第四章 图形的相似 复习卷2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级数学 第四章《图形的相似》复习卷 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：_______________ 一、选择题（每小题2分，共40分） 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝4，则线段BC的长是（　　） A． B．2 C． D．4 3．下列图形一定是相似图形的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 4．下列四个三角形中，与图中△ABC的相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD的中点，连接EF，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时∠AEB＝∠CED，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为1.5m，同时测得BE＝30cm，BD＝2.3m，则旗杆的高度为（　　） A．10m B．11.5m C．22.5m D．40m 7．如图，△ABC∽△ADE，三角形ABC与四边形BCDE的面积比1：3，，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB＝3OB'，则△A'B'C'与△ABC的周长比为（　　） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9 9．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，AD＝8，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°．∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论：①DE+BF＝EF；②BN⊥AE；③BF；④S△BGF；⑤MC＝BC中，正确的有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．四条线段a，b，c，d成比例，若a＝3cm，b＝4cm，c＝6cm，则线段d的长为 　 　cm． 12．已知实数a、b、c满足，则a﹣2b+c的值为　 　． 13．如图，已知∠ABC＝∠ACD＝90°，补充一个条件： 　 　，可使△ABC∽△DCA． 14．如图，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，已知小艺的眼睛离地面高度为1.6米，同时量得小艺与镜子的水平距离为2米，镜子与旗杆的水平距离为10米．则旗杆的高度为 　 　米． 15．如图，在△ABC中，BC＝1，，AB＝2，点E，F分别是边AC，AB上的动点（点E，F均不与△ABC的顶点重合），连接BE，CF．若BF＝2AE，2BE+CF＝m，则m的最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知线段a，b满足，且a+b＝10．求线段a，b的值． 17．如图，在△ABC中，∠A＝2∠B． （1）利用尺规作图，过点A作一条直线AD，使其交BC于点D，且使△ABC∽△DAC （不写作法，保留作图痕迹）； （2）若CD＝4，BD＝5，求AC的长． 18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且，求： （1）的值； （2）若△ABC的周长为24，求各边的长． 19．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若AD＝3，DE＝6． （1）若AB＝4.5，求BC的长； （2）若EF＝10，求BE的长． 20．（1）用配方法解方程：x2﹣12x﹣9＝0； （2）如图，已知四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，求x，y和α的值． 21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B． （1）证明：△ADB∽△AED． （2）若AB＝9，AD＝6，求AE的长． 22．某数学兴趣小组测量一座塔的高度AB，有以下两种方案： 方案一：如图（1），在距离塔底B点45m远的D处竖立一根高1.5m的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离EF＝0.8m，DF＝1m，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，点B，D，F，M在同一直线上． 方案二：如图（2），小华拿着一把长为22cm的直尺CD站在离塔AB45m的地方（即点E到AB的距离为45m）．他把手臂向前伸，尺子竖直，CD∥AB，尺子两端恰好遮住塔AB（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺CD的距离为30cm． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度AB． 23．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC． （1）求证：； （2）如果，求证：△ABE∽△ACB． 24．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°． （1）若Rt△ABC∽Rt△DEF，且BC＝2AC，，求DF的长； （2）小明类比全等三角形的判定，猜想：“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”，即若，则Rt△ABC∽Rt△DEF．请判断小明的猜想是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 25．