专题强化训练02：等比数列及其前n项和题型归纳精讲精练【9大题型】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化训练02：等比数列及其前n项和题型归纳精讲精练 【题型归纳】 · 题型一:等比数列及其前n项和基本量计算 · 题型二：等比中项问题 · 题型三：等比数列的性质 · 题型四：等比数列的函数性质 · 题型五：等比数列的前n项和的性质 · 题型六：等比数列的前n项和的奇数和偶数项之和问题 · 题型七：等比数列的证明问题 · 题型八：等比数列的应用 · 题型九：等比数列及其前n项和综合问题 【题型探究】 题型一:等比数列及其前n项和基本量计算 1．（22-23高二·全国）求下列等比数列的前n项和． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 2．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 3．（23-24高二上·四川眉山·期末）各项均为正数的等比数列中，，． (1)求的通项公式; (2)记为的前项和，若，求． 题型二：等比中项问题 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知递增等比数列的前项和为，且． (1)求的值． (2)求的值. 5．（23-24高二下·广东广州·期末）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（23-24高二下·甘肃·期末）等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（    ） A． B． C． D． 题型三：等比数列的性质 7．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 8．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 9．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 题型四：等比数列的函数性质 10．（2023·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（22-23高二下·北京房山·期末）设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型五：等比数列的前n项和的性质 13．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 14．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 题型六：等比数列的前n项和的奇数和偶数项之和问题 16．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 18．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 题型七：等比数列的证明问题 19．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 20．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列的前项和为，求证：. 21．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 题型八：等比数列的应用 22．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 24．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 题型九：等比数列及其前n项和综合问题 25．（24-25高二下·全国·期末）已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 26．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 27．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知在数列中，，且满足． (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项积； (3)设，求数列的前项和． 【专题训练】 一、单选题 28．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 30．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 31．（24-25高二上·山东青岛·期中）若成等比数列，且满足，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．1023 B．1124 C．2146 D．2145 33．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 34．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 36．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 37．（23-24高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 二、多选题 38．（24-25高二上·江苏苏州·期中）设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 39．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 40．（24-25高二上·福建·期中）已知等比数列的首项为1，公比不为1，若，，成等差数列，则（   ） A．的公比为 B．的公比为 C．的前10项和为 D．，，成等差数列 41．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和为 D．若数列的前项和为，则 42．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知公比为q的等比数列，，则（） A． B． C．若，则 D．若，记，则 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 44．（24-25高二上·山东青岛·期中）数列中，，若，则 ． 45．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 46．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 四、解答题 47．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 48．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 49．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 50．（24-25高二上·福建莆田·期中）若数列的前项和为，且，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 51．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 52．