专题03 圆的方程、直线与圆（11大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题03 圆的方程、直线与圆的位置关系 圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东广州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．、13 B．、 C．、13 D．、 二、多选题 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 11．（23-24高二上·陕西渭南·期末）圆的半径为 ． 12．（23-24高二上·广东肇庆·期末）写出一个过点，的圆的标准方程 ． 13．（23-24高二上·广东潮州·期末）圆心为且经过点的圆的标准方程是 ． 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心为点，一条直径的端点分别在轴和轴上，则该圆的标准方程为 . 圆的一般方程 一、单选题 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 三、填空题 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知圆，则圆C的半径 ． 11．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 12．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知：的圆心坐标为，半径为r，则 ． 13．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆被直线平分，则圆C的半径为 ． 四、解答题 14．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 点与圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 二、填空题 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 5．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 三、解答题 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 定点到圆上点的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（23-24高三上·河北保定·期末）已知抛物线，是直线上的一个动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，，若为圆上的动点，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B．5 C．2 D． 二、多选题 10．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆，则（    ） A．圆的圆心是 B．圆关于轴对称 C．圆上的点到原点的最大距离为3 D．直线与圆有两个交点 11．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，则（    ） A．在圆上存在点，使得 B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为 C．在圆上存在点．使得 D．在圆上存在点，使得 12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 13．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知点为圆上的动点，则下列选项正确的有（    ） A．点在圆外 B． C．直线与圆相离 D．若直线为圆的切线，则 三、填空题 14．（23-24高二上·安徽安庆·期末）已知是以点为圆心，为半径的圆上的点，则点到原点的最小距离为 . 15．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 16．（23-24高二上·湖南·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 圆上点到定直线的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 2．（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（23-24高二上·北京西城·期末）已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 4．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知点在圆C：上，点，，则（    ） A．直线与圆相切 B．点到直线的距离小于7 C．当最大时， D．的最小值小于15° 6．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆的内部，则 B．若圆，外切，则 C．圆上的点到直线的最短距离为1 D．过点作圆的切线，则的方程是或 7．（23-24高二上·湖北·期末）已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，则（    ） A．在圆上存在点，使得 B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为 C．在圆上存在点．使得 D．在圆上存在点，使得 三、填空题 9．（23-24高二上·四川成都·期末）对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为 . 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知、、，且动点满足，则的最小值是 . 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为 ． 12．（23-24高二上·上海·期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 四、解答题 13．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与圆相交于A，B两点. (1)若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离； (2)求弦的长度. 过定点弦长的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 5．（23-24高二上·河南·期末）直线被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C．2 D．1 6．（23-24高二上·北京海淀·期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·重庆渝中·期末）过点的直线与圆相交于两点，则弦长的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 二、多选题 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．圆D的面积为 B．l过定点 C．面积的最大值为 D． 9．（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 三、填空题 10．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知直线，当直线l被圆截得的弦长最短时，实数m的值为 . 11．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知圆，直线. (1)证明：直线恒过定点； (2)直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程. 13．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知圆心为的圆经过点，直线：. (1)求圆的方程； (2)写出直线恒过定点的坐标，并求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长. 直线与圆位置关系的判断 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 2．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 3．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 4．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 7．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 8．（23-24高二上·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 二、多选题 9．（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 三、填空题 10．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 由直线与圆的位置关系求参数 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知，若直线上有且只有一点满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江西·期末）若满足的有序实数对有3对，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线与圆：有公共点，则半径可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 三、填空题 13．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 14．