江西省八校协作体2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

江西省八校协作体高二年级第一次联考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由题意，抛物线y一号2的标准方程为-骨所以越物线y一号父的准线方程为y一是放选C 2A设A(a,b)是直线I上任意一点，则平移后得点A(a十3,6-5)，于是直线1的斜率k=kw-一力一三 a+3-a 3·故选A 3.B由题意，8-m2>0,解得-2√2<m<2√2，又2=m2+16+(8-m2)-24,故c=26,所以焦距为2c=4v6.故选B. 4,D直线m.x+y-3m十1=0(n∈R),变形可得m(x一3)+y+1=0,所以该动直线过定点(3，一1)，则以点E(一1,1)为 圆心且与直线mx十y一3m十1=0(m∈R)相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，所以半径r的最大值为 √（一1一3）+(1十1)=2/5，则半径最大的圆的标准方程为(x+1)2十(y-1)2=20.故选D. 5.D设圆心C到直线1：2x-y一2=0的距离为d,P到直线1的距离为d,又圆心坐标为C(一4,0)，所以d=一8_2到 5 =26,又半径为5，则当d最大时，d=d+5=25+5=35,此时△PMN的面积也最大，最大值为号×25× 3√5=15.故选D. 6.C记△ABC的重心为O,点D是BC的中点，点G是PO的中点，又在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=2√6，所以AO =号AD=2E,P01平面ABC,又AOC平面ABC.所以POLA0.所以P0=VPA-AO=4.又Mi+Mi+MC MA+2Md=MO+OA+2(Mò+Oi)=3M,所以M·(MA+M店+MC)=M.3MO=3(M心+G)· (MG+G0)=3(M心+GP)·(MG-G)=3(M心-G)=3(M-4),所以当M与G重合时，M心取最小值0， 此时MP·(MA+MB+MC)有最小值一12.故选C 7.B设F,关于∠F,PF平分线的对称点为Q,由椭圆对称性及角平分线性质可知P, F,Q三点共线且PQ-|PF,又因为∠FPF=苓，所以△PQF,是正三角形， 设|PF|=|QF|=1PQ=m,由椭圆定义可得IPQ=|PF2|+|QF|=12-2m =m,所以m=4,即|PF|=4,|PF2|=2.在△PFF2中，由余弦定理得|F,F2|2= 1PF2+|PFP-21PF,1|PF:cos∠FPF,即4c2=4+2-2×4X2cosS, 解得c=√3，所以b=√⑨一3=√6，所以该椭圆的面积为36π.故选B 8C连接CN,CA,因为点N是线段AB的中点，所以CN LAB,又∠APB=受，所以|PN|=号|AB|=|AN 12-CNP,即|PN|2+|CN12=12.设N(x,y),则(.x-1)+(y+2)2+(.x+1)2+y2=12,即x2+(y十1)2=4， 所以点N在圆x2+(y十1)2=4上，当直线MN与圆x2+(y十1)2=4相切时，∠PMN取得最大值，此时|MN|= √(3+1)-4=2√3.故选C. 9.BD因为4=(1,2，-3)，"=(-2，一4,6)，所以y=一24，所以a∥.故A错误；因为AP=(2,一4，一5)= 2(3,-1,-2)-(4,2,1)=2AB-AC,所以AP,AB.AC共面，即点P在平面ABC内，故B正确：因为A(0,1,0), B1,20),所以店=1,10)，所以与方向相同的单位向量是（号，号o),故C错误：者a+6,6十cc十a是空间的 一组基，则对空间任意一个向量d,存在唯一的实数组(x,y,),使得d=x(a十b)十y(b十c)十(c十a),于是d=(x十)a 十(x十y)b十(y十)c,所以a,b,c也是空间的一组基，故D正确.故选BD. -20 10.ABD直线CC是线段AB的中垂线，又C(1,-2).C(-1,0),则直线CC的方程为y-0=-（-1)(x+1), 即x十y十1=0，故A正确：圆C和圆C的公共弦所在直线方程为(.x-1)2十(y十2)一1一(x十1)2一y+4=0,即 4一y-7=0,故B正确：点G到直线AB的距离为片2=5装.所以ABl=2X√P-(色=平。 4+(一4)四 故C错误：记线段AB的中点为M,所以成+成=2成，又PM=5+1,所以1P+应的最大值是2+ 2,故D正确.故选ABD 1山.ACD由题意，双曲线r-苦=1，可得a=1,b=3.则c=√+F=2,所以焦点F(一2,0，F,(2,0).设P, 【高二年级第一次联考·数学参考答案第1页（共4页）】 则≥1，且-普=1，即6=3-3，由PE-PE=[(+2)+]-[(-2)+]=8≥8，故A 正确：假设存在点P设P(%).则≥1，且后-一兰=1，即=3-3，所以P元·P尿=（-2-，一为)· (2-,一为)=店-4十=后一4十3.6-3=4-7≥一3，所以不存在点P,使得PF·PF=一4，故B错误：显然 x=my+n, 直线1的斜率不为0，设直线1的方程为x=my十n,由 x2-兰-=1得(3m-1Dy+6mwv+3r-3=0,又直线1与C 3 相切，所以△=36mn-12(3m2-1)(n2-1)=0,整理得m=1一3m2,所以-n2y2+6my-9m=0,即(ny-3m)2 0,解得y=3孤，即点P的纵坐标为yn=孤.