浙江省浙江星辰联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

高二数学学科 试题 第 1页(共 4 页) 绝密★考试结束前 2024 学年第一学期浙江星辰联盟期中联考 高二年级数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求. 1. 直线 3y x  的斜率是（ ） A. 1 B.1 C. 3 D. 3 2. 在斜三棱柱 1 1 1ABC A BC 中， 1AC CB BB      （ ） A. 1AC  B. 1A B  C. 1AB  D. 1AC  3.已知圆的方程为： 2 2 2 4 1 0x y x y     ，则圆心坐标为（ ） A. 2,4（ ） B. 1,2（ ） C. 2, 4（ ） D. 1, 2（ ） 4.已知空间向量 (1,3, 2), (2, , 2), ,a b m a b m          若 则 （ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 2 5.已知直线 2 2 0 2 3 0ax y x ay     与直线 平行，则 a （ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 6. 直线 : 2 1 0l mx y m    ，与圆 C： 2 2( 2) ( 5) 25x y    相交弦中最短的弦长为（ ） A.5 B.6 C.8 D.10 7.已知椭圆 1C 与双曲线 2C 有相同的焦点 1 2( 2 3 ,0), (2 3 ,0)F F ，离心率分别为 1 2,e e ，点 P为椭圆 1C 与双曲线 2C 在第一象限的公共点，且 1 2 1 3, 3 3 F PF e  若 ，则双曲线 2C 的方程为（ ） A. 22 1 9 6 yx   B. 22 1 6 3 yx   C. 22 1 12 9 yx   D. 22 1 4 8 yx   8.已知两点 ( 4,0), (4,0)M N ，若直线上存在点P，使 6PM PN  ，同时存在点Q，使 6QN QM  ， 高二数学学科 试题 第 2页(共 4 页) 则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（ ） A. 7 3 y x B. 4x  C. 2 3 y x D. 2y x 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分. 9.已知圆 C： 2 2( 3) 9x y   ，直线 : ( 2) 4 2 0( )Rl m x y m m      ，则（ ） A.直线 l恒过定点 1,1（ ） B.直线 l与圆 C有两个交点 C.当 1m  时，圆 C上恰有三个点到直线 l的距离等于 1 D.圆 C与圆 2 2 2 8 8 0x y x y     恰有三条公切线 10.已知椭圆的方程为 22 1 16 8 yx   ，双曲线的方程为 2 2 1 4 4 y x  ，则（ ） A.双曲线的一条渐近线方程为 y x  B.椭圆和双曲线共焦点 C.椭圆的离心率 1 2 e  D.椭圆和双曲线的图象有 4个公共点 11.如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，点O为 BD的中点，且点 P满足 1BP BC BB      ，则下列说法正确的是（ ） A.若 1 ,0 1 2     ，则点 P的轨迹长度为 1 B.若 1 11 AC D P   ，则 C.若 1 11, 2 2 P A BD V    ，则 D.若 1,0 1    时，直线OP与平面 1A BD所成的角为 ，则 3cos [0, ] 3   非选择题部分 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a xC： 的离心率为 3 5 ，则双曲线C的渐近线 方程为 . 13.直线 1y x  被椭圆 2 22 2x y  截得的弦长为 . 14.已知三棱锥 P ABC 的体积为 3，M 是空间中一点， 2 1 4 9 9 9 PM PA PB PC        ，则三棱 锥 B MAC 的体积是 . 高二数学学科 试题 第 3页(共 4 页) 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，中心为原点，左焦点 ( 1,0)F  ，离心率为 1 2 . （1）求该椭圆的标准方程； （2）已知点 (1,1)A ，若 P是椭圆上的动点，求线段 PA中点M 的轨迹方程。 16.（15分）某台风中心位于某地 A处，距离台风中心 A正西方向 150 km的 B处有一人，正以北偏 东 角（ 为锐角）方向骑摩托车行进，速度为 50 /km h，已知距离台风中心 75 3km以内会受其影 响. （1）若此人刚好不被台风影响，求 tan 的最大值； （2）若此人骑行方向为北偏东 45，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 17.（15分）已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 1 2( 2 2 ,0), (2 2 ,0)F F ，双曲线C上一点 P到两焦 点的距离之差的绝对值等于 4. （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过点 (3,1)M 作直线 l交双曲线的右支于 ,A B两点，且M 为 AB的中点，求直线 l的方程； （3）已知定点 ( 2 ,3)G ，点 D是双曲线右支上的动点，求 1DF DG 的最小值。 高二数学学科 试题 第 4页(共 4 页) 18.（17分）如图，在四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD为矩形， SAD 为等边三角形，且 S在平 面 ABCD上的射影为 AD中点 P， 1AB  ， 2 3 3S ABCD V   . （1）若 E为棱 SB的中点，求证： / /PE SCD平面 ； （2）在棱 SC上是否存在点M ，使得直线 SC与平面 PMB所成角的余弦值为 1 5 ，若存在，求出点M 的位置并给以证明，若不存在，请说明理由。 19.（17分）定义： ,P Q为一个几何系统中的任意两点，则 ( , )d P Q 为这两个点的最大距离，例如， 某个几何系统由一个圆构成，则 ( , )d P Q 为此圆的直径. （1）已知 ABC 为边长为 2的正三角形，求由 ABC 的外接圆构成的几何系统的 ( , )d P Q ； （2）已知 ABC 为直角边为 2的等腰直角三角形，其中 AB AC ，求分别以 ABC 三边为直径的三 个圆构成的几何系统的 ( , )d P Q ； （3）已知正四面体 A BCD 的棱长为 2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和 BCD 的外 接圆所构成的几何系统的 ( , )d P Q 。 （此小题只要求给出答案，不需过程。）