第22讲三角函数的图象和性质（18种题型+6个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第22讲 三角函数的图象和性质（18种题型+6个易错点+过关检测） 知识点1.正（与）弦函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 知识点2.“五点法”作图 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 知识点3.用三角函数图象解三角方程或不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍 知识点4.正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点5.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 注：用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式 知识点6.利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 知识点7.求三角函数值域或最值的常用方法 (1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin t的最值(值域). (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论. 知识点8.正切函数的图象与性质 （1）正切函数的图象 （2）正切函数的性质 ①定义域： ②值域：R ③周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 ④奇偶性：正切函数是奇函数，即 ⑤单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点9.正切函数的定义域、值域问题 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 知识点10.求正切函数的单调区间 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 利用正切函数的单调性比较大小 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 题型1：三角函数的周期性 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·河南开封·期末）函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式2】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数满足，求的周期； （2）若函数满足，求的周期； （3）若函数满足，求的周期. 题型2：三角函数周期性的应用 【例题2】（21-22高一上·湖南湘潭·期末）若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数 的最小正周期为，则 . 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）求下列函数的周期（第（1）题用周期函数的定义，第（2）题用公式） (1)； (2). 题型3：正弦函数、余弦函数图象的画法 【例题3】（20-21高一上·全国·课后作业）用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【变式1】（20-21高一上·全国·课后作业）用五点法作函数f(x)＝sin的图象时，所取的“五点”是（    ） A．，，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，， 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是 . 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，试画出的图像. 题型4：正弦函数、余弦函数图象的识别 【例题4】（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数在内的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（22-23高一上·广东广州·期末）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国）下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是（    ） A．都可由内的图象向上、向下无限延展得到 B．都是对称图形 C．都与x轴有无数个交点 D．的图象与的图象关于x轴对称 【变式3】（21-22高一上·江苏苏州·期末）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（   ） A． y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x 题型5：正弦函数、余弦函数图象的定义域、值域 【例题5】（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高一上·云南德宏·期末），的定义域为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的值域. 题型6：正弦函数、余弦函数的周期性 【例题6】（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国）函数的周期为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数的最小正周期，求正整数k的值. 题型7：正弦函数、余弦函数的奇偶性、对称性 【例题7】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式1】（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·北京·期末）函数的对称中心为 . 【变式3】（23-24高一上·甘肃武威·期末）设函数. (1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (2)求在上的最值. 题型8：正弦函数、余弦函数的单调性 【例题8】（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）在内，函数和都是增函数的区间是 . 【变式3】（21-22高一上·全国）已知函数. (1)求函数的周期； (2)求函数的对称轴与对称轴中心； (3)求函数的单调区间. 题型9：正弦函数、余弦函数图象的应用 【例题9】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2】（22-23高一·全国·课后作业）函数，的图象和直线围成的一个封闭的平面图形的面积是 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2） 已知，求满足条件的角x的集合． 题型10：正切函数的图象的理解 【例题10】函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（23-24高一上·江苏·课后作业）函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（21-22高一·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）设函数. （1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图. 题型11：正切函数的定义域、值域 【例题11】（21-22高一上·安徽合肥·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·全国·课后作业）函数的值域为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的定义域； 题型12：正切函数的奇偶性、对称性、周期性 【例题12】（23-24高一上·贵州安顺·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·山东烟台·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ． 【变式3】（22-23高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 题型13：正切函数的单调性 【例题13】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·福建漳州·期末）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 【变式3】（22-23高一上·黑龙江鸡西·期末）求函数的定义域和单调增区间 题型14：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象 【例题14】（2022高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国）“五点法”作图 函数 图象       关键五点 ，， ，， ， ，， ， 【变式2】（24-25高一上·上海）（1）利用正弦线画出，的图像. （2）结合，的图像，最高点__________，最低点__________，与轴的交点__________，__________，__________. 