5.6 二元一次方程与一次函数（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 5.6 二元一次方程与一次函数 知识点一 一次函数与二元一次方程的关系 ◆1、一次函数与二元一次方程的关系： 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来, 一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解. 知识点二 一次函数与二元一次方程组的关系 ◆2、一次函数与二元一次方程组的关系： 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应着一条直线，这条直线上每个点的坐标（x, y）都是这个二元一次方程的解.因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线. 从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 知识点三 二元一次方程组与对应平行直线的关系 ◆1、对于两不重合的直线l1: y1 =k1x＋b1，l2: y2 =k2x＋b2，当l1平行于l2时，k1=k2 ；反之也成立. ◆2、对于方程组 ，当 = 且≠时，方程组无解；反之也成立. 题型一 利用一次函数解一元一次方程 解题技巧提炼 解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值． 1．（2024秋•碑林区校级期中）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且kb≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣8 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝8 2．（2023秋•温县期中）已知一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则方程mx﹣n＝0的解可能 是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x D．x＝﹣2 3．（2024秋•碑林区校级期中）已知一次函数y＝3x+n的图象如图所示，则方程3x+n＝0的解可能是（　　） A．x＝1.3 B． C． D．x＝﹣1 4．（2024秋•胶州市期中）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0）中，x与y的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2.5 2 1.5 1 0.5 则关于x的方程ax+b＝2的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 5．（2023春•海港区期末）如图，已知函数y＝2x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b＝ax﹣3的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣5 C．x＝0 D．都不对 6．（2023春•青云谱区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A，则关于x的方程mx+n＝px+q的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．4 7．（2023春•柘城县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标 解题技巧提炼 交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点； 令x=0，解方程即得与y轴的交点 . 1．（2023秋•丰顺县校级期末）已知方程kx+b＝0的解是x，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•南昌期末）一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0） 3．（2024春•白云区期末）若x＝4是方程kx+b＝0的解，则直线y＝kx+b的图象与x轴交点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0） 4．已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于 点（0，2），则这个一次函数的表达式是 ． 5．（2023春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题： （1）与x轴交点A的坐标是 　 　，与y轴交点B的坐标是 　 　； （2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 　 　，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是　 　； （3）当y＝﹣1时，求x的值． 6．（2023春•聊城期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）． （1）求点D的坐标； （2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积； 题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组） 解题技巧提炼 用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解. 1（2024秋•历下区期中）在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（　　） A． B． C． D． 2．下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•历城区期中）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 5．（2023•城固县模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•昌平区期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图），则所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知一次函数y＝﹣x+4和y＝ax+2（a≠0）的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　． 8．（2024秋•历下区期中）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　． 9．（2023春•芝罘区期中）若正比例函数y＝﹣2x的图象与一次函数y＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣3． （1）求该一次函数的表达式． （2）直接写出方程组的解． 题型四 不解方程组判断方程组解的情况 解题技巧提炼 对于方程组 ，当 = 且≠时，方程组无解；反之也成立. 1．（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组 有（　　） A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定 2．若一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是（　　） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 3．若方程组无解，则一次函数y＝kx+3的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．