不妨设直线1与y=x的交点为M,与y=一3x的交点为N,由 x=my十n x=y十 解得y= B:,即点M的纵坐标为yM 、 y-=3x 1-√3m 3n,由 1-3m y=-5x 解得)品即点N的队坐标为 =二则点MN的纵坐标之积为、=Bn·二=3二=一32)=一3，故C正确：因为 1十√3m 1-3m1+3n1-3t 1-3 3n+一3n w+业-一3m1+3m_3n(1+3m）-3n1一B)-6m-3=r,所以点P是线段MN的中点，所以 2 2(1-3m) 22n IMN|=2MP|,故D正确.故选ACD. 12.4因为l∥a,所以直线1的方向向量(2，m,一1)与平面a的法向量（一3,2,2）垂直，所以(2，m,一1)·（一3,2.2）= -6+2m-2=0,解得m=4. 13.2√13-1由圆C:(.x+2)2+(y一2)2=1，得圆心坐标C(-2,2),半径为1，点M(一4，一2)关于y轴的对称点为 M(4,一2)，所以它爬到的最短路程是|CM|-r=√(4+2)+(-2-2)F-1=2√13-1. 14.11因为点P(-2,1)是抛物线C:x2=2y上的一点，所以(-2)2=2，解得p=2,所以F(0,1).显然直线PM的 斜率行在组不为0设直线M的方程为一1=+2，由仁十得广一依一以一4=0，所以-2 一8-4，解得=4k+2,所以FM=W+1=k(4k+2+2)+1+1=++2.同理可得1FN=会一冬+2，所 以FM+FN=4秋++2+是一合+2=4(k-专+)'+1，所以FM1+FN的最小值是1，此时发 名+号=0，解得长=二1应， 15.解：(1)由已知得AB=(-1,-1,7)-(1,-2,4)=(-21,3), …2分 因为c/AB.设c=AA苏，所以|c=|·|A=|a×√+1+9=4A=2,…4分 解得=士2，……5分 所以c=2AB=(-4,2,6)或c=-2AB=(4,-2,-6).… …6分 (2)由题可得CA=(3,-4,1),CB=(1,-3,4), 所以1C1=3+(-4)+下=2,1C第|=个+(-3)+平=√26. 以成a市1：高议是 19 19 …9分 又Ci,Ci∈[0，x],所以sin(Ci,Ci=√1-os(CM.CB=3压 261 所以△c的面积s11·mC.C成=×V质×v压×3-3国 2 …13分 16.解：(1)因为圆C的圆心在直线l:2.x+y-5=0上，可设C(a,5-2a),又圆C过点A(2,4),B(5,1), 所以√/(a-2)2+(5-2a-4)7=/(a-5)2+(5-2a-1),…3分 解得a=2,所以C(2,1),… …4分 所以圆C的半径引CA=√/(2一2)2+(4-1)下=3，… …5分 所以圆C的标准方程为(x一2)2十(y一1)2=9。… …6分 (2)设十为=1，又点P(xo,%)是圆C上的一点， 所以直线r叶y=1与圆C有公共点，所以21<3， 12分 √+严 【高二年级第一次联考·数学参考答案第2页（共4页）】 解得3-32≤1≤3十3v2,即x+的取值范围是[3-3√2,3+3√2]. 15分 17.解：1)由题意知AG=AB+BC+元=A店+A+号C成=Ai+AD+号(B丽-BC) -AB+AD+(AA.-AD)-AB+2AD+AA. ………4分 (2)因为四边形ABCD是正方形，∠AAD=∠AAB=60°，AA=4AB=4, 所以AB.AD=0,AB.AA=1X4cos60°=2，AD.AA=1×4cos60°=2. 所以AG=√/(Ai+号AD+号AA)=√A萨+A亦+A4+A.AD+A范.AA+2AD.AA √+×1+×+2+7×2=， 21 即线段AG的长为。 …8分 因为BD=AD-A店=AD+AA-A, 所以|BD1=√(AD+AA,-AB)=V√AD+AA,2+AB+2AD·AA,-2AD·AB-2AA,·AB =/2+4+1+2×2-2×2=32,… 10分 又AG.BD=(店+AD+号AA)·(AD+AA-A)=号AD+号AM-A峦+号AD·AB+A店·AM +A市.A=2×1+2×4-1+2×2+2= 2 12分 21 所以cos(AG,BD)= AG.BD 766 |AG·|BDI 3√2×y33 66 2 即直线AG与BD,所成角的余弦值为？丽 .16.. 66 15分 后- 18.解：(1)由题意知212 =1, …2分 2=a2-2, 解得a=22,b=√2，c=√6， …3分 所以E的方程为写十兰1 …4分 十型=一1， 2 (2)设A(x,),B(2,),又线段AB的中点为M(一1，一1)，所以 十=-2， 即 十业=一1， M十2=-2， …6分 2 +4=1 82 又A(y),B(应，为)是E上的点，所以 所以石。+正=0. 