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 题型15：平移变换 【例题15】（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式1】（23-24高一上·浙江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（    ） A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【变式2】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 ． 【变式3】（21-22高一上·甘肃酒泉·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求A，，的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. 题型16：伸缩变换 【例题16】（24-25高一上·上海·课后作业）把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图像是（    ） A．     B．   C．   D．   【变式1】（23-24高一上·甘肃陇南·期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 【变式2】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是 ． 【变式3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 题型17：利用图像确定函数解析式 【例题17】（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·云南·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式为 ． 【变式3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数 ()的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)求的值. 题型18：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质综合 【例题18】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·福建龙岩·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【变式2】（21-22高一上·北京·阶段练习）函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为 【变式3】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，求： (1)函数的最小正周期及对称中心； (2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 易错点1：忽略变量的取值范围 【例题1】若函数最小正周期为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则 . 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值，并求的单调递减区间； (2)求的对称轴； (3)求在上的值域. 易错点2：单调性概念理解不准确 【例题2】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【变式1】（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【变式2】（21-22高一上·天津东丽·期末）函数的定义域是 ；单调递增区间是 . 【变式3】（24-25高一上·全国·）观察正弦函数的函数图象，你能写出在上的单调区间吗？ 易错点3：忽略定义域 【例题3】（2024高一上·全国·专题练习）函数y＝是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【变式1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 ． 【变式3】（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数为方程的解. (1)判断的奇偶性； (2)若不等式：对于恒成立，求满足条件的的集合.（其中为自然对数的底） 易错点4：图象平移变换错误 【例题4】（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（　　）． A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【变式2】（20-21高一上·山东济宁·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式3】（2023高一上·江苏·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为 ． 易错点5：审题错误 【例题5】（23-24高一·江西·期末）已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【变式1】（23-24高一·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 【变式2】（23-24高一上·北京大兴·期末）要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 【变式3】（20-21高一上·江苏宿迁·期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（    ）． A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）； B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）； C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）； D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）． 易错点6：如图写式中求参数错误 【例题6】（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示．则函数的解析式为 ． 【变式2】（21-22高一上·全国·课后作业）函数的部分图像如图所示，求函数的表达式.       【变式3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数的部分图象如下图所示，根据图中信息解答下列问题． (1)求函数的最小正周期T； (2)写出函数的单调递减区间； (3)求函数的解析式． 一、单选题 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）函数的最小正周期等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏泰州·阶段练习）关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期是 D．在内单调递增 4．（23-24高一上·四川绵阳·期末）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川绵阳·期末）函数在区间上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 7．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·全国·课后作业）如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时，φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，则（ ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．图象的一个对称中心是 D．在上单调递增 三、填空题 12．（20-21高一上·黑龙江·阶段练习）已知.则的定义域为 13．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象的对称轴为 ，对称中心为 ． 14．（21-22高一上·河北邯郸·期末）已知（，为常实数），若，则 . 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 16．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 18．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)探究的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性. 19．