（2023秋•南海区校级月考）直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣2平行，下列说法不正确的是（　　） A．a＝3 B．直线y＝ax+2与y＝3x﹣2没有交点 C．方程组无解 D．方程组有无穷多个解 5．（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组 （1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k，b为何值时，方程组有无数组解； （3）当k，b为何值时，方程组无解． 6．（1）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1和y＝x﹣2的图象（如图）有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？ （2）写出一个二元一次方程组，使该方程组无解． 7．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)． （1）求b的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由． （4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集． 8．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】： 八年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．      示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________； 【拓展延伸】： （3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． （4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由． 题型五 方程组与两直线的交点坐标问题 解题技巧提炼 利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解. 1．（2023秋•历下区期末）已知方程组的解是，则直线y＝3x﹣3与yx+3的交点坐标为　 　． 2．（2024春•潼关县期末）已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组的解为，则y关于x的一次函数y＝kx+2、y＝mx﹣4的交点坐标为 　 　． 3．（2024春•衡阳期末）已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　 　． 4．（2023春•营山县校级期末）若方程组的解是，则直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是　 　． 5．（2023春•合浦县期末）若已知方程组的解是则直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n的交点坐标是 　 ． 6．（2024春•惠民县期末）【教材回顾】 在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　． 【拓展延伸】 已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值． 7．（2023秋•菏泽月考）如图，已知直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）判断直线l3：ynx﹣2m是否也经过点P？请说明理由； （4）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 题型六 两直线相交求面积问题 解题技巧提炼 1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积. 2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法. 1．（2023秋•揭东区期末）已知关于x，y的方程组和的解相同． （1）求a，b的值； （2）若直线l1：y＝ax+1与直线l2：yx+b分别交y轴于点A、B，两直线交于点P，求△ABP的面积． 2．（2023春•东城区校级期末）在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）． （1）求a的值； （2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？ （3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？ 3．（2023春•遂溪县期末）如图，直线y1＝x+1交x轴、y轴于点A、B，直线y2＝﹣2x+4交x、y轴于点C、D，两直线交于点E． （1）求点E的坐标； （2）求△ACE的面积； （3）根据图象直接回答：当x为何值时，y1＜y2？ 4．（2023秋•山亭区期末）已知一次函数yx+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）． （1）求a，b的值； （2）方程组的解为 　 ． （3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023秋•海陵区校级期末）若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝2x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣2． （1）求该一次函数的表达式； （2）直接写出方程组的解； （3）在一次函数y2＝2x+m的图象上是否存在点B，使得△AOB的面积为9，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024春•淄川区期末）已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值． （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积． 7．（2023春•桓台县期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b），与x轴分别交于A，B两点． （1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； （2）求△ABP的面积； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长为2，直接写出a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 5.6 二元一次方程与一次函数 知识点一 一次函数与二元一次方程的关系 ◆1、一次函数与二元一次方程的关系： 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来, 一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解. 知识点二 一次函数与二元一次方程组的关系 ◆2、一次函数与二元一次方程组的关系： 一般地，因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以改写为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应着一个一次函数，于是也对应着一条直线，这条直线上每个点的坐标（x, y）都是这个二元一次方程的解.因此，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是两条直线. 从“数”的角度看，解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标. 