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知直线，圆． (1)若直线与圆无公共点，求实数的取值范围； (2)若直线与圆交于两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求实数的值． 圆的切线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东广州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 11．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 12．（23-24高二上·河南驻马店·期末）法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．当点为时，直线的方程为 三、填空题 13．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 14．（23-24高二上·安徽合肥·期末）以两条直线 的交点为圆心，并且与直线 相切的圆的方程是 ． 15．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 . 16．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 四、解答题 17．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 18．（23-24高二上·天津武清·期末）已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 19．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 圆的弦长问题 一、单选题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 5．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 6．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 10．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．（23-24高二上·四川凉山·期末）过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 14．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 三、填空题 16．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线，其一条渐近线被圆截得的弦长为，则 . 17．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 18．（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 四、解答题 19．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)求直线的方程. 20．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 21．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 22．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 11．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 12．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（    ） A． B． C．抛物线的准线 D． 13．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知圆，圆，则（    ） A．若圆与圆相交，则 B．当时，圆与圆有两条公切线 C．当时，两圆的公共弦所在直线的方程为 D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等 三、填空题 15．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 16．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 . 17．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 18．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为． (1)求实数m的取值范围； (2)若直线与圆C相切，求实数m的值； (3)若圆C与圆相切，求实数m的值． 19．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆O：（）与圆C：有两个不同的交点D，E． (1)求r的取值范围； (2)若，求线段DE的长． 20．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 直线与圆中的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为6 8．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 三、填空题 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 10．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 11．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 四、解答题 12．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 13．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 15．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 16．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 圆中的定点定值问题 一、多选题 1．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 二、解答题 2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．（23-24高二上·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 公共弦问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 2．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 6．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 8．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 10．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．的最大值为12 D．若，则过点且与圆相切的直线方程为 三、填空题 11．（23-24高二上·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 12．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 13．（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 14．（23-24高二上·天津西青·期末）已知圆：与圆：相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为 ；②若弦长，则 . 四、解答题 15．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 16．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 17．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 共切线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．（23-24高二上·河北保定·期末）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．的最大值为12 D．若，则过点且与圆相切的直线方程为 7．（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）下列结论中正确的是（    ） A．若直线的方程，则直线的倾斜角为 B．已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C．若直线与直线垂直，则 D．圆与圆的公切线条数为2 三、填空题 9．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 直线与圆的应用 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 二、解答题 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 3．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆的方程、直线与圆的位置关系 圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此确定圆心坐标及半径. 【详解】圆的方程可化为. 所以圆心的坐标为，半径为， 故选：B. 4．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 6．