时，，符合上式，故. 故答案为：. 5．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足，a1＝1，则a2 023＝ 【答案】4045 【详解】 ∵＝2n，∴ an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴ a2 023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4 045. 题型三：an与Sn的关系求通项公式 题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝来求解. 7．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知数列满足，若，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用，关系求数列通项，注意验证是否满足. 【详解】当时，，因为，所以， 当时，， 则，即，， 所以是从以首项公比为3的等比数列， 则， 此时，令，， 所以， 故答案为：. 8．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 9．（24-25高二上·甘肃兰州·阶段练习）在数列中，，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用退一相减法可得，进而可得的通项公式. 【详解】数列中，， 时，有， 时，由，得， 两式相减得，即， 时，也满足. 所以. 故答案为： 题型四：观察法求通项公式 10．（24-25高二·上海）数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 【答案】12 【分析】结合题意找到数列的规律求解出通项公式从而求数列的第几项. 【详解】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 11．（2023高三·全国·专题练习）已知数列的前5项为，，，，，则的一个通项公式为 . 【答案】 【分析】观察分子分母的规律可得答案. 【详解】因为2，6，12，20，30分别可分解为， 所以的第n项的分子可表示为； 因为3，5，3，5，3分别减4得， 所以数列的第n项的分母可表示为， 故数列的一个通项公式为. 故答案为：. 12．（22-23高二下·陕西咸阳·期中）已知是数列的前项和，，通过计算得，，，，根据通项的规律可以归纳得出 . 【答案】 【分析】根据提供的前4项，观察规律归纳可得通项公式. 【详解】，，， ， 根据通项的规律可以归纳得出. 故答案为： 题型五：构造法求通项公式 当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝，从而构造出等比数列{an＋λ}. 13．（2024高二·全国·专题练习）在数列中，已知，且，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】借助待定系数法构造等比数列后可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得解. 【详解】令， 则， 由条件得，解得， 即， 故数列是首项为，公比为4的等比数列， 从而，故. 故答案为：. 14．（24-25高二上·江苏镇江·开学考试）数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 15．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，两边同除得到，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，即可得解. 【详解】因为，， 则， 因为，显然， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，则. 故答案为： 题型六：定义法求通项公式 16．（22-23高二上·陕西西安·期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】根据确定数列为等比数列，再利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】，故是等比数列，，故. 故答案为： 17．（2011·山西·一模）已知数列{an} 满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为 A． B． C．an=n+2 D．an=（ n+2）·3 n 【答案】B 【详解】试题分析：由题可知，将，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得； 考点：累加法求数列通项公式 18．（21-22高二上·河南周口·阶段练习）在数列中，已知，且. (1)求通项公式. (2)求证：是递增数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列的通项将分别代入可计算出，可求得通项公式；（2）根据递增数列的定义，由即可得出证明. 【详解】（1）由，且可得 ，解得； 因此. 所以，数列的通项公式为 （2）根据递增数列的定义可知， ， 即， 故是递增数列. 题型七：由递推公式求通项公式 19．（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】直接利用恒等变换，对关系式进行变换，进一步利用等比数列的定义法求出数列的通项公式． 【详解】数列满足，． 整理得，即（常数） 则数列是等比数列，其中首项为2，公比为1． 所以，即． 故答案为：． 20．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解. 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 21．（24-25高三上·天津·期中）数列的首项为，且满足，数列满足，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用构造常数列法求，利用累加法求，然后可求得结果. 【详解】当时，有，即， 再由可得：， 所以是常数数列，首项，则，即， 再由可得：，， 由累加法得， 所以，， 当时，，满足， 所以， 则， 故答案为：. 题型八：求通项公式的综合问题 22．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【答案】 【分析】根据的关系及已知得到，由等差数列的定义写出的通项公式，进而求通项公式. 【详解】由， ， ， ，即是以2为公差，1为首项的等差数列， ，即， 当时，， 显然，时，上式不成立， 所以． 23．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，求的通项公式． 【答案】 【分析】利用与的关系式即可求解. 【详解】因为，① 则当时，，即， 当时，，② ①②得，所以， 也满足， 故对任意的，． 24．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 【答案】 【分析】根据题意，由构造法可得首项为，公比为的等比数列，再由累加法，即可得到结果. 【详解】由，可得 又，， 所以． 所以首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以． 又满足上式，所以 【专题训练】 一、单选题 25．（24-25高三上·重庆）已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【详解】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 26．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得数列是首项为1，公比为9的等比数列，再根据相减法得数列的通项公式，从而由等比数列求和得所求. 【详解】由题意可得，则， 所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即， 时，即 且时，不满足上式， 故， 故． 故选：C． 27．（2024·河南·模拟预测）已知数列中，，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 28．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 29．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②，由①②得， 又，满足，所以， 由，得到， 所以， 故选：C. 30．