湖南省永州市京华中学2024-2025学年八年级上学期第二次课后服务练习

2024年下期京华中学八年级数学第二次课后服务练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子是分式的是（　　） A． B．+y C． D． 2．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（      ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，用直尺和圆规作射线OC，使它平分∠AOB，则△ODC≌△OEC的理由是（　　）    A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 4．若将分式中的，都扩大倍，则分式的值（   ） A．不改变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的倍 5．在，，，，，，中，无理数的个数（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 7．下列各命题的逆命题不成立的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应边相等 D．同旁内角互补，两直线平行 8．如图，在△ABC中，，垂直平分，分别交、于点D、E，若，则（    ） A． B． C． D． 9．为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．中国华为公司研发的麒麟芯片是全球第一款采用工艺制造的最先进手机处理器．已知，则数据“”用科学记数法表示为 ． 12．若分式的值为，则 ． 13．已知3a=5,9b=10,则3a-2b= . 14．36的平方根是 ，的算术平方根是 ． 15．中国射击队在2024年巴黎夏季奥运会上以5金2银3铜共10枚奖牌的成绩排名射击项目第一．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形（如图所示），这种方法应用的几何原理是 ． 16．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，添加一个个条件可以判定．你添加的条件是 ． 17．若，则 ． 18．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算：（1） （2） 20．（6分）解分式方程 （1）． （2）． 21．（6分）先化简，并从，，，中选择一个合适的数字代入求值． 22．（6分）若关于x的分式方程无解，求：m的值 23．（8分）如图，在△ABC中，，于E，点F在边上． (1)求证：； (2)若，且△ABC的面积等于6，求的长． 24．（10分）某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． （1）甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？ （2）该店在两种服装进价的基础上都提高销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利元，求m的值． 25．（12分）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据、、的规律，直接写出的值：______； (2)猜想____________； (3)计算的值． 26．（12分）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C D B C A C 1．C 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式的定义解答即可． 【详解】解：A、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意； B、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意； C、分母中含有字母，符合分式的定义，故该选项是分式，该选项符合题意； D、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（B≠0）叫做分式，注意π是数字． 2．D 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，不满足三角形三边关系， ∴，，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，不满足三角形三边关系， ∴，，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，不满足三角形三边关系， ∴，，不能摆成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，满足三角形三边关系， ∴，，能摆成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．A 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据SSS证明三角形全等即可． 【详解】由作图可知，OD=OE，DC=EC， 在△ODC与△OEC中 ， ∴△ODC≌△OEC（SSS）， 故选A． 【点睛】考查全等三角形的判定，关键是根据三角形全等的判定方法解答． 4．A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】由题意得：， ∴若将分式中的，都扩大倍，则分式的值不变， 故选：A． 5．C 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像2.121112111112111…，等有这样规律的数． 【详解】解：∵， 无理数为：，，，，共有4个， 故选：C． 6．D 【知识点】实数与数轴、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故选：D． 7．B 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】利用平行线的判定与性质、实数的性质和全等三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、逆命题为：内错角相等，两直线平行，成立，不符合题意； B、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，也可能互为相反数，逆命题不成立，符合题意； C、逆命题为：对应边相等的两个三角形是全等三角形，成立，不符合题意； D、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出原命题的逆命题． 8．C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】证明，设，可得，证明，再结合三角形的内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握基础图形的性质是解本题的关键． 9．A 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可． 【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵， 根据题意可得方程为， 整理为：， 故选：A． 10．C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，先利用证明即可判断①；根据全等三角形的性质得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出，即可判定③，证明，得出，，进而可证明是等边三角形，即可判定④，可求，，则可判断，则可判定②． 【详解】解∶∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， 又， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴，故④正确， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误， 故选∶C． 11． 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12． 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：若分式的值为， 则有且， 解得． 故答案为：． 13． 【知识点】积的乘方、同底数幂的除法 【详解】【分析】将9b=10利用幂的乘方的逆用变形为32b=10，然后再利用同底数幂的除法进行计算即可得. 【详解】∵9b=10，∴32b=10， ∵3a=5， ∴3a-2b=3a÷32b=， 故答案为. 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方、同底数幂除法的运算法则是解题的关键. 14． ±6, 3 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】利用平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】36的平方根是±6，=9，9的算术平方根是3． 故答案为±6；3． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个，算术平方根有1个． 15．三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形的稳定性直接写出答案即可．本题考查了三角形的稳定性，了解三角形的稳定性是解答本题的关键，难度不大． 【详解】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 16．（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 根据全等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴当添加时，根据“”可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 17．7 【知识点】异分母分式加减法、分式的求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了分式求值，异分母分式的减法运算，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．/ 【知识点】线段垂直平分线的性质、垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 19．（1）=3. （2） 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】直接利用乘方，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质二和次根式的性质分别化简得出答案． 【小问1详解】解： 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数运算，熟悉相关性质，能正确化简各数是解题关键． 20．（1）；（2）无解 【知识点】解分式方程 【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）， 两边同乘以去分母，得， 即，解得， 经检验，是分式方程的解，故分式方程的解为． （2）【小问2详解】 解：， 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化1得，， 将代入， ∴原分式方程无解． 21．， 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键：先根据分式混合运算顺序和运算法则将原式化简得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值即可．也考查了分式有意义的条件． 【详解】解： ， ∵且， ∴， ∴原式． 22．的值为1或． 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的无解问题．先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【详解】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴； ∵最简公分母， ， 当时，得， 综上：的值为1或． 23．(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，三角形面积，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）由（1）知，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， 而 ， ∴， ∴． 24．【答案】（1）甲种款型的T恤衫购进件，乙种款型的T恤衫购进件 （2） 【解析】 【分析】（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进件，根据“甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元”列出方程，解方程并检验即可得到答案； （2）分别求出甲种款式的T恤衫进价为元件，乙种款式T恤衫的进价为元件，根据售完后共获利元列出方程，解方程即可得到答案． 此题考查了分式方程和一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 小问1详解】 解：设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进件， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种款型的T恤衫购进件，乙种款型的T恤衫购进件； 【小问2详解】 ∵， ， ∴甲种款式的T恤衫进价为元件，乙种款式T恤衫的进价为元件， ∴甲种款式的T恤衫获利元， 乙种款式的T恤衫获利元， 又∵售完后共获利元， ∴， ∴． 答：m的值为． 25．(1) (2)， (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查与实数运算相关的规律题，观察出等式的变化规律是解答的关键． （1）根据前几个等式的变化规律解答即可； （2）根据前几个等式的左右式子变化与序号n的关系求解即可； （3）灵活运用（2）中变化规律求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：，； （3）解： ． 26．(1)见解析 (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 答案第14页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$