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意得圆的半径为， 则圆的方程为. 故选：A. 7．（23-24高二上·广东广州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．、13 B．、 C．、13 D．、 【答案】D 【分析】把所给的圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆心坐标和半径． 【详解】解：圆：，即圆：， 故圆心坐标和半径分别为，. 故选：D． 二、多选题 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 9．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 三、填空题 10．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【详解】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·陕西渭南·期末）圆的半径为 ． 【答案】 【分析】将圆化为标准方程即可得出答案. 【详解】将圆化为标准方程可得： . 所以圆的半径为. 故答案为：. 12．（23-24高二上·广东肇庆·期末）写出一个过点，的圆的标准方程 ． 【答案】（形式不唯一，只要符合：，其中即可） 【分析】确定圆心满足的条件和半径，可直接写出满足条件的圆的方程. 【详解】由题意：设圆心为：，半径为：， 则；. 取可得满足条件的一个圆的标准方程： 故答案为：（答案不唯一） 13．（23-24高二上·广东潮州·期末）圆心为且经过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】先由题意求出圆的半径，可得圆的标准方程． 【详解】因为圆心为且经过点，所以半径, 于是该圆的标准方程为：. 故答案为：. 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心为点，一条直径的端点分别在轴和轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意求出直径的端点坐标，进而可求得圆的半径，即可得解. 【详解】设直径的端点分别为， 因为圆的圆心为点， 所以，解得， 所以圆的半径， 所以该圆的标准方程为. 故答案为：. 圆的一般方程 一、单选题 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此确定圆心坐标及半径. 【详解】圆的方程可化为. 所以圆心的坐标为，半径为， 故选：B. 2．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 4．（23-24高二上·陕西汉中·期末）圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求圆心与半径即可. 【详解】由，所以圆心和半径分别为. 故选：D 5．（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由计算即可得. 【详解】，即. 故选：D. 6．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程. 【详解】设圆C的方程为，则圆心， 则有，解之得, 则有圆C的方程为，即 故选：C 7．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆的一般方程化成标准方程即可得解. 【详解】由圆的一般方程为， 可得圆的标准方程为：， 所以圆心. 故选：C 二、多选题 8．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 三、填空题 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知圆，则圆C的半径 ． 【答案】2 【分析】将题目中的一般方程整理为标准方程，可得答案. 【详解】由圆，整理可得：， 则圆的半径为. 故答案为：2. 11．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 12．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知：的圆心坐标为，半径为r，则 ． 【答案】0 【分析】首先求圆心和半径，即可求解的值. 【详解】，圆心为，半径， 所以，则. 故答案为： 13．（23-24高二上·四川泸州·期末）若圆被直线平分，则圆C的半径为 ． 【答案】 【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径． 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， 圆的圆心为， 即， 解得：， 则圆，则圆的半径为． 故答案为：． 四、解答题 14．（23-24高二上·河北沧州·期末）在△OAB中，O是坐标原点，，． (1)求AB边上的高所在直线的方程； (2)求△OAB的外接圆方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程； （2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程． 【详解】（1）∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率， 又AB边上的高所在直线过原点O， ∴AB边上的高所在直线的方程为． （2）设的外接圆的方程为（）， 则，解得， ∴的外接圆方程为． 点与圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果. 【详解】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】由几何法圆心到直线的距离与半径的大小比较可得. 【详解】由题意圆的圆心，半径， 由在圆外，得， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相交. 故选：A. 二、填空题 4．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 . 【答案】 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标，则，从而可得答案. 【详解】由题可知的圆心坐标为， 因为点在圆上， 所以圆的半径. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 三、解答题 6．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得. （2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程. 【详解】（1）圆：的圆心，半径 由点在圆内，得，解得， 所以的取值范围为. （2）显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2， 则直线是过点的圆的切线； 当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为， 由，解得，切线方程为，即， 所以圆的切线方程为或. 定点到圆上点的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 2．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先画出图形，找出点关于直线的对称点，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示： 设点与点关于直线对称， 则，解得，即， 所以， 其中分别为圆的圆心和半径， 等号成立当且仅当分别与重合，其中分别为线段与直线和圆的交点， 综上所述，的最小值为. 故选：C. 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知圆的半径为1，以点为圆心，若圆上的点到原点的距离的最大值为7，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设为圆上的点，则，从而求出的最大值，进而确定的值. 【详解】设为圆上的点，则. 因为. 故选：A 4．（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 圆的圆心为原点，半径为， 因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点， 由垂径定理可知，，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动， 则. 当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B. 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可. 【详解】易知圆的圆心为原点，半径， 由圆，故其圆心为，半径， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 则，如图所示. 故选：A 6．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①两圆的圆心距； ②直线AB的方程为； ③； ④圆上的点到直线的最大距离为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断①；求出相交弦数值的直线方程判断②；求解弦长判断③；利用点到直线的距离求解判断④即可． 【详解】圆的圆心，半径为：2；圆的圆心，半径为； 对于①，两圆的圆心距，所以①不正确； 对于②，两圆相交，两个圆的方程作差可得，即，所以②正确； 对于③，圆到直线的距离为：，所以，所以③不正确； 对于④，圆上的点到直线的最大距离为：，所以④正确； 故选：B． 7．（23-24高二上·江苏·期末）设点P为圆上的动点，Q为圆上的动点，O为坐标原点，C是x轴上的定点，且，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】首先由，可以求出点的坐标，然后可转换成求的最小值即可，结合三角形三边关系以及定点到圆上点的距离的最值即可得解，注意取等条件是否满足. 