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足：，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【详解】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故选：C 31．（24-25高三上·重庆·阶段练习）将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（   ）    A．59 B．60 C．61 D．62 【答案】C 【分析】根据已知对数列用后项减前项，归纳出性质：，，然后由计算可得． 【详解】由题意得，，，…，所以，． 因此． 故选：C． 32．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意整理可得，可知数列为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得，即可得结果. 【详解】因为，可得，可知数列为等差数列， 又因为，即，即， 可知是2为公差的等差数列， 且，则， 可得，即，所有. 故选：B. 33．（24-25高三上·天津·阶段练习）设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【分析】由结合题意可得，再由裂项求和法可化简，即可得答案. 【详解】由， 又， 则， 又时，，则. 则， 则. 令. 故选：A 二、多选题 34．（24-25高二·上海·随堂练习）下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项，分为奇数和为偶数两种情况判定，即可求解. 【详解】对A：当为奇数时，， 当为偶数时，，故A正确； 对B：当为奇数时，，， 当为偶数时，，，故B正确； 对C：当为奇数时，，， 当为偶数时，，，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：ABC. 35．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．使的最小正整数n为13 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对A，根据与关系，求出通项判断；对B，利用裂项求和得解可判断；对C，令求得答案；对D，求出，利用对勾函数单调性求最值. 【详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C正确； 对于D，，时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当或4时，取得最小值为，故D正确． 故选：BCD. 36．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列、等比数列求和公式及，推导出，不妨设，，是不为0的常数，即可表示出，，从而得解. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为等差数列的前项和； 等比数列的前项和； 又，所以等比数列的公比，即. 不妨设，，是不为0的常数， 所以当时， 当时， 则，， 所以，. 故选：AC. 37．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知为数列的前项和，若，则（    ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】当时，，解得；根据，可得当时，，从而得，即；根据B可求得；从而可求出. 【详解】A：当时，，解得，故A错误； B：因为，当时，， 将两式相减可得，即， 则，因，则， 数列为首项为，公比为的等比数列，故B正确； C：由B可得，所以，故C正确； D：，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 38．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 39．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式 【答案】 【分析】根据与的关系可得当时，是公比为3的等比数列，求解答案. 【详解】当时，，作差得， 即当时，是公比为3的等比数列，而，则， 故. 故答案为：. 40．（24-25高二上·山东青岛·期中）数列的一个通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题意，观察数列项的特点，即可得到其通项公式. 【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 41．（24-25高三上·上海长宁·期中）记为数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， 则. 故答案为：. 42．（24-25高三上·山东·期中）数列的前项和为，且满足，，则 . 【答案】1 【分析】根据递推公式可得①，②，③，由此可求解. 【详解】由题意可知①，②，③ 将①②式相加可得，与③式相减可得，则1. 故答案为：1 43．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则的通项公式 . 【答案】 【分析】根据等差数列定义得，结合关系求通项公式. 【详解】由题设，数列的首项为，故， 由，即. 故答案为： 44．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 ． 【答案】 【分析】根据所给递推关系，得出，两式相减即可求解通项公式，再利用裂项相消求和即可得解. 【详解】当时，，即. ① 当时，② ①②得， 所以. 当时，也适合， 综上，. ， . 故答案为： 四、解答题 45．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足：，，数列的前项和为，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，. (2)或 【分析】（1）构造数列，判断为等比数列，可求数列的通项公式；根据与的关系求的通项公式. （2）利用裂项求和法求出，再结合大于的最大值可求实数的取值范围. 【详解】（1）对：由，且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. 所以. 对：前项和为. 当时，； 当时，， 时，上式亦成立. 所以. （2）因为. 所以. 由已知或. 46．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和为，等差数列的前项和为. (1)求和的通项公式; (2)设求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用的关系求出，利用等差数列的基本量求解； （2）可分组求和，分别依据等差数列求和与错位相减求和. 【详解】（1）解：因为，① 所以当时，， 又，所以. 当时，，② ①式减去②式得， 所以. 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即的通项公式为. （2）解：因为可得 则数列的前2n项和， 令， ， 则， 所以， ， . 47．（24-25高三上·广东·阶段练习）设各项非零的数列的前n项乘积为，即，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时求出，当时由代入递推公式得到，然后由基本量法求出通项即可； （2）由递推关系求出，再求出，解法一：由错位相减法求出即可；解法二：先将，再分组求和即可； 【详解】（1）当时，，所以，解得. 当时，，得. ∴是以为首项，为公差的等差数列 ∴， （2）当时，； 当时，， 综上， ∴ 解法一：        ①         ② 由①－②得 ∴ 解法二： ∴ 48．（24-25高三上·山东德州·期中）在数列中，，其前n项和为，且（且）. (1)求的通项公式； (2)设数列满足，其前项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用的关系得，结合累乘法可得通项； （2）根据（1）的结论得出，由错位相减法得，再分离参数，根据基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为，代入， 整理得， 所以， 以上个式子相乘得， . 当时，，符合上式，所以. （2）. 所以，① ，② ①②得， ， 所以. 由得：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$