立+ 只 2 8 2 =1, 所以当二业= 十 -2 8分 x1一t2 4(4+边) 4X(-2) 即直线1的斜率为-子，所以直线1的方程为y一（一1）=一子[r一（一1）]，即x十y+5=0. …10分 (3)由题意左焦点F(-√6,0)，直线1的斜率不为0，设直线AB:x=my一√6， 由 8+ 21, 得(2+4)y2-2W6my-2=0,所以△=24m十8(m+4)>0, x=my-√6 26m -2 M十 m2+42= m+4-26=-86 m千4西十=m(M十边)-26=26应 m2十4° ……12分 设AB的中点为C,则C(仁46,6m） m+4'm+4/ 【高二年级第一次联考·数学参考答案第3页（共4页）】 点P在y轴上，且PA⊥PB,IPA=|PB,则PC垂直平分AB,且|AB|=2|PC, 所以A品：=一后的中垂线方程为y骨一a(+),令一0，得P(o）月 m2十4 …13分 m8+4 96 96m2 所以PC=入V√m干4)十(m平4)产=16m+1 …14分 十4 8 又AB1=V1+m|y一为=√1+m√(+为)=4y为=1+m√(m+4)十m+ 242 42(m2+1) m十4 …15分 所以42Cm+D=2x46m+D 0t+044t40+404+0++4t440e t4+4t4044+014+04+40+ m+4 m2+4 16分 解得m=士厅，所以直线1的斜率是士厂 11 17分 2a=4, 19.解：1)由题意知上一5 …2分 a2' 解得a=2,h=3,… 3分 所以E的方程为-1.… …4分 (2)由题意可知，A(-2,0),B(2,0),设P(一1，m),因为直线PA交E于另外一点M(不同于点B), 所以m0,又双南线的南近线为，y=士号，故四≠士号：解得m≠士号， 所以直线PA:号-串2即y=m(十2 百1得3-4)16m16-12=0.所以-2·w一}r,解得y法9 由 ,…6分 3-4m y=m(x+2) 所以w=(提+2）30 …7分 ①因为S=号×4X1m=2ms=×43 24n 所以12m=8×3240 ，444499944 …9分 解得m=2或m=一2，即点P的坐标为（一1,2）或(-1，一2). …10分 2=1， ②直线PB:8=是2即y=-号(x一2)，由 43 得(27-4m2)x2+16m2x-16m2-108=0, =-号(x-2) 27-4m≠0，即m≠土3 2 ,所以2.xv= -16m2-108,解得xx= -8m2-54 27一4m 27-4m2 所以yw=一 36m 顶8054-227………12分 327-4m 12分 36m 12m 所以直线MN的斜率k= 27-4m23-4n 6m 8m2548m2+6-9-4m' 13分 27-4m23-4m 12m .6m 8m+6 所以直线MN的方程为y一3-4m一g-4m(2一3一4m㎡ 14分 令-0，得一g标（一”)解得29加1业=-. 12m6n 8m+6y 3-4m 3-4m2 3-4m 所以直线MN恒过定点H(一4,0)， 16分 又OG⊥MN,即0G1GH,点A是H0的中点，所以AG=号|HO1=2. …17分 【高二年级第一次联考·数学参考答案第4页（共4页）】江西省八校协作体高二年级第一次联考 数 学 考生注意： 1,本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0,5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写 清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答索后，用2B铅笔 把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签 字笔在答题卡上各题的答题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效， 在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章一第三章第4节3.4,2。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1,抛物线y一号士的准线方程为 A=-号 By=一专 cy-是 Dy=-最 2.若将直线1沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移5个单位长度，又回到了原来的位 置，则直线！的斜率是 A-号 B号 c-3 D是 以设为实数，则双线千6产=1的焦距为 3y2 A.26 B46 C.22 D.42 4.在平面直角坐标系x0y中，以点E(-1,1)为圆心，且与直线mx十y一3m十1=0(m∈R)相切的所有 圆中，半径最大的圆的标准方程是 A.(x+1)2+(y-1)2=22 B.(x+1)2+(y-1)2=24 C.(x+1)2+(y-1)2=18 D.(x+1)2+(y-1)2=20 5.已知点M,N在直线l:2x一y-2=0上运动，且MN=25,点P在圆C:(x十4)2+y2=5上，则 △PMN的面积的最大值为 A.85 B45 C.20 D.15 6.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=2√，点M为空间中的一点，则M市，(MA+M店+M花)的最小 值为 A.-16 B.