【详解】如图，    设，因为， 所以，即， 此方程与圆表示同一个圆，故. 又，所以， 等号成立当且仅当点在线段上. 故选：B. 8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可. 【详解】圆:可化为 表示点到点的距离的平方, 因为， 所以的最小值为. 故选：B. 9．（23-24高三上·河北保定·期末）已知抛物线，是直线上的一个动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，，若为圆上的动点，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B．5 C．2 D． 【答案】D 【分析】设，设点处的切线方程为，联立方程，根据求出，进而可求出点处的切线方程，同理可求出点处的切线方程，再根据两切线都过点，从而可求出直线的方程，再求出直线所过的定点，再将所求出转化为点到定点的距离，进而可得出答案. 【详解】设， 由题意在点和点处的切线方程的斜率不等于零， 设点处的切线方程为， 联立，消得， 则，即 又，所以，所以， 所以点处的切线方程为，即， 同理可得点处的切线方程为， 又两切线都过点， 所以，， 所以直线的方程为，即， 令，解得， 所以直线过定点， 圆的圆心，半径， 所以点到直线距离的最大值即为点到定点的最大距离， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：D.    【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 二、多选题 10．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆，则（    ） A．圆的圆心是 B．圆关于轴对称 C．圆上的点到原点的最大距离为3 D．直线与圆有两个交点 【答案】AC 【分析】由题意圆心为，它在轴上，由此即可判断AB；最大距离为圆心距加半径由此即可判断C；由圆心到直线的距离和半径比较大小即可判断. 【详解】由题意圆的圆心为，它在轴上，所以圆关于轴对称，故A对B错； 半径为， 圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的最大距离为，故C对； 对于D，圆心到直线的距离满足，所以直线与圆没有交点，故D错. 故选：AC. 11．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，则（    ） A．在圆上存在点，使得 B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为 C．在圆上存在点．使得 D．在圆上存在点，使得 【答案】AB 【分析】 求出判断A；根据到直线的距离判断B；转化为两圆的位置关系判断C；求出垂直平分线与圆的交点判断D. 【详解】由可得，圆心，半径， 对于A.，因为， 所以，，所以在圆上存在点，使得，正确； 对于B，的方程为，即，到的距离为， 到直线的距离，而， 所以在圆上存在点，使得点到直线的距离为，正确； 对于C，以为直径端点的圆， 圆心，半径，，两圆外离，两圆没有交点， 所以在圆上不存在点．使得，错误； 对于D，垂直平分线方程为，直线与圆相交， 有两个交点，但是若为，时，，所以在圆上不存在点，使得，错误. 故选：AB. 12．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆，动直线过点，下列结论正确的是（    ） A．当与圆相切于点时， B．点到圆上点的距离的最大值为5 C．点到圆上点的距离的最小值为2 D．若点在上，与圆相交于点，则 【答案】AB 【分析】结合切线长公式计算可判断A项，运用圆上的点到圆外一定点的距离的最大值为，最小值为（为圆心到圆外定点的距离）可判断B项、C项，运用圆内弦长公式计算可判断D项. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为2， 对于A项，如图所示，    则，故A项正确； 对于B项，    如图所示，点到圆上点的距离的最大值为，故B项正确； 对于C项，    如图所示，点到圆上点的距离的最小值为，故C项错误． 对于D项，    直线的方程为，则点到直线的距离， 所以，故D项错误． 故选：AB. 13．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知点为圆上的动点，则下列选项正确的有（    ） A．点在圆外 B． C．直线与圆相离 D．若直线为圆的切线，则 【答案】ABD 【分析】计算，再将其与半径比较即可判断A，根据即可判断B；计算圆心到直线的距离即可判断C；根据即可判断D. 【详解】对A，由题意，得圆的圆心为坐标原点，半径，所以，则点在圆外，故A正确； 对B，又，所以，故B正确； 对C，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故C错误； 对D，若直线为圆的切线，则，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 14．（23-24高二上·安徽安庆·期末）已知是以点为圆心，为半径的圆上的点，则点到原点的最小距离为 . 【答案】4 【分析】先判断点与圆的位置关系，然后根据点到圆心距离结合几何性质求解最值即可. 【详解】原点到圆心的距离为，因此点在圆外， 故点到原点的最小距离为. 故答案为： 15．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离几何意义求解最值. 【详解】设点，由实数满足可得： 点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则的几何意义为动点到定点的距离， 由，则点在圆外， 结合图形可知，. 的最大值是. 故答案为：.    16．（23-24高二上·湖南·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 【答案】1 【分析】 利用圆关于直线对称可知该直线过圆心，可得，再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果. 【详解】 由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心， 则，解得， 则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为， 易知圆心与的距离为， 故点与该圆上任意一点的距离的最小值为． 故答案为：1 圆上点到定直线的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知线段的长度为4，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系,可得的轨迹方程为圆，数形结合高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系， 设，且， 由，得， 化简得的轨迹方程为圆，半径， 如下图，有． 故选：A    2．（23-24高二上·山西·期末）已知半径为1的圆经过点，其圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设圆的圆心为，即可得到圆的圆心的轨迹方程，求出点到直线的距离，即可得解. 【详解】设圆的圆心为，则，即圆的圆心的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 其中点到直线的距离， 则圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D 3．（23-24高二上·北京西城·期末）已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，即可得圆心到直线的距离的最大值，加上半径即为点到直线的距离的最大值. 【详解】由，即， 即圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故圆心到直线的距离的最大值为， 则点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 二、多选题 4．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】AD 【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算. 【详解】将化为标准方程：， 可知圆的圆心为，半径为． 对于选项A：因为圆心到直线：的距离， 可知，可得， 所以线段长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为四边形面积， 由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：AD．    5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知点在圆C：上，点，，则（    ） A．直线与圆相切 B．点到直线的距离小于7 C．当最大时， D．的最小值小于15° 【答案】BCD 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解判断A；根据圆上的点到直线的距离最值，判断BD；根据直线与圆相切时最大，从而判断C. 【详解】对于A：圆：的圆心，半径， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离，A错误； 对于B：因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离最大值为，B正确； 对于C：当直线与圆相切（图中位置）时，最大， 此时，C正确； 对于D：直线与圆相切（图中位置）时，最小， 由， 又 得， 又， 可得， 又， 因为， 所以，又为锐角， 所以，D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆的内部，则 B．若圆，外切，则 C．圆上的点到直线的最短距离为1 D．