知识点三 二元一次方程组与对应平行直线的关系 ◆1、对于两不重合的直线l1: y1 =k1x＋b1，l2: y2 =k2x＋b2，当l1平行于l2时，k1=k2 ；反之也成立. ◆2、对于方程组 ，当 = 且≠时，方程组无解；反之也成立. 题型一 利用一次函数解一元一次方程 解题技巧提炼 解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值． 1．（2024秋•碑林区校级期中）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且kb≠0）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为（　　） A．x＝﹣8 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝8 【分析】根据一次函数的图象看出直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（﹣8，0），再根据交点坐标得出方程的解即可． 【解答】解：从图象可知：直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是（﹣8，0）， 所以关于x的方程kx+b＝0的解是x＝﹣8， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，能正确根据一次函数的图象得出直线y＝kx+b与x轴的交点坐标是解此题的关键． 2．（2023秋•温县期中）已知一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则方程mx﹣n＝0的解可能 是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x D．x＝﹣2 【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝mx﹣n的图象与x轴的交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴方程mx﹣n＝0的解可能是在﹣2和﹣1之间． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键． 3．（2024秋•碑林区校级期中）已知一次函数y＝3x+n的图象如图所示，则方程3x+n＝0的解可能是（　　） A．x＝1.3 B． C． D．x＝﹣1 【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝3x+n的图象与x轴的交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴方程3x+n＝0的解可能是在﹣1和0之间． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键． 4．（2024秋•胶州市期中）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0）中，x与y的部分对应值如表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2.5 2 1.5 1 0.5 则关于x的方程ax+b＝2的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【分析】根据图表即可得出此方程的解． 【解答】解：根据图表可得：当x＝0时，y＝2， 因而方程ax+b＝2的解是x＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2023春•海港区期末）如图，已知函数y＝2x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b＝ax﹣3的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣5 C．x＝0 D．都不对 【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案． 【解答】解：∵函数y＝2x+b，y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式2x+b＝ax﹣3的解集是x＝﹣2， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题型较好，难度不大． 6．（2023春•青云谱区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A，则关于x的方程mx+n＝px+q的解是（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．4 【分析】利用方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点横坐标解决问题． 【解答】解：∵直线y＝mx+n与y＝px+q相交于点A（﹣4，2）， ∴关于x的方程mx+n＝px+q的解为x＝﹣4． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，方明确方程的解就是两个相应的一次函数图象的交点横坐标是解题的关键． 7．（2023春•柘城县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（　　） x … ﹣1.5 0 1 2 … y … 6 3 1 ﹣1 … A．y随x的增大而增大 B．该函数的图象经过一、二、三象限 C．关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1 D．该函数的图象与y轴的交点是（0，2） 【分析】先把两个点的坐标代入y＝kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y＝﹣2x+3，再逐个判断即可． 【解答】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1）， 把点的坐标代入y＝kx+b得：， 解得：k＝﹣2，b＝3， 即函数的解析式是y＝﹣2x+3， A．∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．∵k＝﹣2，b＝3， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； C．当y＝1时，﹣2x+3＝1， 解得：x＝1， 即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意； D．∵b＝3， ∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标 解题技巧提炼 交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点； 令x=0，解方程即得与y轴的交点 . 1．（2023秋•丰顺县校级期末）已知方程kx+b＝0的解是x，则函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据方程的解得出函数y＝kx+b与x轴的交点坐标，然后判断即可． 【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是， ∴函数y＝kx+b与x轴的交点坐标是， 满足条件的只有D． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键． 2．（2023春•南昌期末）一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3，函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（a，0） D．（﹣b，0） 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值可得答案． 