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CD⊥AB．如果以AB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，点D为坐标原点O，建立平面直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2？ （2）是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．CBCBD． 6-10．ABABD． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．8． 12．6． 13．． 14．8． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：设， ∴a＝2k，b＝3k， ∵a+b＝10， ∴a+b＝2k+3k＝5k＝10， 解得k＝2， ∴a＝4，b＝6． 17．解，（1）如图所示为所求作， （2）∵△ABC∽△DAC， ∴， ∵BD＝5，CD＝4， ∴BC＝CD+BD＝4+5＝9， ∴， ∴AC2＝36， ∴AC＝±6， ∵AC为边长，AC＞0， ∴AC＝6． 18．解：（1）∵， 设a＝3x，b＝5x，c＝4x， ∴； （2）设a＝3x，b＝5x，c＝4x， ∵△ABC的周长为24， 可得3x+5x+4x＝24， 12x＝24， 解得：x＝2， ∴a＝3x＝6，b＝5x＝10，c＝4x＝8． 19．解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AD＝3，DE＝6．AB＝4.5， ∴， 解得：BC＝9； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴，即， 解得：BE． 20．解：（1）x2﹣12x﹣9＝0， x2﹣12x＝9， x2﹣12x+36＝9+36， （x﹣6）2＝45， ， 解得：； （2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1， ∴， ∵AB＝20，A1B1＝5，A1D1＝7，C1D1＝6， ∴，即y＝28， ∴，即x＝24， ∵∠α＝∠C，∠B＝∠B1＝130°，∠A＝∠A1＝70°，∠D＝∠D1＝85°， ∴∠α＝∠C＝360°﹣∠A1﹣∠B1﹣∠D1＝75°． 21．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAE， ∵∠B＝∠ADE， ∴△ADB∽△AED． （2）解：∵△ADB∽△AED， ∴， ∵AB＝9，AD＝6， ∴AE4， ∴AE的长是4． 22．解：解法一：选择方案一， 如图1，过点E作EH⊥CD，垂足为H，延长EH交AB于点G， 由题意得EG⊥AB，EF＝DH＝BG＝0.8m，EH＝DF＝1m，EG＝BF＝BD+DF＝45+1＝46（m）， ∴∠CHE＝∠AGE＝90°． ∵CD＝1.5m， ∴CH＝CD﹣DH＝1.5﹣0.8＝0.7（m）． ∵∠CEH＝AEG， ∴△CEH∽△AEG， ∴， ∴， ∴AG＝32.2， ∴AB＝AG+BG＝32.2+0.8＝33（m）， ∴塔的高度AB为33m； 解法二：选择方案二， 如图2，过点E作EM⊥CD，垂足为M，延长EM交AB于点N， ∵CD∥AB， ∴EN⊥AB． 由题意得CD＝0.22m，EM＝0.3m，EN＝45m． ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴， 解得AB＝33， ∴塔的高度AB为33m． 23．证明：（1）∵DE∥BC， ∴，∠BED＝∠CBE， ∴11， ∴， ∵EB平分∠DEC， ∴∠BED＝∠BEC， ∴∠CBE＝∠BEC， ∴BC＝CE， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽ABC， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，BC＝CE，， ∴， ∴， 又∠BED＝∠BEC， ∴△BED∽△CEB， ∴∠DBE＝∠BCE， 即∠ABE＝∠ACB， 又∠BAE＝∠CAB， ∴△ABE∽△ACB． 24．解：（1）∵Rt△ABC∽Rt△DEF， ∴， ∴， 即EF＝2DF， ∵∠F＝90°， ∴DF2+EF2＝DE2， 即DF2+（2DF）2＝（2）2， 解得DF＝2； （2）小明的猜想成立． 理由如下： ∵k， ∴AB＝kDE，AC＝kDF， ∴BCkkEF， ∴k， ∴， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF． 25．解：（1）作PH⊥AB于H，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8， 根据勾股定理得，BC＝6， ∵CD⊥AB， ∴S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD； 由运动知，BQ＝t，CP＝t， ∵BC＝6， ∴BP＝6﹣t， ∵PH⊥CO， ∴， ∴， ∴， ∴S△BPQBQ•PHt•t（t﹣6）（0＜t≤6）， ∵以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2， ∴t（t﹣6）＝2， ∴t＝1或t＝5， 即当t＝1或5时，以点B、P、Q为顶点的三角形的面积为2； （2）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， 理由如下：分两种情况： ①当∠BQP＝90°时，如图3，此时△PQB∽△ACB， ∴， ∴， 解得t＝2.25； ②当∠BPQ＝90°时，如图4，此时△QPB∽△ACB， ∴， ∴， 解得t＝3.75 综上可得，t＝2.25或t＝3.75． 。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$