过点作圆的切线，则的方程是或 【答案】BCD 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知B正确；利用点到直线的距离公式及直径是圆中最长的弦即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，因为，则的方程恒表示圆， 由点在圆的内部，得，解得，故A错误； 对于B，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆，外切，则，即，解得，故B正确； 对于C，由圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最短距离为，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为，圆心到的距离为，解得， 所以的方程是，综上，的方程是或，故D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高二上·湖北·期末）已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值可能是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】CD 【分析】根据圆上点到定点距离的最值求法，求出圆关于轴对称的圆方程即可求得结果. 【详解】圆关于轴对称的圆为圆， 圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为2； 则的最小值为， 故， 故选：CD． 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆，，则（    ） A．在圆上存在点，使得 B．在圆上存在点，使得点到直线的距离为 C．在圆上存在点．使得 D．在圆上存在点，使得 【答案】AB 【分析】 求出判断A；根据到直线的距离判断B；转化为两圆的位置关系判断C；求出垂直平分线与圆的交点判断D. 【详解】由可得，圆心，半径， 对于A.，因为， 所以，，所以在圆上存在点，使得，正确； 对于B，的方程为，即，到的距离为， 到直线的距离，而， 所以在圆上存在点，使得点到直线的距离为，正确； 对于C，以为直径端点的圆， 圆心，半径，，两圆外离，两圆没有交点， 所以在圆上不存在点．使得，错误； 对于D，垂直平分线方程为，直线与圆相交， 有两个交点，但是若为，时，，所以在圆上不存在点，使得，错误. 故选：AB. 三、填空题 9．（23-24高二上·四川成都·期末）对任意的实数， 圆上一点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据直线方程先求出直线所过的定点，然后考虑直线经过圆心，圆心与定点的连线垂直直线，结合直线与圆的位置关系确定出的取值范围. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径， 直线方程可化为， 令解得，所以直线过定点， 显然当直线与圆相切或相交时，取最小值且， 不妨令直线过原点，将代入，此时， 设圆心到直线的距离为，当直线与垂直时，取得最大值，下面证明： 当与直线垂直时，记为直线， 当不与直线垂直且直线不经过时，记为直线， 过作交于点，如下图所示， 由图可知为直角三角形，且为斜边，所以， 所以取最大值时，与直线垂直时， 故，， 但此时的方程为，即为， 此时无论取何值都无法满足要求，故取不到， 所以， 故答案为： 10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知、、，且动点满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】求出点P的轨迹方程，将化为，即可确定P在线段AC上时，最小，结合图形的几何性质，即可求得答案. 【详解】由题意知、、，且动点满足， 设，则， 整理得，即P点在圆上运动，A点在圆内，C在该圆外； 由于， 则当三点共线，即P在线段AC上时，最小， 最小值为， 故答案为： 11．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若平面内两定点A，B间的距离为3，动点P满足，则△PAB面积的最大值为 ． 【答案】3 【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求面积的最大值. 【详解】以所在直线为x轴，以线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系， 设， 因为，即， 所以，整理为：， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，所以点到距离的最大值是， 所以面积的最大值是. 故答案为：3 12．（23-24高二上·上海·期末）已知为圆上一点，为圆上一点，则点到点的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】确定出两圆的圆心和半径，然后根据四点共线求解出的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 当且仅当共线，且在中间时取等号， 所以点到点的距离的最大值为， 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知直线与圆相交于A，B两点. (1)若P为圆C上一点，求点P到直线l的最大距离； (2)求弦的长度. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）计算圆心到直线的距离，加上半径即为最大距离； （2）由圆中弦长公式可解. 【详解】（1）圆，圆心，半径，             圆心到直线的距离，                     所以点P到直线l的最大距离为. （2），即，         解得. 过定点弦长的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线， 可得直线方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法求弦长. 【详解】如图：，所以圆心，半径    由图可知，当弦时，弦长最短. 此时，中，，， 所以：. 所以弦长. 故选：D 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：直线过定点，且点在圆内，可知当时，弦长最短，结合垂直关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 直线，可知直线过定点，斜率为， 因为，则点在圆内， 可知当时，弦长最短， 又因为，可知直线的斜率，即， 所以直线l的方程为，即. 故选：C. 4．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 5．（23-24高二上·河南·期末）直线被圆所截得的最短弦长等于（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用弦长公式求出结果即可． 【详解】由题可知，直线过定点， 由圆的方程可知圆心为，半径为. 圆心到直线的最大距离为点的距离，即， 所以所截得的最短弦长为. 故选：C. 6．（23-24高二上·北京海淀·期末）设动直线l与交于两点．若弦长既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可. 【详解】，圆心，半径， 选项A，由直线斜率为，可得动直线为为平行直线系， 圆心到直线的距离， 当或时，，直线与圆不相交，不满足题意，故A错误； 选项B，由直线可化为， 则直线恒过，因为，点在圆外， 故直线不一定与圆相交，故B错误； 选项C，由直线恒过，点在圆上， 当时，直线方程可化为， 此时圆心到直线的距离， 圆与直线相切，不满足题意，故C错误； 选项D，由直线方程可化为， 则直线恒过，且点在圆内，故直线恒与圆相交， 当直线过圆心时，弦长最长，由在直线上， 可得，取到最大值； 如图，取中点，则，圆心到直线的距离 ，当取最大值时，弦长最短， 即当直线与垂直时，弦长最短，由的斜率为 此时直线斜率为，即当时，取到最小值.故D正确. 故选：D.    7．（22-23高二上·重庆渝中·期末）过点的直线与圆相交于两点，则弦长的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出圆心、半径，得出，即点在圆内.当时，弦长最小，根据勾股定理即可求出答案. 【详解】由已知可得圆心，半径. 因为，所以点在圆内. 所以，当时，弦心距最大，弦长最小. 所以弦长的最小值是. 故选：B. 二、多选题 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．圆D的面积为 B．l过定点 C．面积的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】将圆的方程整理成标准式，得到圆心和半径，即可求解圆面积判断A，直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断B；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断C；分别求出过点的弦长的最大值和最小值，即可判断D. 【详解】对于A：圆即的圆心为， 半径，故圆D的面积为，正确； 对于B：将直线整理为：， 令，解得，即直线过定点，正确； 对于C：定点到圆心的距离， 设点到直线的距离为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积的最大值为，错误； 对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小， 当直线过圆心时，弦的长度最大， 所以可得，正确. 故选：ABD 9．（23-24高二下·云南保山·期末）平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD 【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可. 【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值. 三、填空题 10．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知直线，当直线l被圆截得的弦长最短时，实数m的值为 . 【答案】2 【分析】分析题意找到直线必过的定点，并判断直线与圆的半径垂直，利用点线距离相等建立方程，求解即可. 