【解答】解：∵一元一次方程ax﹣b＝0的解是x＝3， ∴函数y＝ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（3，0）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程ax+b＝0的解就是一次函数y＝ax+b与x轴交点的横坐标值． 3．（2024春•白云区期末）若x＝4是方程kx+b＝0的解，则直线y＝kx+b的图象与x轴交点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0） 【分析】方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标． 【解答】解：∵x＝4是方程kx+b＝0的解， ∴一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（4，0）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b＝0的解其实就是当y＝0时一次函数y＝kx+b与x轴的交点横坐标解答． 4．已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于 点（0，2），则这个一次函数的表达式是 ． 【分析】先根据方程的解得定义得到2k+b=0，再根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=2，于是可计算出k=1，从而得到一次函数解析式． 【解答】解：把x=﹣2代入kx+b=0得-2k+b=0， 把（0，2）代入y=kx+b得b=2， 所以-2k+2=0，解得k=1， 所以一次函数解析式为y=x+2． 故答案为y=x+2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 5．（2023春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题： （1）与x轴交点A的坐标是 　 　，与y轴交点B的坐标是 　 　； （2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 　 　，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是　 　； （3）当y＝﹣1时，求x的值． 【分析】（1）令y＝0，可解得A的坐标；令x＝0，可解得B的坐标； （2）﹣2x+4＝0，即y＝0，所以x的值就是A坐标的数值；﹣2x+4＞0，即y＞0，即函数图象在x轴上方时x的取值范围； （3）令y＝﹣1，可解得x的值． 【解答】解：（1）令y＝0， 即﹣2x+4＝0， 解得：x＝2， 即与x轴交点A的坐标是（2，0）； 令x＝0， 此时y＝4， 即与y轴交点B的坐标是（0，4）； （2）由（1）可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是2； 由图象可知，结合函数图象与x轴的交点为（2，0）， 当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是x＜2； （3）当y＝﹣1时， 即﹣2x+4＝﹣1， 解得：x． 【点评】本题考查了一次函数的图象与一次函数的简单性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 6．（2023春•聊城期末）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）． （1）求点D的坐标； （2）求直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积； 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数y＝kx+b解析式，令x＝0求出y即可； （2）联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求出答案； 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4）， ∴， 解得， ∴y＝x+5， 当x＝0时，y＝5， ∴点D的坐标为（0，5）； （2）∵若直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C， ∴， 解得， 故点C（﹣3，2）， ∵y＝﹣2x﹣4与y＝x+5分别交y轴于点E和点D， ∴D（0，5），E（0，﹣4）， ∴直线CE：y＝﹣2x﹣4与直线AB及y轴围成图形的面积为：DE•|∁x|9×3； 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的交点，关键是正确从函数图象中获得正确信息． 题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组） 解题技巧提炼 用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解. 1（2024秋•历下区期中）在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x﹣y＝2的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象． 【解答】解：∵2x﹣y＝2， ∴y＝2x﹣2， ∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝1， ∴一次函数y＝2x﹣2，与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（1，0）， 即可得出选项A符合要求， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数的性质，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键． 2．下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x﹣3y＝6的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点确定一条直线，当x＝0，求出y的值，再利用y＝0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，即可得出图象． 【解答】解：∵2x﹣3y＝6， ∴yx﹣2， ∴当x＝0，y＝﹣2；当y＝0，x＝3， ∴一次函数yx﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2），与x轴交于点（3，0）， 即可得出选项D符合要求， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键． 3．（2024秋•历城区期中）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把P（﹣2，n）代入yx中计算出n的值，从而得到P（﹣2，3），然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【解答】解：把P（﹣2，n）代入yx得n（﹣2）3， 即P（﹣2，3）， ∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 4．（2023•曲江区校级三模）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可． 【解答】解：根据题意，将x＝1代入直线y＝﹣x+3， 得y＝﹣1+3＝2， ∴直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点坐标为（1，2）， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键． 5．