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且． (1)求的周长； (2)证明：为等比数列； (3)证明：对任意正整数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化训练02：等比数列及其前n项和题型归纳精讲精练 【题型归纳】 · 题型一:等比数列及其前n项和基本量计算 · 题型二：等比中项问题 · 题型三：等比数列的性质 · 题型四：等比数列的函数性质 · 题型五：等比数列的前n项和的性质 · 题型六：等比数列的前n项和的奇数和偶数项之和问题 · 题型七：等比数列的证明问题 · 题型八：等比数列的应用 · 题型九：等比数列及其前n项和综合问题 【题型探究】 题型一:等比数列及其前n项和基本量计算 1．（22-23高二·全国）求下列等比数列的前n项和． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 【答案】(1)(2)(3)(4)378 【分析】根据等比数列的求和公式即可代入求解. 【详解】（1）由，，得 （2）由，，得 （3）由，，得 （4）由，，得 2．（23-24高二下·陕西榆林·期末）设等差数列的前项和为，且公差不为0，若，，构成等比数列，，则（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】设公差为，由题意可得的方程组，解方程组求出可得答案. 【详解】设公差为， 由题意可得， 即， 解得舍去，或，所以， 可得. 故选：C. 3．（23-24高二上·四川眉山·期末）各项均为正数的等比数列中，，． (1)求的通项公式; (2)记为的前项和，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可得公比，即可求解， （2）由求和公式即可求解. 【详解】（1）设公比为，由于，所以， 由于，所以， 又，所以 （2），故，解得 题型二：等比中项问题 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知递增等比数列的前项和为，且． (1)求的值． (2)求的值. 【答案】(1)2 (2)340 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解； （2）根据等差数列的通项代入即可求解. 【详解】（1）设首项为，公比为， 由条件可得，即， 解之得或， 又数列为递增的，故， （2）由（1）知； 所以， 5．（23-24高二下·广东广州·期末）已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式与，求出的关系，根据是与的等比中项，求出的值，再求即可. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以，又因为，即， 可得，又由，即， 即，即， 且正项等差数列，即 解得，则. 故选：C． 6．（23-24高二下·甘肃·期末）等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比中项的性质求出，再结合题意得到通项公式，最后利用等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由已知得，又因为是公差为2的等差数列， 故，即，解得， 所以，故，故A正确. 故选：A 题型三：等比数列的性质 7．（2024·云南大理·模拟预测）已知各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质得到，计算出答案. 【详解】∵各项均为正数的等比数列中，， ∴. 故选：C. 8．（23-24高二下·四川达州·阶段练习）等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项的性质求得公比，即可得结论. 【详解】设等比数列的公比为， 则，所以， 故. 故选：C. 9．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 题型四：等比数列的函数性质 10．（2023·广东佛山·一模）等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为等比数列公比为， 所以， 当时，，，显然数列为不是递增数列； 当“数列为递增数列”时，有， 因为，所以如果，例如，显然有，，显然数列为不是递增数列， 因此有，， 所以由， 当时，显然对于恒成立， 当时，对于不一定恒成立，例如； 当时，对于不一定恒成立，例如； 当时，对于恒不成立， 因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 11．（22-23高二下·北京房山·期末）设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由题设且，则， 若为递减数列，故，则，充分性成立； 若，则，易知为递减数列，必要性也成立； 所以“为递减数列”是“”的充分必要条件. 故选：C 12．（23-24高二下·北京·期中）等比数列的公比为，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论. 【详解】根据题意，成立时，有结合， 得，即， ①当时，可得，所以，即； ②当时，为偶数时，，可得，所以， 为奇数时，，可得，所以，因此不存在满足成立， 综上所述，若成立，则必定有， 若，结合，可知等比数列是递增数列，必定有成立 因此，若等比数列的首项，则“”是“”的充要条件. 故选：C 题型五：等比数列的前n项和的性质 13．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（    ） A．550 B．520 C．450 D．425 【答案】D 【分析】由等比数列前n项和的性质可得答案. 【详解】由等比数列前n项和的性质可得，，，，成等比数列， 则，设，则，∵等比数列中，， ∴解得，，故，∴， 故选：D． 14．（23-24高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 15．（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【详解】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 题型六：等比数列的前n项和的奇数和偶数项之和问题 16．（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 17．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 18．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 题型七：等比数列的证明问题 19．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，结合等比数列的定义分析判断； （2）由（1）可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因点在直线，则. 可得， 即，且， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即 所以. 20．（24-25高二上·山东·期中）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）两边取倒数，整理得到，结合，得到数列为等比数列； （2）在（1）的基础上，得到，从而，时，，结合等比数列求和公式得到. 【详解】（1）已知，两边取倒数得， 所以，又， 所以数列为首项为2公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，所以， 当时，， 当时，， 所以， 综上所述，. 21．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见详解； 【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【详解】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 则代入①得：， 则 ∴， 且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列. ∴， ∴ 题型八：等比数列的应用 22．