专题强化训练01：等差数列及其前n项和题型归纳精讲精练【12大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化训练01：等差数列及其前n项和题型归纳精讲精练 【题型归纳】 · 题型一：等差数列基本量计算 · 题型二：等差中项 · 题型三：等差数列的性质 · 题型四：等差数列的函数特性 · 题型五：等差数列含绝对值的前n项和 · 题型六：：等差数列奇偶数的前n项和 · 题型七：等差数列的前n项和的性质 · 题型八：等差数列的证明或判断 · 题型九：等差数列的应用 · 题型十：等差数列的前n项和函数性质 · 题型十一：等差数列的综合问题 【题型探究】 题型一：等差数列基本量计算 1．（24-25高二上·全国）在等差数列中． (1)，，，求n和d； (2)，，求和d． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程解出； （2）根据等差数列的求和公式和通项公式列方程解出． 【详解】（1）， ． ， ． （2），． ， ． 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】（1）解得： （2）解得： 3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 【答案】(1)； (2)100. 【分析】（1）由等差数列的性质及求和公式先求出，进而求出公差d即可求出通项. （2）由（1）的信息，判断数列的单调性，进而求出最大值． 【详解】（1）在等差数列中，由，得，解得， 而，因此数列的公差， 所以. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此数列的前8项都为正，从第9项起为负，则数列的前8项和最大， 而，所以. 题型二：等差中项 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知是正项等比数列，若成等差数列，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据等差中项结合等比数列通项公式求得，再结合对数运算分析求解. 【详解】设等比数列的公比为. 因为成等差数列，可得，即， 整理可得，解得或（舍去）. 所以. 故选：D. 5．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 6．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可得的等式关系，再计算即可. 【详解】因为，，，为等差数列，所以，， 所以，，所以. 故选：A． 题型三：等差数列的性质 7．（24-25高二上·山东青岛·期中）等差数列中，，则（   ） A．12 B．33 C．36 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，由等差数列下标和的性质可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由等差数列的性质可知，即， 所以. 故选：B 8．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 【答案】B 【分析】根据下标和性质计算可得. 【详解】因为，且，所以， 又，所以， 又，所以，解得. 故选：B 9．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【答案】A 【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 题型四：等差数列的函数特性 10．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设写出等差数列通项公式得，利用单调性得时，时，即有时最小，进而求最小值. 【详解】由题设，令，可得， 又，故时，时， 所以时最小，即最小为. 故选：C 11．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，当时，，当时，，即可得出结论. 【详解】因为等差数列的前项和为，，可得， 又因为，则数列的公差为， 所以，数列为单调递减数列， 则当时，，当时，， 故当时，取最大值. 故选：B. 12．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解. 【详解】 由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 题型五：等差数列含绝对值的前n项和 13．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 【详解】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C 14．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 15．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合和与项的递推关系先求出，然后结合等差数列的定义即可证明； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以时，， 当时，适合上式， 故， 所以时，， 故数列是以为首项，以2为公差的等差数列； （2）， 当时，， 则 当时， ， 故. 题型六：：等差数列奇偶数的前n项和 16．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 17．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 18．（21-22高二上·河南·阶段练习）在等差数列中，已知公差，且，则 . 【答案】145 【分析】根据题意得到，再由等差数列性质得到，代入数据计算即可得到答案. 【详解】等差数列中，已知公差， . 故答案为：145. 题型七：等差数列的前n项和的性质 19．（23-24高二下·安徽安庆·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质及等差数列前项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案． 【详解】由题意知，，，， ∴. 故答案为：． 20．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 【答案】81 【分析】根据等差数列的性质和等差中项的性质得到，然后解方程即可. 【详解】根据等差数列的性质可得，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为：81. 21．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于 【答案】 【分析】据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答. 【详解】根两个等差数列和的前项和分别为、，且， 所以. 故答案为：. 题型八：等差数列的证明或判断 22．（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明：数列为等差数列． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由求解即可； （2）由（1）可知：，由等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 若，可得； 若，可得， 由于不符合， 所以； （2）因为，则，由（1）可知：， 则， 可知数列是以首项，公差的等差数列． 23．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）应用等差数列的定义证明即可； （2）运用累加法求出数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， 又由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列是首项为2，公差为2的等差数列，即， 所以， 所以当时， . 又满足上式，所以， 即数列的通项公式为. 24．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知数列满足，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)求 的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将已知两边同时除以，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则， 所以. 题型九：等差数列的应用 25．