黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

高一数学期中考试参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A D A C D B 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD BC ACD 三、填空题 12、 13、 14、、 四、解答题 15.（13分） （1）解：由指数幂的运算法则，可得： . （2）解：由对数的运算法则及性质，可得： . 16.（15分） 1）∵函数的图象过点， ∴，∴，即， 又且，∴， 要使有意义， 则， ∴的定义域为； （2）， 令 ∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减 ∴在上的最大值为2. 17.（15分） （1）依题意，，而， 所以函数的解析式为，即. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 18.（17分） （1）当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. （2）由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. （3）由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，. 19.（17分） 解：（1），解得； ，解得； . （2） 若∅，则对，若满足，则，既, 若∅，同样. 假设，既存在，使得，，且. 不妨设，函数为连续单调递增函数，则，既，矛盾. 所以，则. （3） 若AB，则存在，使得，，且. 既，两式相减，得，又，，.带入，得，同理，，既方程存在两个不相等的实根，则， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3．若函数，则（　　） A． B．2 C． D．4 4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（ ） A．　　　 B．　　 C．　　　 D． 6．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（  ） A． B．或 C．是奇函数 D．是偶函数 7．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知为正实数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．给定函数,,对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ） A．函数是偶函数 B．函数的最大值是 C．函数在递增 D．函数有四个单调区间 10．已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（  ） A．函数无最大值 　　 B．函数的最小值为 C．函数在上递增　　　 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.．函数的单调递增区间为_______________ ． 13．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____________ ． 14．矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当______________时，三角形的面积最大，最大值为_______________ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 计算下列各式的值： (1)； (2)． 16．（15分） 设且，函数的图象过点． (1)求的值及的定义域； (2)求在上的最大值． 17．（15分） 如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 18．（17分） 已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若方程有实根，求实数m的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围． 19. （17分） 对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即． (1)设函数，求A和B； (2)证明：若为连续的单调函数，则； (3)若，存在，使得AB，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$B4正面 ■ 2024-2025学年度高一上学期期中考试 数学试卷 四、解答题：（本题共6小题，共77分） ⒗（15分） 15.（13分） 条码粘贴区 ■ 一、单选题： 二、多选题： ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B C C C C C C C C C C C D D D D D D D D D D D 三、填空题:（本题共4小题，每题5分，共20分） 12. 13. 14. 、 此处禁止答题 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ 1 HSDFZ 1、考生必须在本页“条码粘贴区”贴好自己的条形码，并用0.5毫米 的黑色签字笔填写好姓名和班级，否则影响考试成绩； 2、选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔 答题，超出黑色边框区域的答案无效；并请注意题号顺序； 3、保持卷面清洁，不要折叠，弄破； 4、选择题填涂样例：正确：! 错误：[√ ] [ × ] [ ／] [ ] 注意事项 姓名： 班级： B4反面 ■ 17.（15分） 18.（17分） 19.（17分） 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ 请在各题的答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！ ■ 2 HSDFZ $$2024-2025 学年度高一上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．命题 : 2p x  ， 2 0x  ，则 p 是（ ） A． 2x  ， 2 0x  B． 2x  ， 2 0x  C． 2x  ， 2 0x  D． 2x  ， 2 0x  2．