（23-24高一上·四川内江·期末）已知函数（，，）的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式、对称轴、对称中心； (2)求函数在上的单调递减区间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 三角函数的图象和性质（18种题型+6个易错点+过关检测） 知识点1.正（与）弦函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 知识点2.“五点法”作图 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 知识点3.用三角函数图象解三角方程或不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍 知识点4.正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点5.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 注：用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式 知识点6.利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 知识点7.求三角函数值域或最值的常用方法 (1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin t的最值(值域). (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论. 知识点8.正切函数的图象与性质 （1）正切函数的图象 （2）正切函数的性质 ①定义域： ②值域：R ③周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 ④奇偶性：正切函数是奇函数，即 ⑤单调性：在开区间内，函数单调递增 知识点9.正切函数的定义域、值域问题 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 知识点10.求正切函数的单调区间 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 利用正切函数的单调性比较大小 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 题型1：三角函数的周期性 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，以为最小正周期的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断. 【详解】对于A，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，的图象是由把轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 则最小正周期为，故D正确． 故选：D． 【变式1】（23-24高一上·河南开封·期末）函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用正切函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】因为（）的最小正周期为， 所以的最小正周期，解得. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是 ． 【答案】8 【分析】由题知该函数的最小正周期为，利用正切函数的周期公式运算得解. 【详解】由题意知函数的最小正周期为， ∴． 故答案为：8. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若函数满足，求的周期； （2）若函数满足，求的周期； （3）若函数满足，求的周期. 【答案】（1）周期为2（或2的非零整数倍）；（2）周期为4（或4的非零整数倍）；（3）周期为3（或3的非零整数倍）. 【分析】（1）利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. （2）利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. （3）利用抽象函数的运算性质得到周期性即可. 【详解】（1）因为，即， 所以的周期为2（或2的非零整数倍）. （2）， 所以的周期为4（或4的非零整数倍）. （3）， 又， 两式作差，得到，所以的周期为3（或3的非零整数倍）. 题型2：三角函数周期性的应用 【例题2】（21-22高一上·湖南湘潭·期末）若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案. 【详解】∵，∴， 根据题意结合正弦函数图象可得 ，解得. 故选：B. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据周期公式即可得到答案. 【详解】依题意．所以ω的值为， 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数 的最小正周期为，则 . 【答案】12 【分析】根据三角函数的最小正周期公式列方程，解方程求得的值. 【详解】由于，依题意可知. 故答案为： 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）求下列函数的周期（第（1）题用周期函数的定义，第（2）题用公式） (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用换元法，令，根据的周期求解出的周期； （2）根据正切型函数的周期计算公式求解出周期. 【详解】（1）设，则， 由正切函数的周期得， 即， 所以, 所以， 所以原函数的周期为； （2）由， 所以此函数的周期为. 题型3：正弦函数、余弦函数图象的画法 【例题3】（20-21高一上·全国·课后作业）用五点法作函数y＝2sin x－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【分析】根据五点作图法，确定首先描出的五个点的横坐标. 【详解】由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：，，，，. 故选：A. 【变式1】（20-21高一上·全国·课后作业）用五点法作函数f(x)＝sin的图象时，所取的“五点”是（    ） A．，，，， B．，，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】A 【分析】令2x－＝0可得x＝，再由函数的最小正周期可得选项. 【详解】令2x－＝0可得x＝，又函数的最小正周期为，则， 所以五点的坐标依次是，，，，. 故选：A. 【变式2】（21-22高一·全国·课后作业）用“五点法”作函数y＝1－cos x，x∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是 . 【答案】（0，0），，（π，2），，（2π，0） 【分析】取一个周期内的五个关键点，即分别令，求出对应的纵坐标即可. 【详解】因为y＝1－cos x，x∈[0，2π]，则 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故五个关键点（0，0），，（π，2），，（2π，0） 故答案为：（0，0），，（π，2），，（2π，0）. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，试画出的图像. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，在同一坐标系中分别画出正余弦函数图像，即可得到结果. 【详解】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图像，上方的画成实线，下方的画成虚线，则实线部分即为的图像. 题型4：正弦函数、余弦函数图象的识别 【例题4】（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数在内的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数解析式可得为奇函数，图象关于原点对称，再利用特殊值即可得出A正确. 【详解】由题意可知函数定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项BD， 不妨取，则，排除C选项，即A正确； 故选：A 【变式1】（22-23高一上·广东广州·期末）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性判断AD，再根据函数在的符号排除C得答案. 【详解】解：由题知函数的定义域为， ， 所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 故排除AD， 因为，， 所以，当时，；当时，； 所以C选项不满足，B选项满足. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·全国）下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是（    ） A．都可由内的图象向上、向下无限延展得到 B．都是对称图形 C．都与x轴有无数个交点 D．