（2023•城固县模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用y＝x+2确定M点的坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：把M（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4， 解得m＝2， ∴M点的坐标为（2，4）， ∵一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝x+2的图象相交于点M（2，4）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：由两个函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 6．（2023春•昌平区期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图），则所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组． 【解答】解：设过点（﹣4，0）和（0，4）的直线解析式为y＝kx+b， 则，解得， 所以过点（﹣4，0）和（0，4）的直线解析式为y＝x+4； 设过点（﹣2，2）和（0，﹣6）的直线解析式为y＝mx+n， 则，解得， 所以过点（﹣2，2）和（0，﹣6）的直线解析式为y＝﹣4x﹣6， 所以所解的二元一次方程组为． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 7．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知一次函数y＝﹣x+4和y＝ax+2（a≠0）的图象交于点M，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　． 【分析】根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+4的图象相交于点P（3，1）， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 8．（2024秋•历下区期中）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：把x＝1，y＝a代入2x﹣y+1＝0得2﹣a+1＝0， ∴a＝3， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了一次函数的性质． 9．（2023春•芝罘区期中）若正比例函数y＝﹣2x的图象与一次函数y＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣3． （1）求该一次函数的表达式． （2）直接写出方程组的解． 【分析】（1）先将x＝﹣3代入y＝﹣2x，求出y的值，得到点A坐标，再将点A坐标代入y＝x+m，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）方程组的解就是正比例函数y＝﹣2x的图象与一次函数y＝x+m的交点，根据交点坐标即可写出方程组的解． 【解答】解：（1）将x＝﹣3代入y＝﹣2x，得y＝6， 则点A坐标为（﹣3，6）． 将A（﹣3，6）代入y＝x+m，得﹣3+m＝6， 解得m＝9， 所以一次函数的解析式为y＝x+9； （2）方程组的解为． 【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系及待定系数法求解析式，难度适中． 题型四 不解方程组判断方程组解的情况 解题技巧提炼 对于方程组 ，当 = 且≠时，方程组无解；反之也成立. 1．（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数与函数的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组 有（　　） A．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定 【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点． 【解答】解：∵直线的交点即方程组的解， ∴函数与函数的图象只有一个交点，则二元一次方程组 有唯一解． 故选C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键． 2．若一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象没有交点，则方程组的解的情况是（　　） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 【分析】根据一次函数的图象是一条直线，两条直线的交点坐标满足两个一次函数的解析式；接下来再结合方程组解的定义可知交点坐标与解的关系，问题即可得解． 【解答】解：函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2经过变形可得到方程组， 根据两个一次函数没有交点可知对应的二元一次方程组无解． 故选：D． 【点评】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，可以由一次函数图象的交点情况，确定对应的二元一次方程组的解的情况． 3．若方程组无解，则一次函数y＝kx+3的图象不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】首先根据题意，解二元一次方程组，用k表示出x为x；接下来由方程组无解即可得到2k+1＝0，求出k的值，至此问题不难解答． 【解答】解：对方程组消去y，得kx+3＝（3k+1）x+2， 解得：x． 因为方程组无解，所以2k+1＝0， 即k， 故yx+3，过一、二、四象限，即不经过第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 4．（2023秋•南海区校级月考）直线y＝ax+2与直线y＝3x﹣2平行，下列说法不正确的是（　　） A．a＝3 B．直线y＝ax+2与y＝3x﹣2没有交点 C．方程组无解 D．方程组有无穷多个解 【分析】根据一次函数图象的特征解答即可． 【解答】解：A．两直线平行时，比例系数相等，a＝3，故正确，不符合题意； B．两直线平行，没有交点，故正确，不符合题意； C．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故正确，不符合题意； D．两直线平行，没有交点，所以方程组无解，故错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，掌握当两直线平行时比例系数k相等是解题关键． 5．（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组 （1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解； （2）当k，b为何值时，方程组有无数组解； （3）当k，b为何值时，方程组无解． 【分析】（1）利用两直线的位置关系得到当k≠3k﹣1时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点，于是可得到k的取值范围； （2）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b＝2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可得到k、b的值； （3）利用两直线的位置关系得到当k＝3k﹣1，b≠2时，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有一个交点，于是可得到k的值和b的取值范围． 