-14 C.-12 D.-8 【高二年级第一次联考·数学第1页（共4页）】 餐百扫墙全能王 7.阿基米德是古希腈腊著名的数学家、物理学家，他利用“迅近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆 的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆号+芳-1(0<<3)的左，右焦点分别为，，P为精圆上 y2 一点，且∠FPF,=哥，者F关于∠FPF,平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的面积为 A.33π B.36x C3v5π D.6π 8.已知圆C:(x+1)2+y2=12,P(1,-2),M(0,3),A,B是圆C上的动点，且∠APB=受，点N是线段 AB的中点，则当∠PMN取得最大值时，|MN|的值为 A⑤ B.√2 C.23 D.2√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中正确的是 A.若两个不同平面a,B的法向量分别是u=(1,2,一3)，=（一2，一4,6），则a⊥B B.若AB=(3,-1,-2),AC=(4,2,1),AP=(2,-4,-5),则点P在平面ABC内 C.已知A(0,1,0),B(1,2,0),则与AB方向相同的单位向量是(1,1,0) D.若a十b,b十c,c十a是空间的一组基，则向量a,b,c也是空间的一组基 10.已知圆C:(x一1)2十(y十2)2=1与圆C2:(x+1)2+y2=4交于A,B两点，则下列说法正确的是 A.线段AB的中垂线方程为x十y十1=0 B.直线AB的方程为4x一4y一7=0 C.IABI- D,若点P是圆C1上的一点，则1PA+P1的最大值是5y2+2 1.已知双曲线C:2-芳-1的左右焦点分别为F1,F,点P是C的右支上一点，过点P作C的切线L 与C的两条渐近线分别交于M,N两点，则下列说法正确的是 A.|PF1|2一|PF2|2的最小值为8 B.存在点P,使得PF1·PF2=一4 C.点M,N的纵坐标之积为定值 D.|MNI=2MPI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线l的方向向量为(2，m,一1)，平面a的法向量为（一3,2,2），且∥a,则m= 13.在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从点M(-4,一2)出发，爬到y轴后又爬到圆C:(x十2)2十 (y一2)2=1上，则它爬到的最短路程是 14.已知点P(一2,1)是抛物线C:x2=2py上的一点，点F是C的焦点，动点M,N在C上，且PMLPN, 则|MF+|NF的最小值为 【高二年级第一次联考·数学第2页（共4页）】 猴国扫洁全能王 ·七音说：“你不1… 《師傅有一个 人时代的传奇，到， ·匹满目架，地7 懒生 u 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知空间三点A(1,-2,4),B(-1,-1,7),C(-2,2,3). (1)设|c=2√，c∥A,求c的坐标， (2)求△ABC的而积. 16.(本小题满分15分) 已知圆C的圆心在直线l:2x十y一5=0上，且过点A(2,4),B(5,1). (1)求圆C的标准方程， (2)已知点P(x0,为)是圆C上的一点，求z0十%的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-A,B,CD中，四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A:AB=60°，AA1= 4AB=4,点G为CB1的中点. (1)用向量AB,AD,AA表示AG (2)求线段AG的长及直线AG与BD,所成角的余弦值. 【高二年级第一次联考·数学第3页（共4页）】 欲猴百扫墙全能王 巫 d11. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E芳+芹-1(a>b>0)的离心率为号，且过点（2,1)，直线1与E交于A,B两点 (1)求E的方程； (2)若线段AB的中点为M(一1，一1)，求直线l的方程： (3)若直线1的斜率不为0且经过E的左焦点，点P是y轴上的一点，且PA⊥PB,PA|=|PB|,求 直线1的斜率. 19.(本小题满分17分) 已知双曲线E:苔-苦-1(a>0,6>0)的一条渐近线方程为y=,左右顶点分别为A,B,且 |AB|=4. (1)求E的方程； (2)若点P为直线x=一1上的一点，直线PA交E于另外一点M(不同于点B). ①记△PAB,△MAB的面积分别为S,,且S,-》s,求点P的坐标， ②若直线PB交E于另外一点N,点G是直线MN上的一点，且OG⊥MN,其中O为坐标原点， 试判断引AG是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由。 【高二年级第一次联考·数学第4页（共4页）】 欲猴百扫墙全能王 环事水可内因名4