【详解】易知圆心为，，而l可化为， 故l必过，易得在圆内，即直线l与圆相交， 若直线l被圆截得的弦长最短， 则与圆的半径必定垂直，设圆心到l的距离为， 则，故，解得. 故答案为：2. 11．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线过定点，且点在圆内，根据圆的性质结合垂径定理求弦长的最小值. 【详解】因为直线，即， 可知直线过定点， 又因为圆的圆心，半径， 且， 即点在圆内，可知直线与圆相交， 由圆的性质可知：当且仅当时，取到最小值. 故答案为：. 四、解答题 12．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知圆，直线. (1)证明：直线恒过定点； (2)直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程整理为关于的一次方程，令的系数以及常数项为零解方程组可得定点； （2）根据直线恒过定点，当时，最小，求出斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）证明：整理得， 令，解得， 即直线恒过定点； （2）圆即，所以圆心，半径， 又由（1）直线恒过定点且M在圆内， 若直线与圆交于两点，当时，最小， 所以， 此时直线， 即直线的方程为. 13．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知圆心为的圆经过点，直线：. (1)求圆的方程； (2)写出直线恒过定点的坐标，并求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长. 【答案】(1) (2)最小值为，. 【分析】 （1）根据圆心与圆上点的距离求出半径，即可由圆心和半径直接写出圆的标准方程； （2）将直线改成关于m的一次方程形式，根据方程恒成立列方程组求解定点；当半径确定时，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形知弦长最小时，弦心距最大，即可求出m的值． 【详解】（1） ∵圆的半径， ∴圆的方程为. （2） ∵直线的方程为，令解得：，∴定点的坐标为. ∵，∴点在圆的内部，故直线恒与圆相交. 又圆心到直线的距离 ∴被圆截得的弦长为， 当取得最大值2时，弦长有最小值，最小值为，此时. 直线与圆位置关系的判断 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相交 D．，且与圆相离 【答案】B 【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系． 【详解】如图：    直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即， 由于点是圆内一点，则， 又直线的方程为：， 所以，. 圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离. 故选：B 3．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 4．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【分析】求得直线，的斜率，进而可求直线的方程，依据直线与圆的位置关系可得结论． 【详解】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D． 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】由几何法圆心到直线的距离与半径的大小比较可得. 【详解】由题意圆的圆心，半径， 由在圆外，得， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相交. 故选：A. 6．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】求出点到直线的距离即可求解. 【详解】因为圆，所以， 半径，因为点到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相离. 故选：C. 7．（23-24高二上·湖北十堰·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】求得直线所过定点，再判断该定点在圆的内部，从而得解. 【详解】因为直线可化为， 所以直线过定点， 而，所以该定点在圆的内部，故直线与圆有2个公共点. 故选：C. 8．（23-24高二上·广东·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 【答案】BCD 【分析】根据直线l斜率和倾斜角的关系，即可判断A选项；将圆心求出，即可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出，即可得出直线l与圆的位置关系，即可判断C选项；利用点到直线的距离公式求出，即可表示出直线l与圆的位置关系，计算求参，即可判断D选项. 【详解】直线l：的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，A选项错误； 而圆：，即，可知圆心，半径，B选项正确； 当时，直线l：， 设圆心到直线l的距离为，则， 所以直线与圆相切，故C正确； 对于D项，圆：，即，可知圆心，半径, 因为直线与圆C交于两点，所以圆心C到直线l的距离， 即，解得， 所以当时，直线l与圆C相交，故D项正确； 故选：BCD. 三、填空题 10．（23-24高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 由直线与圆的位置关系求参数 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过圆心进行求解． 【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 2．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆恒有公共点，由求解. 【详解】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 3．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值. 【详解】可化为，则， 又直线平分圆， 则直线经过圆心. 代入直线得，解得或. 因为不满足，故 故选：C. 4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解. 【详解】若，则圆心到直线的距离， 则圆上恰有两个点到直线的距离等于， 反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于， 则，即或，不一定， 所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件. 故选：A 5．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知，若直线上有且只有一点满足，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设，求出动点的轨迹方程，是以为圆心，2为半径的圆，故直线与圆相切，且切点为，从而得到方程，求出答案. 【详解】设动点，由题意得， 化简可得，故动点的轨迹方程为． 动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 且在直线上， 因为直线上有且只有一点满足， 所以直线与圆相切，且切点为， 由，得，所以或， 故选：D． 6．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出以线段为直径的圆的方程，由题意可知直线与该圆相离，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】以线段为直径的圆的方程为， 圆心，半径， 因为直线上不存在点，使得， 所以圆与直线没有交点， 则圆心到直线的距离， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知点在圆：的外部，若圆上存在点使，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由点在圆外及列出不等式组并求解即得. 【详解】圆：的圆心，半径为2，显然， 令过点的圆的切线与圆相切的切点为，由圆上存在点使，得， 即，则，又，解得， 所以正数的取值范围为. 故选：B 8．（23-24高二上·山西朔州·期末）直线与曲线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据曲线的方程确定为以为圆心，2为半径的下半圆，进一步利用经过定点的直线系和曲线的交点确定直线的斜率，最后确定实数k的取值范围． 【详解】,所以直线恒过定点，且斜率为； 曲线，整理得， 故该曲线是以为圆心，2为半径的下半圆， 如图所示，令，代入，整理得，解得或； 故， ，所以直线与曲线有交点，只需或即可， 故选：B. 9．（23-24高二上·江西·期末）若满足的有序实数对有3对，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设出，根据所求和题设条件联想到点的轨迹和平面图形的几何意义，从而将问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，借助于圆的性质数形结合迅速解题. 【详解】设（），则，，而表示点到直线的距离， 点又在圆上，所以问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，如图，    而圆心到直线的距离为，故，解得，则. 故选：A. 二、多选题 10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线与圆：有公共点，则半径可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【分析】根据直线与圆相交或相切，则圆心到直线的距离，可解问题. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 由于直线与圆有公共点， 则，解得， 由于，所以符合条件的选项为C、D. 