的图象与的图象关于x轴对称 【答案】A 【分析】ABC项，由正、余弦函数图象可知，D项证明可得. 【详解】A项，正弦函数、余弦函数的图象应由内的图象向左、向右无限延展得到，向上、向下无限延展是无法得到正弦函数、余弦函数的图象的，故A错误； B项，正弦函数是奇函数，图象关于原点对称，余弦函数是偶函数，图象关于轴对称， 故正弦函数、余弦函数的图象都是对称图形，故B正确； C项，正弦函数、余弦函数的图象都与x轴有无数个交点，故C正确； D项，函数， 设函数图象上任意一点，则， 且点关于轴的对称点满足， 即在函数的图象上； 设函数图象上任意一点，则， 且点关于轴的对称点满足，即在函数的图象上； 综上可得的图象与的图象关于x轴对称，故D正确. 故选：A. 【变式3】（21-22高一上·江苏苏州·期末）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（   ） A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x 【答案】A 【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论. 【详解】由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数， 对于选项B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除B； 对于选项C，f（x）＝，f（－x）＝＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除C； 对于选项D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）为奇函数， 由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的图象可知它们只有一个交点，故排除D； 对于选项A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）为奇函数， 且f（x）＝0时，x＝0或x＝kπ＋（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0， 故选项A最可能正确. 故选：A. 题型5：正弦函数、余弦函数图象的定义域、值域 【例题5】（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件代入计算可得，，再由，代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则，即， 同理可得，， 又，，则，， ，，解得. 故选：B. 【变式2】（20-21高一上·云南德宏·期末），的定义域为 ． 【答案】 【分析】由，根据余弦函数在的图象可求得结果. 【详解】由得：，又，， 即的定义域为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）求函数，的值域. 【答案】. 【分析】根据函数，使用换元法令得，然后根据二次函数求值域即可. 【详解】由题意，. 令，则. 当时，y取最小值； 当时，y取最大值. 故函数的值域为. 题型6：正弦函数、余弦函数的周期性 【例题6】（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的最小正周期，进而即得. 【详解】由题可知最小正周期. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国）函数的周期为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的性质及函数图象的变换判断即可. 【详解】因为正弦函数的最小正周期为， 的图象是由的图象关于轴翻折，再向上平移一个单位得到， 翻折和平移时周期不变，所以的周期为． 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数的最小正周期，求正整数k的值. 【答案】，27或28. 【分析】利用最小正周期的定义建立不等式，解出参数范围，再求值即可. 【详解】∵， 即，， 故，， 故，27或28. 题型7：正弦函数、余弦函数的奇偶性、对称性 【例题7】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【分析】由诱导公式将函数化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为， ，所以函数是最小正周期为. 又因为，所以函数是奇函数. 故函数是最小正周期为的奇函数. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数是定义在上的任意奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义逐个选项分析即可. 【详解】对于A，令，，故，即是奇函数，故A错误， 对于B，令，而，故是偶函数，故B正确， 对于C，令，，显然当时，不是偶函数，故C错误， 对于D，令，而,故，即是奇函数，故D错误. 故选：B 【变式2】（22-23高一上·北京·期末）函数的对称中心为 . 【答案】，. 【分析】利用整体代换法求解对称中心. 【详解】令， 解得 故函数的对称中心为，. 故答案为：，. 【变式3】（23-24高一上·甘肃武威·期末）设函数. (1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (2)求在上的最值. 【答案】(1)对称轴方程为，，对称中心的坐标为，； (2)，. 【分析】（1）因为，根据正弦函数的图像与性质，即可求解； （2）由，所以，得到函数的单调性，进而求得函数的最值. 【详解】（1）解：因为， 令，解得， 所以的对称轴方程为， 令，可得， 可得函数图象的对称中心的坐标为. （2）解：因为，所以， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又由，， 所以. 题型8：正弦函数、余弦函数的单调性 【例题8】（23-24高一上·江苏常州·期末）下列函数中，是奇函数且单调递减的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合奇偶性的判断与单调性的判断，一一分析即可. 【详解】对于A，的定义域为， 在上单调递增，故A错误； 对于B，的定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，设的定义域为R， 为奇函数，因为在R上单调递减， 所以在R上单调递减，故C正确； 对于D，的定义域为R，在定义域内的单调性有增有减，故D错误. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）下列函数中，周期为，且在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，并利用整体法验证函数的单调性，得到答案. 【详解】A选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递减，故A正确； B选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故B错误； C选项，的最小正周期为，不合要求，C错误； D选项，的最小正周期为， 又时，， 由于在上单调递增，故D错误； 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）在内，函数和都是增函数的区间是 . 【答案】 【分析】分别求出两个函数在的单调增区间，然后求交集即可得解. 【详解】因为在内单调增区间为：， 在内单调增区间为：， 所以在内，函数和都是增函数的区间是. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一上·全国）已知函数. (1)求函数的周期； (2)求函数的对称轴与对称轴中心； (3)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)对称轴为，对称中心为 (3)单调递增区间是； 单调递减区间是 【分析】（1）利用余弦函数的周期公式即可求得函数的最小正周期； （2）由，可求得该函数的对称轴方程；由，可求得该函数的对称中心； （3）利用余弦函数的单调性，求出函数的单调区间． 【详解】（1）解：由，得，所以； （2）解：令， 解得， 所以函数的对称轴为. 令，解得. 所以函数的对称中心为； （3）解：当时，解得，，故函数的单调递增区间是； 令，解得，，故函数的单调递减区间是. 题型9：正弦函数、余弦函数图象的应用 【例题9】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】通过画图即可直接判断. 【详解】因为函数与函数的图象有1个交点， 所以中有1个元素. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】令，解得或，结合正、余弦函数即可得结果. 【详解】由题意可得：， 令，解得或， 又因为时，由正、余弦函数可知、分别有两解． 综上所述：函数在上的零点个数为 故选：C. 【变式2】（22-23高一·全国·课后作业）函数，的图象和直线围成的一个封闭的平面图形的面积是 ． 【答案】 【分析】作出函数图象，利用补形法，可以将所求封闭的平面图形，转化为一个边长分别为2和的矩形，可求面积. 【详解】根据题意作图如下：    由余弦函数的性质可知，图形与，与分别是两组对称图形， 则有，，阴影部分面积等于矩形的面积， 根据图形可知：，，矩形的面积为. 