（23-24高二下·河南·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（    ） A．4尺 B．4.5尺 C．5尺 D．5.5尺 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设十二个节气分别对应等差数列中的前12项，且的公差为， 根据题意，有，则，解得， 所以立夏的影长为． 故选：C． 26．（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 故选：C 27．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列， 可得， 所以，则. 故选：C. 题型十：等差数列的前n项和函数性质 28．（23-24高二下·北京·期中）已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由等差数列的前项和公式和通项公式可得，，可知当时，取得最大值. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，则，则，即， 因为，即，即， 所以为递减数列，所以， 所以当时，取得最大值. 故选：B. 29．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 30．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列公差不为零，为其前项和，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C．成等比数列 D．中数值不同的有995个 【答案】D 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合等差数列性质可求出，判断A；根据判断B；根据等比数列的项中不可能有0，判断C；求出的表达式，结合二次函数的对称性可判断D. 【详解】由题意知等差数列公差不为零，设公差为d，则， ，则，A错误； 由，故，B错误； 由于，故不可能成等比数列，C错误； 由，得， 故， 由于二次函数的对称轴为，且在上单调， 故， 故中数值不同的有个，D正确， 故选：D 题型十一：等差数列的综合问题 31．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2)5150. 【分析】（1）根据给定条件，建立首项、公差的方程，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用并项求和法求解即得. 【详解】（1）设的首项为，公差为d， 依题意，，解得或， 由恒成立，得， 又，而，解得， 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 则， 所以. 32．（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)72 【分析】（1）先设函数，由等比数列的前n项和为求出，再求出，进一步求出公比，确定其通项公式； （2）分解因式为，结合条件判断为等差数列，再利用当，求. （3）裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数. 【详解】（1）设指数函数，则，即，． ， ． 又数列成等比数列，，． 又公比，． （2）， 又，，， 故为首项为1、公差为1的等差数列，． 当，，当时也满足， （3），则 由 ，得，即， 则最小正整数为72 33．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知是数列的前项和，若. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题设可得，利用的关系得，进而有，即可证结论； （2）（ⅰ）应用分组求和、等差数列前n项和公式求，根据二次函数性质确定最大值对应的n；（ⅱ）应用分组求和得，利用等差数列前n项和公式求结果. 【详解】（1）因为，所以是为首项，以为公差的等差数列， 所以，即①，则②， 由②-①，得，即， 所以，即，所以数列为等差数列. （2）（i）由题意及（1），在等差数列中，故. 则，故当时取最大值. （ii） . 【专题训练】 一、单选题 34．（24-25高二上·福建·期中）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以. 故选：A. 35．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得. 【详解】等差数列中，由，得，解得， 所以. 故选：B 36．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知递增的等差数列的前项和为，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等差数列前n项和公式计算得解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则由题得，解得， 所以. 故选：D. 37．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 38．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列的前n项和为，当为定值时，也是定值，则k的值为（    ） A．11 B．13 C．15 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质以及求和公式可得为定值，结合等差数列的通项公式转化，列出关系式即可求解. 【详解】因为， 当为定值时，即为定值，即为定值， ， 所以，解得 故选：B. 39．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由，得， 即，即， 又，所以，所以；故AD错， ，故B错 因为，，所以，， 所以成立的n的最小值为20. 故C正确. 故选：C 40．（24-25高二上·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 【答案】D 【分析】设等差数列，公差为，根据条件列出关于的方程组，求出可得答案. 【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其晷长分别为 ，且是等差数列，设其公差为， 依题意有， 解得，则. 故选：D. 41．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【详解】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故选：C 42．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，先求出的公差，再结合等差数列通项公式求得，即可求得答案. 【详解】由题意知是等差数列，设其公差为d， 则由，可得，则， ，则，故， 故, 故选：B 43．（23-24高二下·四川成都·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列 是单调递增数列 D．数列 有最大项 【答案】D 【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，从而可得数列 是单调递增数列，则，A、C不符合题意；再利用累加法计算可判断B；借助基本不等式判断D. 【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知， 所以数列是以为首项，公差的等差数列，即， 所以，即数列 是单调递增数列， ，则，A、C不符合题意； 所以，将所有上式累加可得 ，所以， 即该数列的第11项为，B不符合题意； 由于， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 但由于，即数列 有最小值为， 而当时，单调递增，所以无最大值，D符合题意. 故选：D. 二、多选题 44．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 【答案】AC 【分析】由已知可得公差，，即可判断AB；进而由等差数列的性质可判断CD. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为是等差数列且，所以公差，故B错误； 因为，且， 所以当时，；当时，， 则与均为的最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 45．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是等差数列，前项和为，则下列条件能推出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列的性质来解决本题，A、C选项找公差，求，B、D选项把前项和转换为项的值. 