【解答】解：（1）当k≠3k﹣1时，即k，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2只有一个交点， 所以当k，b为任意数时，方程组有唯一一组解； （2）当k＝3k﹣1，b＝2时，即k，b＝2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2重合， 所以k，b＝2时，方程组有无数组解； （3）当k＝3k﹣1，b≠2时，即k，b≠2，直线y＝kx+b与y＝（3k﹣1）x+2没有交点， 所以k，b≠2时，方程组无解． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 6．（1）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1和y＝x﹣2的图象（如图）有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？ （2）写出一个二元一次方程组，使该方程组无解． 【分析】（1）根据图象即可得到结论，根据一次函数与方程组的关系得到方程组无解，故当k1＝k2时，l1∥l2；二元一次方程组中未知数的系数相同，方程组无解； （2）根据二元一次方程组中未知数的系数相同，方程组无解，写出即可． 【解答】解：（1）由图象可知直线y＝x+1和直线y＝x﹣2平行，方程组无解，当k1＝k2时，l1∥l2；二元一次方程组中未知数的系数相同，方程组无解； （2）无解． 【点评】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，数形结合是解答此题的关键． 7．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)． （1）求b的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由． （4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集． 【分析】（1）把P（1，b）代入直线l1：y=x+1即可求出b的值； （2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点坐标； （3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断； （4）根据点P（1，b）即可得到结论． 【解答】解：（1）把P(1，b)代入y＝x＋1中得b＝2． （2）方程组的解实际就是两个一次函数的交点P的坐标， 即解为： （3）∵l2：y＝mx＋n经过P(1，2)，∴m＋n＝2，把P(1，2)代入y＝nx＋m，得m＋n＝2，故y＝nx＋m也经过P点． （4）x+1≥mx+n的解集可理解为直线l1：y＝x＋1的图像在直线l2：y＝mx＋n的图像上方部分，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，2)观察图像可得：x≥1． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点． 8．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】： 八年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．      示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． （1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； （2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________； 【拓展延伸】： （3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． （4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由． 【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可； （2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值； （3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值； （4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解． 【解答】（1）对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像； 对于的图像，任取两组解：， 即可根据画出的图像，图象如图所示：      （2）根据图象可知，两直线的交点坐标为 ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （3）将点和点代入二元一次方程， 得， 解方程组，得， ∴； （4）∵与的k值相等， ∴两直线平行，没有交点， ∴方程组的无解． 方程组无解． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系． 题型五 方程组与两直线的交点坐标问题 解题技巧提炼 利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解. 1．（2023秋•历下区期末）已知方程组的解是，则直线y＝3x﹣3与yx+3的交点坐标为　 　． 【分析】二元一次方程可以化为一次函数的形式，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴直线y＝3x﹣3与yx+3的交点坐标为（，1）． 故答案为（，1）． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 2．（2024春•潼关县期末）已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组的解为，则y关于x的一次函数y＝kx+2、y＝mx﹣4的交点坐标为 　 　． 【分析】根据二元一次方程组与两直线交点的关系进行解答即可． 【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴y关于x的一次函数y＝kx+2，y＝mx﹣4的交点坐标为（2，4）， 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 3．（2024春•衡阳期末）已知二元一次方程组的解为，则函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为 　 　． 【分析】由二元一次方程组的解为，得出二元一次方程组的解为从而可得出交点坐标． 【解答】解：∵二元一次方程组的解为， 即二元一次方程组的解为， ∴函数y＝ax+b和y＝kx的图象的交点坐标为（4，﹣2）， 故答案为：（4，﹣2）． 【点评】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解是解题的关键． 4．（2023春•营山县校级期末）若方程组的解是，则直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是　 　． 【分析】根据两个函数图象的交点就是两个函数组成的方程组的解可得答案． 【解答】解：因为方程组的解是， 所以直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是（﹣1，3）， 故答案为：（﹣1，3）， 【点评】此题主要考查了二元一次方程（组）与一次函数的关系，关键是掌握两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解． 5．（2023春•合浦县期末）若已知方程组的解是则直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n的交点坐标是 　 ． 【分析】直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n解析式组成的方程组的解是两直线的交点． 【解答】解方程组的解是， ∴直线y＝﹣2x+m与直线y＝x﹣n的交点坐标是（﹣1，3）． 