即封闭图形的面积为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求角x的解集； （2）已知，求满足条件的角x的集合． 【答案】（1）或；（2）或. 【分析】（1）将看成整体角，结合正弦函数的图象和函数值，即可求得的范围； （2）将方程变形后，把看成整体角，结合余弦函数的图象和函数值，即可求得的范围. 【详解】（1）由题意得， 结合正弦函数在上的图象可得，或， 再利用正弦函数的周期性，可得：或，， 解得或， 故满足条件的角x的集合为或 （2）由变形得，， 结合余弦函数在上的图象可得，或， 再利用余弦函数的周期性，可得：或，， 解得或 故满足条件的角x的集合为或. 题型10：正切函数的图象的理解 【例题10】函数在一个周期内的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由正切函数的图象与性质判断， 【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A， 故选：A 【变式1】（23-24高一上·江苏·课后作业）函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用函数奇偶性和分析出当时，，即可得到答案. 【详解】由，首先其定义域关于原点对称， 且 所以，即函数是偶函数，故排除A，C， 当时，，则，排除D. 故选：B 【变式2】（21-22高一·上海奉贤·期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质即得. 【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期， 因为函数的最小正周期为， 所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）设函数. （1）求函数f(x)的最小正周期､对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图. 【答案】（1）最小正周期，对称中心是；（2）答案见解析. 【分析】（1）首先根据正切函数的周期公式即可得到函数的周期，再根据正切函数的对称中心即可得到函数的对称中心. （2）根据函数的解析式得到的图象与轴的交点坐标为，图象上的、两点，再找到两侧相邻的渐近线方程，画出函数的图象即可. 【详解】（1），， 令，，解得，， 故对称中心为. （2）令，解得， 令，解得， 令，解得， 令，解得， 令，解得， 所以函数的图象与轴的一个交点坐标为， 图象上的点有、两点， 在这个周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为和， 从而得到函数在一个周期内的简图(如图). 【点睛】本题主要考查正切函数的周期和对称中心，同时考查了正切函数的图象，关键点是找出图象上的点用描点法画图象，属于中档题. 题型11：正切函数的定义域、值域 【例题11】（21-22高一上·安徽合肥·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作换元,根据已知求得的范围，然后根据正切函数的性质得到所求函数值域，进而作出判定. 【详解】设,因为，所以， 因为正切函数在上为单调递增函数，且, 所以． ∴函数的值域为， 故选：A． 【变式1】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【详解】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式2】（22-23高一·全国·课后作业）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据正切函数单调性可确定的范围，进而推导得到函数的值域. 【详解】当时，，， 即的值域为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的定义域； 【答案】. 【分析】根据对数的真数大于零及开偶数次方根号里得数大于等于零即可得解. 【详解】由题意得，所以，， 如图所示可得函数定义域为. 题型12：正切函数的奇偶性、对称性、周期性 【例题12】（23-24高一上·贵州安顺·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·山东烟台·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义进行判断. 【详解】由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故A错误; 由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故B错误； 由，定义域关于原点对称，则，所以是奇函数，故C正确； 由，定义域关于原点对称，则，且，所以非奇非偶，故D错误. 故选：C 【变式2】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ． 【答案】，（答案不唯一，横坐标只需符合） 【分析】根据的性质，求函数的对称中心只需满足求解即可. 【详解】根据，得，则， 令，即， 所以． 故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合） 【变式3】（22-23高一·全国·课后作业）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【答案】(1)， ； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得； （2）由题可得，进而即得； （3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 题型13：正切函数的单调性 【例题13】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·福建漳州·期末）函数的单调区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的性质可得，解得答案. 【详解】由，解得， 所以函数的单调区间是. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的单调区间求解即可. 【详解】根据正切函数的单调区间可得 ， . 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·黑龙江鸡西·期末）求函数的定义域和单调增区间. 【答案】；. 【分析】求正切型函数的定义域和递增区间，首先都要把角看成整体角，再利用正切函数的定义域和递增区间处理即可. 【详解】由函数有意义可得：，解得， 即函数的定义域为： 又由可得：， 即函数的单调增区间为：. 题型14：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象 【例题14】（2022高一·全国·专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与的关系进行判断即可． 【详解】与对应五点的横坐标相同，则五点法对应五点的横坐标， 故选：A． 【变式1】（24-25高一上·全国）“五点法”作图 函数 图象       关键五点 ，， ，， ， ，， ， 【答案】 【分析】略 【详解】略 【变式2】（24-25高一上·上海）（1）利用正弦线画出，的图像. （2）结合，的图像，最高点__________，最低点__________，与轴的交点__________，__________，__________. 【答案】（1）作图见解析；（2），，，， 【分析】（1）根据正弦线的作法，即可画出图象； （2）结合图象即可知道答案. 【详解】（1），的图像如图所示 （2）由图可知，的图像，最高点为，最低点为，与轴的交点为，， 【变式3】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）先用列表，然后五点法画出函数的图，然后再利用偶函数的对称性，画出的完整的图即可. 【详解】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 题型15：平移变换 【例题15】（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·浙江·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（    ） A．向左平移1个长度单位 B．向右平移1个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可求得答案. 【详解】由于， 为了得到函数的图象， 只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位， 故选：D 【变式2】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 ． 【答案】 【分析】 根据三角函数平移变换规定得到，知其为偶函数，故图象应经过，结合正弦函数的图象与性质即可求得的范围即得. 【详解】由函数的图象向右平移m个单位得到函数：的图象， 因的图象关于y轴对称，故有，则有，解得：， 因，故当且仅当时，m的最小值为. