上海市南汇中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

南汇中学2024学年第一学期高一年级数学期中 2024.11 一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1.集合,集合,则 . 2."且"的否定形式是 . 3.已知集合,则 . 4.化简: . 5.已知,若是的充分条件,则实数的取值范围是 . 6.已知不等式的解集为,则不等式的解集为 . 7.若,则用来表示是 . 8.已知集合,若,则实数的取值范围是 . 9.关于的不等式的解集中恰有两个正整数,则实数的取值范围是 . 10.已知存在使不等式成立,则实数的取值范围是 . 11.已知为正实数,且,则的最小值为 . 12.对于任意实数表示不超过的最大整数,如,若,则中所有元素之和为 . 二、选择题：（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13.若为非零实数,则下列不等式中成立的是（ ）. A. B. C. D. 14.""是""的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.非充分非必要 15.设都是正实数，那么三个数（ ）. A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 16.已知有限集,如果中的元素满足,就称为"封闭集".给出下列结论: (1)集合是"封闭集"; (2)若,且是"封闭集",则; (3)若为正整数,则不可能是"封闭集"; (4)若是正整数,则"封闭集"有且只有一个,且.其中正确的命题个数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 三、解答题：（共52分) 17.（本题满分8分,第(1)题4分,第(2)题4分) 已知集合,集合. （1）求; （2）若,求实数的取值范围. 18.（本题满分8分，第（1）题4分，第（2）题4分） 法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理。请解决下列问题: （1）关于的方程的一个实数根为2,求另一实数根及实数的值; （2）已知是方程的两个根,求的值. 19.（本题满分10分,第(1)题4分,第(2)题6分) 某公司为节约资源，开发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以表示为：且每处理一顿生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴。 （1）当时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利, 则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 20.（本题满分12分，第(1)题3分，第(2)题4分，第（3）题5分） 问题:正实数满足,求的最小值.其中一种解法是: ,当且仅当且时,即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: （1）若正实数满足,求的最小值; （2）若实数，正实数满足,求证:; （3）求代数式的最小值,并求出使得取最小值的的值. 21.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分） 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为"可分集合" （1）判断集合和是否是"可分集合"（不必写过程）； （2）求证:五个元素的集合一定不是"可分集合"; （3）若集合是"可分集合", ①证明：为奇数；②求集合中元素个数的最小值. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11.已知为正实数,且,则的最小值为 . 【答案】 【解析】为正实数，且 当且仅当时取等号. 另解:为正实数,且 , 令,解得,此时函数单调递增； 令，解得，此时函数单调递减. 当且仅当时函数取得极小值即最小值， 故答案为:. 二、选择题 13.C 14.A 15.D 16.C 15.设都是正实数，那么三个数（ ）. A.都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】都是正数,故这三个数的和 当且仅当时,等号成立. 故三个数中,至少有一个不小于2(否则这三个数的和小于6). 故选D. 三．解答题 17.（1） （2） 18.（1） （2） 19.（1）否，补贴元 （2） 20．（1） （2）略 （3） 21.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题6分） 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为"可分集合" （1）判断集合和是否是"可分集合"（不必写过程）； （2）求证:五个元素的集合一定不是"可分集合"; （3）若集合是"可分集合", ①证明：为奇数；②求集合中元素个数的最小值. 【答案】（1）集合不是"可分集合"，集合是"可分集合"; （2）见解析; （3）①见解析;②最小值是7 【解析】（1）集合不是"可分集合"，集合是"可分集合"; （2）不妨设,若去掉的元素为,将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有①，或者②； 若去掉的元素为,将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有③，或者④. 由①③,得,矛盾;由①④,得,矛盾； 由②③,得,矛盾;由②④,得,矛盾. 因此当时，集合一定不是"可分集合"； （3）①设集合所有元素之和为. 由题可知，均为偶数，因此均为奇数或偶数. 如果为奇数，则也均为奇数，由于,所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数，此时设， 则也是"可分集合".重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的"可分集合". 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②当时，显然任意集合不是"可分集合". 当时，第(2)问已经证明集合不是"可分集合". 当时,集合, 因为:， 则集合是"可分集合". 所以集合中元素个数的最小值是7. 学科网（北京）股份有限公司 $$