故答案为：（﹣1，3）． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握各种数学思想方法是解题的关键． 6．（2024春•惠民县期末）【教材回顾】 在人教版七年级下册数学教材第109页的数学活动中，我们探究了“以方程x﹣y＝0的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫做方程x﹣y＝0的图象； 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 【解决问题】 （1）请你在图中所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）． （2）观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　，由此你得出这个二元一次方程组的解是 　 　． 【拓展延伸】 已知二元一次方程ax+by＝7的图象经过两点A（﹣1，3）和B（2，1），试求a，b的值． 【分析】（1）分别取两个点，让它们的坐标都能让方程2x+y＝4和x﹣y＝﹣1的左右两边相等，然后过两点画直线即可； （2）观察图象，找出（2）中所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案； （3）把点A（﹣1，3）和B（2，1）代入方程ax+by＝7，解方程组可得． 【解答】解：（1）如图所示： （2）观察图象，两条直线的交点坐标为（1，2），由此得出这个二元一次方程组的解是， 故答案为：（1，2），； （3）把点A（﹣1，3）和B（2，1）代入方程ax+by＝7得： ， 解得：． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象． 7．（2023秋•菏泽月考）如图，已知直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，a），根据以上信息解答下列问题： （1）求a的值； （2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解； （3）判断直线l3：ynx﹣2m是否也经过点P？请说明理由； （4）若直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线l2的函数解析式． 【分析】（1）因为点P（﹣2，a）在直线y＝3x+1上，可求出a＝﹣5； （2）因为直线y＝3x+1直线y＝mx+n交于点P，所以方程组的解就是P点的坐标； （3）把点P坐标代入直线l2，得到关于m、n的等式，再把点P代入直线l3，如果得到同样的m、n的关系式，则点P在直线l3上，否则不在． （4）因为直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，所以直线l2过点（3，0），又有直线l2过点P（﹣2，﹣5），可得关于m、n的方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）∵（﹣2，a）在直线y＝3x+1上， ∴当x＝﹣2时，a＝﹣5； （2）∵直线l1：y＝3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，﹣5）， ∴关于x，y的方程组的解为； （3）由（2）知点P（﹣2，﹣5）， ∵点P（﹣2，﹣5）在直线l2：y＝mx+n上， ∴﹣2m+n＝﹣5， 当x＝﹣2时，直线l3：ynx﹣2m＝﹣2m+n＝﹣5， 所以直线l3：ynx﹣2m也经过点P（﹣2，5）； （4）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3， ∴直线l2过点（3，0）， 又∵直线l2过点P（﹣2，﹣5）， ∴， 解得． ∴直线l2的函数解析式为y＝x﹣3． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想． 题型六 两直线相交求面积问题 解题技巧提炼 1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积. 2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法. 1．（2023秋•揭东区期末）已知关于x，y的方程组和的解相同． （1）求a，b的值； （2）若直线l1：y＝ax+1与直线l2：yx+b分别交y轴于点A、B，两直线交于点P，求△ABP的面积． 【分析】（1）根据题意解方程组即可得到结论； （2）由（1）可知a＝1，b＝﹣1，得到点A（0，1），B（0，﹣1），求得AB＝2，解方程组得到点P的横坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得， 将代入方程组得 解得； （2）由（1）可知a＝1，b＝﹣1， ∴直线l1的解析式为y＝x+1，直线l2的解析式为yx﹣1， ∴点A（0，1），B（0，﹣1）， ∴AB＝2， 联立，解得， ∴点P的横坐标为， ∴S△ABPAB•|xp|2×||． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，我们可以用方程组的解来确定函数图象的交点坐标． 2．（2023春•东城区校级期末）在直角坐标系中，直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3），直线l2经过原点O，且与直线l1交于点P（﹣2，a）． （1）求a的值； （2）（﹣2，a）可看成怎样的二元一次方程组的解？ （3）设直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？ 【分析】（1）首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后直接把P点坐标代入可求出a的值； （2）利用待定系数法确定l2得解析式，由于P（﹣2，a）是l1与l2的交点，所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组所得； （3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：（1）∵直线l1经过（2，3）和（﹣1，﹣3）， ∴ 解得：， ∴直线l1的解析式为：y＝2x﹣1， 把P（﹣2，a）代入y＝2x﹣1得：a＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5； （2）设l2的解析式为y＝kx， 把P（﹣2，﹣5）代入得﹣5＝﹣2k，解得k， 所以l2的解析式为yx， 所以点（﹣2，﹣5）可以看作是解二元一次方程组所得； （3）对于y＝2x﹣1，令x＝0，解得y＝﹣1， 则A点坐标为（0，﹣1）， 所以S△APO2×1＝1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 3．（2023春•遂溪县期末）如图，直线y1＝x+1交x轴、y轴于点A、B，直线y2＝﹣2x+4交x、y轴于点C、D，两直线交于点E． （1）求点E的坐标； （2）求△ACE的面积； （3）根据图象直接回答：当x为何值时，y1＜y2？ 【分析】（1）联立两函数解析式，解方程组可得； （2）先根据函数解析式求得点A、C的坐标，即可得线段AC的长，再根据三角形面积公式计算可得； （3）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）解得， ∴E（1，2）； （2）当y1＝x+1＝0时，解得：x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， 当y2＝﹣2x+4＝0时，解得：x＝2， ∴C（2，0）， ∴AC＝2﹣（﹣1）＝3， ∴S△ACE3； （3）由图象可知，当x＜1时，y1＜y2． 【点评】本题主要考查两直线相交或平行的问题，解题的关键是根据两直线解析式求得两者交点的坐标及其与x轴的交点坐标． 4．