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一上·甘肃酒泉·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求A，，的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值. 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）根据函数的部分图象即可求出A，，然后代入点，由即可求出的值； （2）根据三角函数的图象变换先求出函数的解析式，然后利用，结合即可确定的值. 【详解】（1）解：由图可知，，，所以，即，所以. 将点代入得，， 又，所以； （2）解：由（1）知， 由题意有， 所以，即， 因为，所以， 所以或，即或， 所以的值为或. 题型16：伸缩变换 【例题16】（24-25高一上·上海·课后作业）把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图像是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由三角函数的图象变换得，再结合图象判断． 【详解】解：把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得；向右平移1个单位长度得；再向下平移1个单位长度得. 令，得；令，得，观察即知B正确. 故选：B 【变式1】（23-24高一上·甘肃陇南·期末）要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的得到． 也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的得到， 再向左平移个单位长度得到． 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式是 ． 【答案】（答案不唯一，如） 【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式. 【详解】将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象， 再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得的图象， 所以函数的解析式是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式及对称中心； (2)先将的图象横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 【答案】(1)；对称中心为， (2) 【分析】（1）由最值求，由周期求，由图象上的点求，得函数解析式，整体代入法求对称中心； （2）由图象变换得解析式，由定义区间结合正弦函数的单调性求单调减区间. 【详解】（1）由图象可知，，最小正周期，得， 此时，由， 得，，由，所以， 所以函数的解析式为； 由，，可得，. 故函数的对称中心为，； （2）先将的图象横坐标缩短为原来的倍，可得的图象， 再向右平移个单位，得到的图象， 即. 因为，所以， 当即时，单调递减， 所以在上的单调递减区间为 题型17：利用图像确定函数解析式 【例题17】（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象及“五点法”作图求解即可. 【详解】根据图象可得，，解得， 所以，即， 将点代入的解析式，得， 则，解得，，又， ，所以. 故选：D. 【变式1】（23-24高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析图象，由周期性可得，由最大值点可得，由与轴交点可得. 【详解】，故，则，又，故， ，故，， 解得，，又，故， 则，故， 即. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·云南·期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象求三角函数解析式即可. 【详解】由图知：且，则，可得， 所以，而，且， 所以，故. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数 ()的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可得，，进而得到，将点代入的解析式可得，进而求解； （2）结合诱导公式直接代值计算 【详解】（1）由图象知，的最小正周期 ， 故，将点代入的解析式得 ， 又，所以， 故函数的解析式为. （2）由（1）知， 所以. 题型18：函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质综合 【例题18】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正弦型函数的图象性质计算即可得. 【详解】根据题意，当时，有， 而函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点， 因此，可得． 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·福建龙岩·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】C 【分析】首先得到平移后的函数解析式，根据的对称性求出的值，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到， 若的图象关于直线对称，则，，解得，， 又，所以，故， 则，所以为非奇非偶函数，故A、B错误； 当，则，又在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 因为，故D错误. 故选：C 【变式2】（21-22高一上·北京·阶段练习）函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据上，求解的范围，结合三角函数的图象，即可求解的取值范围． 【详解】解：由题意上，那么上， 则当时，；当时，；当时，； 且 如下为函数在上的图象： 直线在与有三个交点，则， 不妨设， 根据三角函数的图象及性质，可得，关于直线对称，而， 那么， 的取值范围． 故选答案为：． 【变式3】（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，求： (1)函数的最小正周期及对称中心； (2)先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为， (2) 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式化简为，再根据正弦函数的性质求出即可. （2）先经过平移伸缩变换后再由正弦函数的单调性求出值域即可. 【详解】（1） ,令 所以对称中心为 （2）经平移变换后，， 因为，则， 易错点1：忽略变量的取值范围 【例题1】若函数最小正周期为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据周期公式计算可得结果. 【详解】由周期公式可得，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦型函数的最小正周期，属于基础题 【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性的定义和初等函数的单调性逐一判断. 【详解】对于A：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递减，A错误； 对于B：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递增，B正确； 对于C：，则，奇函数，C错误； 对于D：，则，偶函数， 另外当时，，函数单调递减，D错误. 故选：B. 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知函数，为奇函数，则 . 【答案】或 【分析】根据题意得到，解出再对赋值即可. 【详解】由题意知， 即. ∵， ∴当时，； 当时，. 故答案为：或 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值，并求的单调递减区间； (2)求的对称轴； (3)求在上的值域. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可. （2）利用余弦函数的对称性求出对称轴. （3）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，所以； 即，由，解得， 所以的单调减区间为. （2）由，得， 所以图象的对称轴为. （3）由，得，则，于是， 所以函数在上的值域为. 易错点2：单调性概念理解不准确 【例题2】（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【答案】C 【分析】根据余弦函数的单调性可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据奇偶性的定义可判断C；根据正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·天津南开·期末）设函数，则下列结论错误的是（    ） A．的一个周期为 B．在区间上单调递减 C．的一个零点为 D．的图象关于直线对称 【答案】B 【分析】根据函数周期性定义判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；将代入验证可判断C；将代入验证可判断D. 