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第6次着地后经过的路程为（）， 故选：D 23．（24-25高二上·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第n次着地后经过的路程为， 即，结合选项，检验时，，时，成立， 故选：A 24．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 【答案】A 【分析】由题意得感染人数形成等比数列，然后利用等比数列求和公式列不等式，结合指对互化解不等式即可求解. 【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列， 由，可得，两边取对数得， 所以，所以，故需要的天数约为. 故选：A 题型九：等比数列及其前n项和综合问题 25．（24-25高二下·全国·期末）已知数列的前项和，且满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项乘积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用由求判断数列为等比数列，根据等比数列的通项公式解出结果； （2）由第一问已知，根据题意求的，在计算的最小值； 【详解】（1）因为. 所以当时， 当时，， 两式相减得 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则数列通项公式为 （2）记数列的前项乘积为， 所以，由（1）可知 则 令，开口向上且对称轴为， 所以或8时，取最小值且最小值为. 所以的最小值为. 26．（24-25高二上·上海·期中）已知数列的各项均为正实数，，且（）. (1)求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大项为；最小项为 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【详解】（1）证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 27．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知在数列中，，且满足． (1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项积； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）定义法证明数列是等比数列，从而的通项公式可求，则数列的通项公式可求； （2）先表示出，然后根据的定义结合等比数列求和可求； （3）将条件变形得到，从而可表示为，再采用裂项相消法求解出即可. 【详解】（1）当时，， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为， 所以. （3）因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以. 【专题训练】 一、单选题 28．（24-25高二上·江苏·期中）已知等比数列的公比，且满足，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式计算基本量即可. 【详解】由于，， 所以，两式相除得， 解得或， 因为，所以. 故选：A 29．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 30．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据条件，求出数列的通项公式，进行判断即可. 【详解】根据条件：，解得. 所以. 由. 所以使成立的的最小值为9. 故选：A 31．（24-25高二上·山东青岛·期中）若成等比数列，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质解不等式，利用等比数列的通项公式分析出首项和公比的范围，利用作差法判断大小即可. 【详解】成等比数列，设公比为, ∵， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵，∴， 从而，由得，则， 由得， 即，得， ∵，∴，解得， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C. 32．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．1023 B．1124 C．2146 D．2145 【答案】C 【分析】分析奇数项和偶数项的特点，分组求和即可. 【详解】根据递推公式可知：数列的奇数项依次为：，，，…，为等比数列； 数列的偶数项为：，，，…，为等差数列. 所以. 故选：C 33．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 【答案】D 【分析】由可求得，进而求出，可求出. 【详解】因为， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列为等比数列，（），所以. 故选：D. 34．（24-25高二上·福建·期中）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以. 故选：B 35．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果. 【详解】当时，，∴， 当时，，则， ∴，即数列是首项，公比的等比数列， 即， ∴ 故选：D. 36．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（   ） A．1420 B．1480 C．1520 D．1580 【答案】B 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】依题意，当时，，则， 于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 37．（23-24高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解. 【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有， 而对于等比数列而言，， 从而 . 故选：C. 二、多选题 38．（24-25高二上·江苏苏州·期中）设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，利用得到为公比为2的等比数列，求出；B选项，当时，，B正确；C选项，计算出，得到C正确；D选项，利用等比数列求和公式计算出，，D错误. 【详解】A选项，当时，，解得， 当时，， 故， 所以为公比为2的等比数列，，A错误； B选项，当时，， 故，所以为递减数列，B正确； C选项，，，， 故，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：BC 39．（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，则下列说法正确的是（   ） A． B．中存在连续三项成等差数列 C．中存在连续三项成等比数列 D．数列的前项和 【答案】ABD 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项，再逐项判断即得. 【详解】数列中，由，得， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，即， 对于A，，A正确； 对于B，，，即成等差数列，B正确； 对于C，假定连续三项成等比数列，则， 整理得，此方程无解，即中不存在连续三项成等比数列，C错误； 对于D，，则， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解． 