【详解】对于A，由，可得，所以，A正确; 对于B，由，得，B错误; 对于C，由，得的公差为，C正确; 对于D，的值不确定，D错误. 故选：AC. 46．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确； 【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，若， 则，， 所以，故B错误； 对于C，由可知无整数，故C正确； 对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和， 所以， 所以递增， 所以最小值为时，为，故D正确； 故选：ACD. 47．（23-24高二下·云南·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．当时，取得最小值 D．当时，满足的最大整数的值为25 【答案】ABD 【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D. 【详解】因为， 所以， 即，所以，故A正确． 因为，，成等差数列， 所以，而，则，故B正确． 因为，由得， 即，所以，所以对称轴为：， 所以当时，开口向上，当，取得最小值， 当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误． 因为，数列单调递增，所以，， 则，，又因为， 所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确． 故选：ABD 48．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 【答案】AB 【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，， 当时，，符合上式， 所以，选项A正确； 对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以前100项和为，选项B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 由，得，解得，选项C错误； 对于D，因为， 所以， 所以 ， 解得，选项D错误. 故选：AB 三、填空题 49．（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质可得，即可根据等差求和公式，代入化简即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则由可得，， 故答案为:4. 50．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 【答案】/ 【分析】构造等差数列求得的表达式即可求解. 【详解】若，则，因为，所以都大于0， 从而， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为：. 51．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可。 【详解】因为为等差数列，不妨设其公差为d，易知， 则，即是关于n的二次函数， 又，所以关于对称， 由二次函数性质知时，最小. 故答案为：7 52．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 【答案】2 【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数. 【详解】设各层的小球个数为数列， 由题意得，，，， 因为，可得， ， ， ， 则， 因为前层小球总个数为，所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个. 故答案为：2 四、解答题 53．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. （2）由（1）可得， 所以. 54．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1) (2)或,证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 55．（24-25高二上·江苏南通·期中）记等差数列的前项和为，公差为. (1)证明：是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)①或；②存在， 【分析】（1）根据题意结合等差数列的求和公式分析证明； （2）①根据（1）中结果，结合等差数列通项公式运算求解即可；②根据等差数列求和公式结合分组求和求，分类讨论，分析数据的整数型求解即可. 【详解】（1）因为等差数列的公差为 由题意可得：， 则二次项系数，且常数项为0， 所以是关于的不含常数项的二次函数. （2）①由题意可知：， 即 ， 可得，解得，或， 若，则； 若，则， 综上所述：或； ②因为， 当时，若，，则，不合题意； 当时， 若为偶数，则 ， 因为为偶数，则或， 若，则，即，不合题意； 若，则， 整理可得， 可知，代入检验可得仅成立； 若为奇数，则 ， 因为为奇数，则或， 若，则，即，不合题意； 若， 则， 整理可得， 显然为偶数，方程无解，不合题意； 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键时分析数据的整数性，分类讨论的特征解题. 56．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出等差数列的首项和公差，从而求得. （2）利用错位相减求和法求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，， ，解得，所以. （2）由（1）得， 所以 ， 两式相减得 ， 所以. 57．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列和数列，为数列的前项和，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用判断为等比数列，再求通项公式；又因为，解得，再证明为常数即可求解； （2）由（1）得，然后利用裂项相消法即可. 【详解】（1）已知①， 当时，，得， 当时，②， ①-②得：，即， 又，，则， 所以是首项为，公比为的等比数列，则 因为，所以， 又由，得， 所以是首项为，公差为的等差数列，则，即 （2）由（1）得， 则 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化训练01：等差数列及其前n项和题型归纳精讲精练 【题型归纳】 · 题型一：等差数列基本量计算 · 题型二：等差中项 · 题型三：等差数列的性质 · 题型四：等差数列的函数特性 · 题型五：等差数列含绝对值的前n项和 · 题型六：：等差数列奇偶数的前n项和 · 题型七：等差数列的前n项和的性质 · 题型八：等差数列的证明或判断 · 题型九：等差数列的应用 · 题型十：等差数列的前n项和函数性质 · 题型十一：等差数列的综合问题 【题型探究】 题型一：等差数列基本量计算 1．（24-25高二上·全国）在等差数列中． (1)，，，求n和d； (2)，，求和d． 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为． (1)已知，，求及d； (2)已知，，求． 3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知为等差数列的前项和，且. (1)求的通项公式; (2)求的最大值. 题型二：等差中项 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知是正项等比数列，若成等差数列，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 6．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知在各项均为正数的等差数列中，有连续四项依次为m，a，4m，b，则等于（    ） A． B． C． D．4 题型三：等差数列的性质 7．（24-25高二上·山东青岛·期中）等差数列中，，则（   ） A．12 B．33 C．36 D．45 8．（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知为等差数列，，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．17 9．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 题型四：等差数列的函数特性 10．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 题型五：等差数列含绝对值的前n项和 13．