【详解】对于A，函数， 即的一个周期为，A正确； 对于B，时，， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上不单调，B错误； 对于C，， 将代入得， 故的一个零点为，C正确； 对于D，将代入，即, 即取到最值，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：B 【变式2】（21-22高一上·天津东丽·期末）函数的定义域是 ；单调递增区间是 . 【答案】 ； . 【分析】根据正切函数的定义以及单调性即可求得函数的定义域和单调递增区间. 【详解】由题意知函数，需满足， 即， 故的定义域是； 令， 即， 故的单调递增区间是， 故答案为：； 【变式3】（24-25高一上·全国·）观察正弦函数的函数图象，你能写出在上的单调区间吗？ 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】根据图象直接求解即可. 【详解】由图我们发现，区间正好是正弦函数的一个周期， 其中单调递增区间为，单调递减区间为. 易错点3：忽略定义域 【例题3】（2024高一上·全国·专题练习）函数y＝是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，然后根据奇偶性定义判断函数奇偶性. 【详解】定义域为R，，则是奇函数． 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）函数的图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的三角函数值确定正确答案. 【详解】的定义域是， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，由此排除BD选项. 由于， 所以，由此排除A选项.所以C选项正确. 故选：C 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】先求出函数的定义域，再求出的增区间，然后与定义域求交集即可. 【详解】由题意，得，所以，， 解得，． 令，，则，． 所以的单调递增区间为，， 所以函数的单调递增区间为，． 故答案为：， 【变式3】（22-23高一上·河北石家庄·阶段练习）已知函数为方程的解. (1)判断的奇偶性； (2)若不等式：对于恒成立，求满足条件的的集合.（其中为自然对数的底） 【答案】(1)奇函数； (2)且. 【分析】（1）先判断定义域关于原点对称，在验证与的关系，即可得到答案. （2）先解出方程的解，再把与代入不等式中，化简得，即可再结合函数的定义域即可求出答案. 【详解】（1）定义域：，定义域关于原点对称 则 既满足 故函数为奇函数. （2） 为方程的解 由 可得： 上式恒成立，只需 即， 即 解得：且 综上，满足条件的的集合 且 易错点4：图象平移变换错误 【例题4】（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度， 故选：B. 【变式1】（22-23高一·全国·随堂练习）为了得到函数的图象，只需将余弦函数图象上各点（　　）． A．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】D 【分析】对函数图象的影响可得变换方法. 【详解】把上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象. 故选：D. 【变式2】（20-21高一上·山东济宁·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图像的变换可得答案. 【详解】因为， 所以的图象向右平行移动个单位长度可得到函数， 故选：D. 【变式3】（2023高一上·江苏·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数平移规律，即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为． 故答案为： 易错点5：审题错误 【例题5】（23-24高一·江西·期末）已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可. 【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选:C. 【变式1】（23-24高一·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位 【答案】B 【分析】由三角函数的伸缩和平移变化对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为， 将函数向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，故A错误； 将函数向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得，故B正确； 将函数所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，可得，故C错误； 将函数所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，可得，故D错误； 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·北京大兴·期末）要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 C．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍 D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 【答案】A 【分析】根据三角函数平移，伸缩的变换规律，即可判断选项. 【详解】函数图象上的所有点先向右平移个单位长度，得到函数， 再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数. 故选：A 【变式3】（20-21高一上·江苏宿迁·期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象上所有的点（    ）． A．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）； B．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）； C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再向右平移个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）； D．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移个单位，然后横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）． 【答案】D 【解析】直接利用三角函数的图象变换知识求解. 【详解】将函数的图象上所有的点纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到，再把函数的图象上向左平移个单位，得到，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到. 故选：D 【点睛】结论点睛：三角函数图像的平移变换和上下变换： 平移变换：左加右减，上加下减 把函数向左平移个单位，得到函数的图像 把函数向右平移个单位，得到函数的图像 把函数向上平移个单位，得到函数的图像 把函数向下平移个单位，得到函数的图像 伸缩变换： ①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得 ②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得 ③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得 ④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得 易错点6：如图写式中求参数错误 【例题6】（24-25高一上·全国·课前预习）函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象，先求得，再求得，从而求得正确答案. 【详解】由图可知，，，所以． 由函数图象经过点，可知， 所以，， 所以，，因为，所以， 所以函数的解析式为． 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·福建莆田·期末）已知函数的部分图象如图所示．则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】由函数的图像确定周期，求，由“五点法”，求，即可求函数的解析式. 【详解】由图象知，，，， 把点代入得，， ，，， 故答案为： 【变式2】（21-22高一上·全国·课后作业）函数的部分图像如图所示，求函数的表达式.       【答案】 【分析】根据图像得到周期，再根据五点作图法得到即可. 