已知集合 2{ | 2 }M y y x x    ， 2{ | log }N y y x  ，则M N （ ） A. (0,1] B. (0, 2] C. ( ,1] D. [1, ) 3．若函数 2 , 0 ( ) 2 5, 0 x x f x x x x          ，则 [ ( 1)]f f  （ ） A． 2 B．2 C． 4 D．4 4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． B． 2ln( 1 )y x x   C． D． 5．函数 2 ln(1 ) ( ) 2 7 3 x f x x x      的定义域为（ ） A． 1 ( ,1) 2 B． 1 [ ,1) 2 C． 1 [ ,1] 2 D． 1 ( ,1] 2 6．幂函数    2 3 3 mf x m m x   在区间  0,  上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． 4m  B． 4m  或 1m   C．  f x 是奇函数 D．  f x 是偶函数 7．已知函数 2 2 1 ( )f x x x   ，则不等式 (2 1) ( 1)f x f x   的解集为（ ） A． (0,2] B．[0,2] C． 1 1 (0, ) ( ,2] 2 2 D． 1 1 [0, ) ( ,2] 2 2 8．已知 ,x y为正实数，且 1x y  ，则 3 2 1x y xy   的最小值为（ ） A．4 3 7 B．2 2 3 C．4 2 D．6 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．给定函数 ( ) | | 2f x x   , ( ) | |g x x ,对于 x R  ，用 ( )M x 表示 ( )f x ， ( )g x 中的最大者，记为 ( ) max{ ( ), ( )}M x f x g x ，下列关于函数 ( )M x 的说法正确的是（ ） A．函数 ( )M x 是偶函数 B．函数 ( )M x 的最大值是2 C．函数 ( )M x 在 (0,1)递增 D．函数 ( )M x 有四个单调区间 10．已知函数 2 | lg |, 0 ( ) 2 1, 0 x x f x x x x       ，若 kxfxF -)()(  有四个不同的零点 1x ， 2x ， 3x ， 4x 且 4321 xxxx  ，则下列说法正确的是（ ） A. 0 1k  B. 1 2 2x x   C. 3 4 1x x  D. 3 4 10x x  11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列 为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 x，符号 x 表示不超过 x的最大整数，则  y x 称为高斯函数，例如  2e  ， 1.8 2   ，定义函数    f x x x  ，则下列说法正确的是（ ） A．函数  f x 无最大值 B．函数  f x 的最小值为1 C．函数  f x 在 ( 2, 1)  上递增 D．    1f x f x  三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12.．函数 2 1 2 ( ) log ( 4)f x x  的单调递增区间为_______________ ． 13．若不等式 2 1 0ax ax   对一切 x R 恒成立，则实数a的取值范围是____________ ． 14．矩形 ABCD（ AB AD ）的周长为 24 ，把 ABC 沿 AC 向 ADC 折叠， AB 折过去后交CD于 点 P .当 AB  ______________时，三角形 ADP的面积最大，最大值为_______________ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 计算下列各式的值： (1) 2 0 0.5 31 1 16 1 2022 9 642 1                       ； (2) 7 log 24 3log 27 lg 25 lg 4 7   ． 21 xy  x xy 2 1 2  xexy  16．（15 分） 设 0a  且 1a  ，函数      log 1 log 3a af x x x    的图象过点  1,2 ． (1)求a的值及  f x 的定义域； (2)求  f x 在 3 0, 2       上的最大值． 17．（15 分） 如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024 年上半年新 能源汽车销售 469 万辆，同比增长 29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产 x （千辆）获利 ( )W x （万元），关系如下： 275( 3),0 2 ( ) 750 ,2 6 1 x x W x x x x           ，该公司预计 2024 年全年其他成本 总投入为30x万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记 2024 年的全年利润为 ( )f x （单位：万 元）． (1)求函数 ( )f x 的解析式； (2)当 2024 年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 18．（17 分） 已知函数    4 1 2 1x xf x m     ． (1)若 0m  ，求  f x 在区间 1, 2 上的值域； (2)若方程   2 0f x   有实根，求实数 m 的取值范围； (3)设函数   22 4 1 1 2 x x g x           ，若对任意的  1 1, 2x   ，总存在  2 0,3x  ，使得    1 2f x g x ，求实数 m 的取 值范围． 19. （17 分） 对于函数   ,y f x x I  ， 若存在 0x I ，使得  0 0f x x ，则称 0x 为函数  y f x 的 “不动点”;若存在 0x I ，使得   0 0f f x x ，则称 0x 为函数  y f x 的“稳定点”.记函数 ( )y f x 的“不动点”和“稳定点” 的集合分别为 A 和 B，即  ( ) ,A x f x x   ( ( ))B x f f x x  ． (1)设函数 ( ) 2 1f x x  ，求 A 和 B； (2)证明：若 为连续的单调函数，则 ； (3)若 ，存在 ，使得 AB，求实数 a 的取值范围． )(xf BA  ),()( 2 RaRxaxxf  a