40．（24-25高二上·福建·期中）已知等比数列的首项为1，公比不为1，若，，成等差数列，则（   ） A．的公比为 B．的公比为 C．的前10项和为 D．，，成等差数列 【答案】BCD 【分析】根据等差中项的性质，利用等比数列的通项公式基本量列式求解公比判断ABD，根据等比数列的求和公式求和判断C. 【详解】设的公比为q，因为，所以， 因为，，成等差数列，所以， 因为，所以，因为， 所以，故A错误；B正确； 的前10项和为，故C正确； 因为， 所以，，也成等差数列，故D正确. 故选：BCD 41．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和为 D．若数列的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】对A，构造数列求解通项公式，进而可得；对B，由A，再求和即可；对C，根据对数的运算结合等差数列求和公式求解即可；对D，根据裂项相消求和判断即可. 【详解】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列， 故，即，则，故A正确； 对B，，故数列的前项和为，故B错误； 对C，，则前项和为 ，故C正确； 对D，， 则， 又易得随的增大而增大，故，即，故D正确. 故选：ACD 42．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知公比为q的等比数列，，则（） A． B． C．若，则 D．若，记，则 【答案】CD 【分析】根据等比数列的基本量计算即可判断. 【详解】对于选项因为,所以错误； 对于选项,当首项,公比时，满足题意， 但此时,错误; 对于选项,由,得,正确; 对于选项,, 又,得正确. 故选:. 三、填空题 43．（24-25高二上·上海·期中）在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 44．（24-25高二上·山东青岛·期中）数列中，，若，则 ． 【答案】2023 【分析】先证明数列为等比数列，求出通项公式，根据等比数列的求和公式，可求的值. 【详解】令，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. 所以. 所以，所以. 故答案为：2023 45．（24-25高二上·上海·期中）设是数列的前项和，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，由任意性可得数列为等比数列，求出公比及前项和即可得解. 【详解】在数列中，对任意正整数，，都有，对，取， 则有，因此数列是首项，公比的等比数列， 则，而恒成立，于是， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 46．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即， 结合对恒成立求的范围即可. 【详解】由等比数列的前n项和知，， 所以，所以， 而，， ∴，即， 由上知：，则， ∴， 即， 当时，的最小值为， 所以. 故答案为：1； 四、解答题 47．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设的递归关系可得，故可得公比，从而可求通项； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以，而为等比数列，故公比，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 48．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，. (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；                             （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，， 所以； 因为，所以． （2）结合（1）可得： ． 49．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用通项公式表示出，，三项，再由等比中项建立方程，解得公差，写出数列的通项公式； （2）列出数列的前n项和，由二次函数的性质找到最大值时n的值 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，∴， ∴，∴. （2）由（1）得. 由二次函数的性质可得：当时，最大. 50．（24-25高二上·福建莆田·期中）若数列的前项和为，且，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)设数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求，再由公式求，检验是否成立即可； （2）证明为定值即可； （3）先利用错位相减法得，再参数分离得，进而研究数列最值即可. 【详解】（1）因为，当时，， 当时，， 且时，也符合上式， 所以 （2） 当时，由，所以， 依题意知：，所以 而，所以数列是首相为3，公比为3的等比数列． （3）因为是首相为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以， =， ， 得 化简得：， 因为恒成立， 所以， 所以， 当，；当时，， 又， 令，得：，故当，恒成立， 所以在时，取到最大值， 所以实数的取值范围 【点睛】数列不等式恒成立问题，常常需要进行放缩，参变分离求最值处理. 51．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式： (2)若数列为递增数列，数列满足：，求数列的前项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据等差数列定义由等比数列性质计算可得公差，即求出通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和代入公式计算可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由成等比数列可得， 解得或； 当时，可得， 当时，可得； 所以数列的通项公式为或. （2）由（1）可得，所以； 因此， 所以 即数列的前项和. 52．（24-25高二上·福建漳州·期中）已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且． (1)求的周长； (2)证明：为等比数列； (3)证明：对任意正整数． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据的定义以及相切的性质即可求解； （2）由题意得递推表达式，进一步根据等比数列的定义验算即可证明； （3）由分析可知只需证明即可，而可以用基本不等式证明当时，，累加即可得解. 【详解】（1）因为圆，圆与轴均相切，且圆的圆心坐标为， 所以圆的半径为，圆的半径为． 又圆，圆均与半圆相内切，圆与圆相外切， 所以，，． 所以的周长为：． （2）依题意，有，，， 得即 消去得， 整理，得， 两边同时减去，得． 依题意，易得，所以，即． 所以． 所以为等比数列，首项为1，公比为． （3）由（2）得，． 令，则当时，． 要证，即证， 即证． 当时， （当且仅当时，等号成立） （当且仅当时，等号成立） ． 所以， 得证． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到只需证明即可，进一步只需证明当时，即可，由此即可顺利得解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$