【详解】由题意可知，函数的周期为： 所以， 由五点法作图可知： ， 即， 又因为， 所以， 所以函数的表达式为 【变式3】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知函数的部分图象如下图所示，根据图中信息解答下列问题． (1)求函数的最小正周期T； (2)写出函数的单调递减区间； (3)求函数的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由图象得出半周期，进而可得函数的最小正周期T； （2）由图象直接得出函数的单调递减区间； （3）结合图象分别求出，从而可得函数的解析式. 【详解】（1）由图可知：， 所以函数的最小正周期． （2）由图可知，函数的单调递减区间为：. （3）由图可知； 又，又，故 ; 由图象过点得：，，解得，， 又，故. 于是函数的解析式为. 一、单选题 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）函数的最小正周期等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的周期公式计算即得. 【详解】函数的最小正周期. 故选：A 2．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的周期公式直接求解即可 【详解】的最小正周期为， 故选：C 3．（22-23高一上·江苏泰州·阶段练习）关于函数的性质，下列叙述不正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期是 D．在内单调递增 【答案】C 【分析】作出的图象，结合正切函数的性质对选项逐一判断， 【详解】作出的图象如图所示， 对于A，，故是偶函数，故A正确， 对于B，结合正切函数的性质知的图象关于直线对称，故B正确， 对于C，的最小正周期是，故C错误 对于D，结合正切函数的性质知在内单调递增，故D正确， 故选：C 4．（23-24高一上·四川绵阳·期末）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦函数、二次函数、指数以及对数函数单调性即可得解. 【详解】在区间上单调递减，在区间上单调递减，故AB错误； 而在区间单调递增，所以在区间单调递减，故C错误； 所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 5．（23-24高一上·四川绵阳·期末）函数在区间上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将表达式化简，结合正弦函数的图象即可得解. 【详解】由题意， 所以函数在区间上的图象大致如图： . 故选：A. 6．（21-22高一上·全国·单元测试）下列函数中，最小正周期为π的函数是（    ） A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 【答案】D 【分析】利用三角函数的周期公式求解判断. 【详解】A. y＝sin x的最小正周期为，故错误； B. y＝cos x的最小正周期为，故错误； C. y＝sin的最小正周期为，故错误； D. y＝cos，故正确； 故选：D 7．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简函数，再应用整体代换计算余弦函数的单调减区间即可. 【详解】， 令，则， 所以函数的单调递减区间为． 故选：A． 8．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案. 【详解】由题意知， 因为为奇函数，所以， ， 因为为偶函数，所以， 相加得， 又因为，所以， 当代入得，即， 代入得，即，即； 当代入得，即， 代入得，即，即； 因为 在上没有最小值， 设，则，所以，的最大值是6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数中周期为π，且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据周期的定义以及奇偶性的定义判断 A；根据 是奇函数， 的周期为 ，分别判断 BD；化简 , 再判断 C. 【详解】对于A,因为 , 所以 的周期为 , 因为 , 所以 是偶函数,A 符合题意； 对于B, 是奇函数，B 不合题意； 对于D, 的周期为 ，所以 D 不合题意； 对于C, 因为 是偶函数， 因为 的周期是 符合题意. 故选: AC. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）如果函数的图象关于直线对称，那么取最小值时，φ的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】依题意，当时，函数取得最值，据此可以得出关于的式子，进而求解 【详解】因为是的对称轴， 所以， 所以， 即， 当取最小值时，即或2，则. 故选：CD 11．（23-24高一上·四川遂宁·阶段练习）已知，则（ ） A．是偶函数 B．的最小正周期是 C．图象的一个对称中心是 D．在上单调递增 【答案】ABC 【分析】根据余弦函数性质及偶函数定义判断A，利用余弦型函数的最小正周期公式求其最小正周期判断B，根据余弦型函数的对称中心的求法求对称中心，判断C，结合余弦函数单调性判断D. 【详解】因为，定义域为， ，所以是偶函数，故A正确； 函数的最小正周期为，故B正确； 函数，所以是图象的一个对称中心，故C正确； 令，解得， 即的单调递增区间为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（20-21高一上·黑龙江·阶段练习）已知.则的定义域为 【答案】 【分析】由根式的性质有，根据余弦函数的性质，即可求的定义域. 【详解】由题意知：，则， ∴. 故答案为：. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的图象的对称轴为 ，对称中心为 ． 【答案】 ， ， 【分析】根据正弦函数的对称性直接求解可得． 【详解】由，，得，． 由，，得，． 故函数的图象的对称轴为，，对称中心为，． 故答案为：；. 14．（21-22高一上·河北邯郸·期末）已知（，为常实数），若，则 . 【答案】 【分析】由得出，进而得出. 【详解】， ， ∴，∴， ∵，∴. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（为正整数）在上不单调，求的最小值． 【答案】3 【分析】需要分单调递增和单调递减两种情况来讨论，然后利用三角函数中余弦函数的性质的单调性的应用，集合的对立关系的应用求出的最小值． 【详解】解：当函数严格增时，， 整理得（）． 若函数在上严格增， 则（）， 即，整理得． 当时，；① 当函数严格减时，（）， 整理得（）， 若函数在上严格减， 则（）， 即，整理得， 当时，．② 由于函数在上不单调，且为正整数， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 所以的最小值为3． 16．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】利用余弦函数的性质确定函数的单调区间，借助集合的包含关系即可求解. 【详解】，令， 可得：, 由可得， 由题意可得 ，解得 ，所以的取值范围为 . 17．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用函数对称轴以及可解得，再由正弦函数单调性可得结果； （2）利用整体代换法，由函数单调性即可求得函数在区间上的最值. 【详解】（1）∵函数的图象关于直线对称， 所以，； 又，所以时，， 因此； 令，解得； ∴函数的单调递减区间为 （2）由（1）得， 因为，得， ，得 函数在区间上的最大值为，最小值为 18．（21-22高一上·全国·课后作业）已知函数. (1)求的定义域、值域； (2)探究的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)答案见解析. 【分析】(1)根据给定函数结合正切函数的定义域和值域即可计算作答. (2)借助正切函数的周期性、奇偶性、单调性及其图象的对称性探讨相应性质即可作答. 【详解】（1）函数，令，解得， 所以的定义域为，值域为. （2）依题意，函数为周期函数，其最小正周期； 由(1)知，函数的定义域为，显然，而， 即函数的定义域关于数0不对称，则既不是奇函数也不是偶函数； 由得：， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间； 由得：， 所以函数的图象的对称中心是. 19．（23-24高一上·四川内江·期末）已知函数（，，）的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称. (1)求的解析式、对称轴、对称中心； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1)；对称轴为，；对称中心为，. (2)在上的单调递减区间为，，. 【分析】（1）先根据函数的最值，最小正周期，对称轴求出函数的解析式，再利用函数 的性质求对称轴与对称中心； （2）利用函数的性质求出递减区间，再结合区间即得. 【详解】（1）由题意可知，所以，， 因为的图象关于直线对称，所以，， 得，，又因，所以，故， 令，，得，，故函数的对称轴为，； 令，，得，， 故对称中心为，. （2）， 令，，得，， 故函数的递减区间为，， 当时得，当时得，当时得， 又因， 所以在上的单调递减区间为，， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$