故选：CD. 11．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【分析】直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径求解即可得到答案． 【详解】解：因为直线与圆相交于不同的两点、， 所以圆心到直线的距离，解得， 选项中只有3,4满足， 故选：AB． 12．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线与圆M交于C，D两点，则下列结论正确的是（    ）． A．的取值范围是 B．若直线l经过圆M的圆心，则的值为 C．当直线l过原点O时，圆M上的动点到直线l的最大距离为 D．若，则 【答案】AB 【分析】结合点到直线的距离公式依次判断即可. 【详解】对于A项，圆的标准方程为：， 圆心为，半径， 因为直线与圆M交于C，D两点，所以圆心M到直线l的距离， 即，解得， 所以的取值范围是，故A项正确； 对于B项，若直线l经过圆M的圆心，则，解得，故B项正确； 对于C项，当直线l过原点O时，则，得直线， 则圆心M到直线l的距离， 得圆M上的动点到直线l的最大距离为：，故C项错误； 对于D项，因为，所以为等边三角形， 则圆心M到直线CD的距离为：，所以， 得或，故D项错误， 故选：AB 三、填空题 13．（23-24高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知， 由面积为知：，解得或， 则由点到直线的距离公式得：， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）. 14．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，三点共线，构不成三角形，故．是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数的取值范围． 【详解】当时，三点共线，构不成三角，故， 如图所示，是直角三角形，有三种情况： 当是直角顶点时，直线上有唯一点点满足条件； 当是直角顶点时，直线上有唯一点满足条件； 当是直角顶点时，此时至少有一个点满足条件． 由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可， 以为直径的圆为，圆心为，半径， 所以，解得，且， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知直线，圆． (1)若直线与圆无公共点，求实数的取值范围； (2)若直线与圆交于两点，且（为圆的圆心）为直角三角形，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆心到直线的距离与半径的关系即可求解， （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）易知圆的圆心坐标为，半径． 由直线与圆无公共点知， 圆心到直线的距离或． 故实数的取值范围是或． （2）由题意知，半径CA，CB互相垂直，为等腰直角三角形． 又圆心到直线的距离为，可得， 又，即，解得：． 圆的切线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的切线性质，四边形的面积，当时，最小，即可求出. 【详解】由圆的切线性质，四边形的面积    。 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 5．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 6．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 7．（23-24高二上·重庆·期末）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线间的距离公式列式计算即可. 【详解】设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 则由平行线间的距离公式得，得 故选：B. 8．（23-24高二上·广东广州·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据点在直线设为，结合题中条件可求得，利用两点间的距离公式建立方程，求解即可. 【详解】因为点在直线上， 可设， 又是圆的两条切线，且， 所以,,, 所以, 即， 化为， 解得或， 所以点坐标为， 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】将圆的方程配方易得A项正确；利用圆的切线的性质和勾股定理易求得；设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求出值，回代入直线方程与圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率关系即可求得直线的方程；先判断，求出的正余弦，再求即得. 【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为， 故A项正确；    如图，点为圆的两条切线, 切点分别为. 对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误； 对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：， 由圆心到直线的距离，解得：， 取，则切线方程为代入整理得：， 解得：，代入可得：，即得：， 因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确； 对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则， 于是，.故D项错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆相切产生的切线长，直线方程和夹角问题，属于较难题. 解决此类题目的思路即是，作出图形，利用图形的几何性质，借助于直线与圆的方程联立，求出相关点坐标和相关角的三角函数值即可依次求得. 11．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】AD 【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算. 【详解】将化为标准方程：， 可知圆的圆心为，半径为． 对于选项A：因为圆心到直线：的距离， 可知，可得， 所以线段长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为四边形面积， 由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：AD．    12．（23-24高二上·河南驻马店·期末）法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．圆的方程为 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．当点为时，直线的方程为 【答案】BD 【分析】利用椭圆的性质，找特殊位置容易求得圆的方程，结合直线与圆的位置关系，可以推出. 【详解】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为，所以蒙日圆的方程为，故A不正确； 四边形面积为：，只需求出的最小值，而的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为，故B正确； 设,则，故， 所以， 又，当且仅当取等号， 而的最小值，故的最小值8，故等号取不到，故C不正确； 当点为时，点，，，四点共以为直径圆上， 所以这个圆的方程为，与圆方程联立，可得直的方程为，故D正确. 故选：BD. 【点睛】易错点睛：C选项中等号取不到，容易出错，同时考查推理运算能力. 三、填空题 13．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 14．（23-24高二上·安徽合肥·期末）以两条直线 的交点为圆心，并且与直线 相切的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用交点坐标和点到直线的距离公式求出圆心和半径，最后求出圆的方程. 【详解】利用，解得，则圆心坐标为， 设圆的方程为 利用圆心到直线的距离， 整理得， 故圆的方程为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线和圆，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 . 【答案】 【分析】由抛物线的对称性，设交点为，利用导数求出抛物线在点的切线斜率，再求出过圆心、切点连线的斜率，二者斜率相等可得，代入圆方程可得答案. 【详解】由抛物线的对称性，如图，不妨设交点为， 且满足，则切线斜率， 故由题知：，故解得：， 代入圆方程可得：，故解得：. 故答案为：. 16．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知圆，，过点向圆引两条切线、，、为切点，则 . 【答案】 【分析】由圆的几何性质可知，，利用勾股定理可求得的值. 【详解】圆的圆心为坐标原点，半径长为，由已知可得， 由圆的几何性质可得，由勾股定理可得. 故答案为：. 四、解答题 17．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先设圆的标准方程，再代入点的坐标及圆心在直线上即可求参； （2）设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ，解得： ， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即，解得，此时. 综上，直线l的方程为或. 18．