（2023秋•山亭区期末）已知一次函数yx+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）． （1）求a，b的值； （2）方程组的解为 　 ． （3）在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把C（1，a）分别代入y＝2x和yx+b即可求得a、b的值； （2）根据两函数的交点坐标，即可求得方程组的解； （3）求得A、B的坐标，设点P 的坐标为（x，2x），作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，根据三角形面积公式得到△BOP的面积为，△AOP的面积为，根据题意得到5|x|，解得，从而求得点P的坐标为或． 【解答】解：（1）由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上， 所以a＝1×2＝2， 所以点C 的坐标为（1，2）， 因为点C（1，2）在的上， 所以2b， 所以b＝2.5； （2）∵一次函数yx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2）， ∴方程组的解为， 故答案为； （3）存在， 理由：∵点P在y＝2x的图象上， ∴设点P 的坐标为（x，2x）， ∵一次函数为， ∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0）， 作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴△BOP的面积为，△AOP的面积为， 当5|x|时，解得， ∴， ∴点P的坐标为或． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程组的关系，三角形的面积，明确函数与方程组的关系是解题的关键． 5．（2023秋•海陵区校级期末）若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝2x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣2． （1）求该一次函数的表达式； （2）直接写出方程组的解； （3）在一次函数y2＝2x+m的图象上是否存在点B，使得△AOB的面积为9，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出A点的纵坐标，把A点的坐标代入y＝2x+m，求出m即可； （2）根据方程组的特点和A点的坐标得出答案即可； （3）设直线y＝2x+6与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，6），D（﹣3，0），求出△AOC和△AOD的面积，分为两种情况当B点在第三或第一象限时，根据三角形的面积求出B点的纵坐标或横坐标，即可求出答案． 【解答】解：（1）将x＝﹣2代入y＝﹣x，得y＝2， 则点A坐标为（﹣2，2）， 将A（﹣2，2）代入y＝2x+m， 得m＝6， 所以一次函数的解析式为y＝2x+6； （2）∵正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝2x+m的图象交于点A（﹣2，2） ∴方程组的解是； （3）设直线y＝2x+6与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，6），D（﹣3，0）， ∵A（﹣2，2）， ∴S△AOC6×2＝6，S△AOD3×2＝3； 当B点在第三象限时， ∵S△AOB9，则S△BOD＝6， 设B的纵坐标为n， ∴S△BOD3×（﹣n）＝6， 解得：n＝﹣4， 即点B的纵坐标是﹣4， 把y＝﹣4代入y＝2x+6得：x＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣4）； 当B点在第一象限时， S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝9，则S△BOC＝3， 设B的横坐标为m， ∴S△BOC6×m＝3， ∴m＝1，即B点的横坐标是1， 把，x＝1，代入y＝2x+6得， y＝8， ∴B（1，8）； 综上，点B的坐标为（1，8）或（﹣5，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数与二次一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想． 6．（2024春•淄川区期末）已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值． （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积． 【分析】（1）由于点A、C在直线上，可用待定系数法确定直线l的表达式； （2）先求出点B的坐标，即得方程组的解．代入组中方程求出a即可； （3）由于S△BPC＝S△PAB+S△PAC，分别求出△PBC和△PAC的面积即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上， ∴，解得， 所以直线l的表达式为：y＝2x+4； （2）由于点B在直线l上，当x＝1时，y＝2+4＝6， 所以点B的坐标为（1，6）， 所以关于x、y的方程组的解为， 因为点B是直线l与直线y＝﹣4x+a的交点， 把x＝1，y＝6代入y＝﹣4x+a中，求得a＝10． （3）因为点A与点P关于x轴对称，所以点P（0，﹣4）， 所以AP＝4+4＝8，OC＝2， 所以S△BPC＝S△PAB+S△PAC 8×18×2 ＝4+8 ＝12． 【点评】本题考查了待定系数法确定函数解析式、三角形的面积、直线与方程组的关系等知识点．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 7．（2023春•桓台县期末）如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，b），与x轴分别交于A，B两点． （1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； （2）求△ABP的面积； （3）垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长为2，直接写出a的值． 【分析】（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值，根据直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P即可得到结论； （2）根据解析式求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得； （3）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合CD＝2即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）把点P（1，b）代入y＝2x+1， 得b＝2+1＝3， 把点P（1，3）代入y＝mx+4，得m+4＝3， ∴m＝﹣1， ∵直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝mx+4相交于点P（1，3）， ∴方程组的解为； （2）∵l1：y＝2x+1     l2：y＝﹣x+4， ∴A（，0），B（4，0）， AB＝4﹣（）， ∴S△ABPAB•h3； （3）直线x＝a与直线l1的交点C为（a，2a+1） 与直线l2的交点D为（a，﹣a+4）． ∵CD＝2， ∴|2a+1﹣（﹣a+4）|＝2， 即|3 a﹣3|＝2， ∴3 a﹣3＝2或3 a﹣3＝﹣2， ∴a或a． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b、m的值； （2）根据解析式求得与坐标轴的交点； （3）根据CD＝2，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$