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列中，，，设，则（） A．281 B．651 C．701 D．791 14．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 15．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和． 题型六：：等差数列奇偶数的前n项和 16．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 17．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 18．（21-22高二上·河南·阶段练习）在等差数列中，已知公差，且，则 . 题型七：等差数列的前n项和的性质 19．（23-24高二下·安徽安庆·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则 ． 20．（23-24高二下·福建福州·期中）已知等差数列的前项和为，则 21．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于 题型八：等差数列的证明或判断 22．（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明：数列为等差数列． 23．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 24．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知数列满足，且 (1)证明：数列是等差数列； (2)求 的前项和. 题型九：等差数列的应用 25．（23-24高二下·河南·阶段练习）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（    ） A．4尺 B．4.5尺 C．5尺 D．5.5尺 26．（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 27．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 题型十：等差数列的前n项和函数性质 28．（23-24高二下·北京·期中）已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 29．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 30．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列公差不为零，为其前项和，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C．成等比数列 D．中数值不同的有995个 题型十一：等差数列的综合问题 31．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列是等差数列，且恒成立，它的前四项的平方和为54，且这四项中首尾两数的积比中间两数的积少2． (1)求的通项公式． (2)若，，求数列的前100项和． 32．（24-25高二上·上海·期中）已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式 (3)若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 33．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知是数列的前项和，若. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 【专题训练】 一、单选题 34．（24-25高二上·福建·期中）已知是等差数列的前项和，若，则（   ） A．168 B．196 C．200 D．210 35．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 36．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知递增的等差数列的前项和为，则（    ） A．70 B．80 C．90 D．100 37．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列的前n项和为，当为定值时，也是定值，则k的值为（    ） A．11 B．13 C．15 D．不能确定 39．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等差数列的前n项和为，，且，则下列说法正确的是（    ） A．公差 B． C．使成立的n的最小值为20 D． 40．（24-25高二上·甘肃·期中）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至､大暑､处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则秋分的晷长为（    ） A．4.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．7.5尺 41．（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，的前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 42．（23-24高二下·江西萍乡·期末）已知数列的前项和为，若是等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二下·四川成都·期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果 “杨辉三 角” 记录于其重要著作《详解九章算法》中， 该著作中的 “垛积术” 问题介绍了高 阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列. 若某个二阶等差数列 的前四项分别为: ，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．数列 是单调递增数列 D．数列 有最大项 二、多选题 44．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 45．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知数列是等差数列，前项和为，则下列条件能推出的是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（    ） A．数列是递增数列 B． C．使为整数的正整数n的个数为0 D．的最小值为 47．（23-24高二下·云南·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．当时，取得最小值 D．当时，满足的最大整数的值为25 48．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 三、填空题 49．（24-25高二上·上海·期中）记为等差数列的前项和.若，则 . 50．（24-25高二上·上海徐汇·期中）在数列中，，对任意，有，则 ． 51．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）等差数列中，设为其前项和，且，，则当 时，最小. 52．（24-25高二上·上海松江·期中）北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有，个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 . 四、解答题 53．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 54．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 55．（24-25高二上·江苏南通·期中）记等差数列的前项和为，公差为. (1)证明：是关于的不含常数项的二次函数； (2)等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 56．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 57．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列和数列，为数列的前项和，，，. (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和 2 学科网（北京）股份有限公司 $$