精品解析：吉林省第二实验（高新、远洋）学校2024-2025学年 上学期七年级期中考试数学试卷（五四制）

吉林省第二实验（高新、远洋）学校2024-2025学年上学期七年级期中考试数学试卷（五四制） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程与的解相同，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 解方程组时，把①代入②，得（ ） A. B. C. D. 5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A B. C D. 6. 已知在中，，，的度数之比为，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点M是射线上的一个动点（不与点O重合），点A在射线外，且，在点M运动过程中，若为锐角三角形，则∠A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 10. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 11. 代数式与互为相反数，则=________． 12. 如图，正方形的边长是9，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个边长为3的小正方形，则的值为______． 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围____． 14. 如图，已知为内任意一点，且，则____． 三、解答题（本大题共10小在，共78分） 15. 解方程（组）： （1）； （2）． 16. 求满足不等式组的整数解． 17. 下面是小林同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得 第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是________； ②第_______步开始出现错误，这一步具体错误是__________． 任务二：请你直接写出正确的结果． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解不等式的过程写出一条注意事项． 18. 已知关于方程的解是非负数，求的取值范围． 19. 如图，在中，，求的度数． 20. 如图，在中，于点D，平分交于点，，求的度数． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：（______） ______（等式的性质）． 平分（已知）， ______（角平分线的定义） （已知）， ______． ， ______=______． 21. 我校计划举行“一二九”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定中学部61个教学班每班要表演2个节目，报送后获悉歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？ 22. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书? 23. 【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 24. 如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． （1）______． （2）当点在运动时，用含的代数式表示的长． （3）请直接写出当为何值时，的面积等于6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林省第二实验（高新、远洋）学校2024-2025学年上学期七年级期中考试数学试卷（五四制） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意． 故选：A． 2. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，根据不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由，可知，该选项错误，不符合题意； B、由，可知，该选项错误，不符合题意； C、由，可知，该选项错误，不符合题意； D、由，可知，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式性质，熟记不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，是解决问题的关键． 3. 若方程与的解相同，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同解方程，先求出第一个方程的解是，把代入第二个方程得出，再求出k即可． 【详解】解：解方程，得， 把代入方程，得， 解得：． 故选：D． 4. 解方程组时，把①代入②，得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想．根据二元一次方程组解法中的代入消元法求解． 【详解】解：把①代入②得：， 故选：D． 5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，即可选择． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 所以不等式组的解集为：． 在数轴上表示不等式组的解集为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组解法及其数轴表示，掌握求一元一次不等式组的解的口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”是解题的关键． 6. 已知在中，，，的度数之比为，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理以及三角形的分类．三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．设三角形的三个内角分别是，，．根据三角形的内角和是，列方程求得三个内角的度数，即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵在中，，，的度数之比为， ∴设三角形的三个内角分别是，，． 根据三角形的内角和定理，得， 解得． 三个内角分别是，，． 该三角形是直角三角形． 故选：A． 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键．根据梨的总数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选：C． 8. 如图，点M是射线上的一个动点（不与点O重合），点A在射线外，且，在点M运动过程中，若为锐角三角形，则∠A的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由锐角三角形的定义得到，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为锐角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性的应用，用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 10. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：． 11. 代数式与互为相反数，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相反数的性质、解一元一次方程，先根据互为相反数的两个数之和是零列方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴，即， 解得， 故答案为：． 12. 如图，正方形边长是9，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个边长为3的小正方形，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据正方形的边长为9，小正方形的边长为3，可列出一个关于a、b的方程，解方程组即可． 【详解】解：∵大正方形边长为9，小正方形边长为3， ∴根据图示和题意得：， 解得：． 故答案为：6． 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得． 故答案为：． 14. 如图，已知为内任意一点，且，则____． 【答案】． 【解析】 【分析】连接并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，如图： ∵， ∴ ∵ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小在，共78分） 15. 解方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程和方程组的一般方法，准确计算． （1）先移项，然后合并同类项，再将未知数系数化为1即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为． 16. 求满足不等式组的整数解． 【答案】0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】解：由①，得：， 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的整数解为：0，1． 17. 下面是小林同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得 第五步 任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是________； ②第_______步开始出现错误，这一步具体的错误是__________． 任务二：请你直接写出正确的结果． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解不等式的过程写出一条注意事项． 【答案】任务一：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；三；移到不等号左边时要变号；任务二：；任务三：不等式两边乘以负数时，要注意变号（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据不等式的性质和解一元一次不等式的步骤解答任务一和任务二；结合不等式的性质写出注意事项即可． 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ②第三步开始出现错误，这一步具体的错误是：移到不等号左边时要变号； 故答案为：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；三；移到不等号左边时要变号； 任务二：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 即正确的结果为：； 任务三：不等式两边乘以负数时，要注意变号（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 18. 已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数的范围，求不等式的解集，先求出方程的解，根据方程的解是非负数，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵方程的解是非负数， ∴， 解得：． 19. 如图，在中，，求的度数． 【答案】50度 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据角的数量关系结合三角形的内角和为180度，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在中，于点D，平分交于点，，求的度数． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：（______） ______（等式的性质）． 平分（已知）， ______（角平分线的定义） （已知）， ______． ， ______=______． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的高线，根据三角形的高线，角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，进行作答即可． 【详解】解：（三角形的内角和定理） （等式的性质）． 平分（已知）， （角平分线的定义） （已知）， ． ， ． 21. 我校计划举行“一二九”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定中学部61个教学班每班要表演2个节目，报送后获悉歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？ 【答案】31 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清数量关系是解题关键．设初中部舞蹈类节目有个，则歌唱类节目有个，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设初中部舞蹈类节目有个，则歌唱类节目有个， 根据题意，可得， 解得个． 答：舞蹈类节目有31个． 22. 某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书? 【答案】（1）甲种书为每本元，乙种书为每本元 （2）本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：购买2本甲种书的费用购买1本乙种书的费用100元；购买3本甲种书的费用购买2本乙种书的费用175元；据此列出方程组，解方程组，即可求解； （2）不等关系式：购买甲种书的费用购买乙种书的费用元；据此列出不等式，解不等式，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得 ， 解得：， 答：甲种书为每本元，乙种书为每本元． 小问2详解】 解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得 ， 解得：， 为整数， 取， 答：该校最多可以购买本乙种书． 23. 【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 24. 如图，在中，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点时停止运动．设点运动的时间是秒． （1）______． （2）当点在运动时，用含的代数式表示的长． （3）请直接写出当为何值时，的面积等于6． 【答案】（1）4 （2） （3）t的值为或4或6或时，的面积等于6 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据点是的中点，求出即可； （2）分P在E的左侧和右侧两种情况讨论即可； （3）分P在，，，上讨论即可． 【小问1详解】 解：∵点是的中点，， ∴； 【小问2详解】 解：P在上运动的时间为， P从C运动到E需要， P从C运动到B需要， 当P在E的左侧时，即，； 当P在E的右侧时，即，； 综上分析可知：； 【小问3详解】 解：当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时， 根据题意，得， 解得； 当点P在时，过点E作于G， ∵， ∴， 即， 解得， 根据题意，得， 解得； 综上，当t的值为或4或6或时，的面积等于6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$