（23-24高二上·天津武清·期末）已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】(1)（或标准形式） (2)或 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【详解】（1）根据题意，因为圆过两点，， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即 又因为圆心在直线上，联立，解得， 所以圆心，半径，故圆的方程为； （2）圆的圆心为，半径， 当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切； 当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为， 即（*）， 由圆心C到切线的距离， 即，可得， 将代入（*），得切线方程为，即， 综上，所求切线方程为或. 19．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； （2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 圆的弦长问题 一、单选题 1．（23-24高二下·河南漯河·期末）直线与圆交于两点，则弦的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再利用弦长公式求. 【详解】设圆的圆心为，半径， 因为到直线的距离， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆的方程，令，得，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出，得到圆的方程. 【详解】由题意，可设圆的方程为， 令，得， 设，则，， ， 解得， ∴圆的方程是，即. 故选：C 3．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先证明直线被圆截得的弦长为当且仅当或，然后根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】要使直线被圆截得的弦长为， 当且仅当圆心到直线的距离. 此即，即，即或，即或. 显然，“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用几何特征，得到当时弦取得最小值求解即可. 【详解】将圆化为，圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 记圆心到直线的距离为，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：C. . 5．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 6．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解. 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 7．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，结合给定的弦长利用勾股定理建立方程求解半径即可. 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为， 而，由勾股定理得，解得， 故圆的方程为. 故选：C 8．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【分析】判断出圆心在直线上即可求解. 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得已知圆的圆心和半径，利用直线与圆相交形成的弦心距，半径和半弦长的关系式即可求得. 【详解】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为， 由点到直线的距离为， 则该圆截直线所得弦长为. 故选：A. 10．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 11．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当直线的斜率不存在时，不合要求，设直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出或，得到直线方程. 【详解】由题意知，，设圆的半径为，则， 当直线的斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到直线距离为， 此时，舍去， 设直线的方程为，即， 点到直线的距离， 又， 故，解得或， 代入得或． 故选：D 12．（23-24高二上·四川凉山·期末）过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断已知点与圆的位置关系，再结合圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径，记为点，， 即点在圆内，则当时，弦长最短，此时， 所以的面积. 故选：A 二、多选题 13．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知直线：与圆：相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为2 D． 【答案】ACD 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 14．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（    ） A．直线过定点 B．直线与圆恒相交 C．直线被圆截得的弦长最短为4 D．若直线被圆截得的弦长为，则 【答案】ABD 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D. 【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确； 对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时， 直线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，直线，圆心到直线的距离， 得，故D正确. 故选：ABD 15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【分析】判断点与圆的位置关系可得选项A的真假；利用弦长求解方法可得出选项B的真假；利用待定系数法可得出选项C的真假；判断出圆心到直线的最长距离，从而得出选项D的真假. 【详解】解：因为圆：， 所以圆的圆心为，半径为4. 选项A：因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交，选项A正确； 选项B：设圆心到直线的距离为，弦长为， 则， 又因为圆心到直线的最长距离， 所以，故选项B正确； 选项C：直线与被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 故，解得， 故直线方程为， 综上满足题意的直线方程为或， 故选项C不正确； 选项D：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个； 当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分， 由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线的距离为2， 那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2. 当圆心到直线的距离为时，此时圆心到直线的距离最大， 又因为半径为4，且， 所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2， 所以不存在 所以选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 16．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线，其一条渐近线被圆截得的弦长为，则 . 【答案】 【分析】根据圆的弦长公式，结合勾股定理以及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】依题意，的渐近线方程为：， 不妨取渐近线，则圆心,到的距离， 由圆的性质得，所以. 故答案为： 17．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【分析】利用弦长公式求得，进而求得三角形的面积. 【详解】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 面积为. 故答案为：. 18．（23-24高二下·河南洛阳·期末）直线l：被圆C：截得的弦长为 ． 【答案】2 【分析】求出圆心及半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线l：的距离为， 所以弦长为. 故答案为：2. 四、解答题 19．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意求出，从而可求出圆的方程； （2）根据已知条件求出圆心C到直线的距离，然后分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）设圆C的半径为，则， 则圆C的方程为：； （2）因为圆C的半径为1， 所以当直线与圆相交所得的弦长为时，圆心C到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线，此时圆心C到直线的距离为，满足题意 当直线的斜率存在时，设直线，即①. 则，解得， 代入①得： 综上，直线的方程为或. 20．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上. (1)求圆的方程； (2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为， 因为直线，半径为的圆与相切， 则，因为，解得，因此，圆的方程为. （2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为， 合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 21．（23-24高二上·山东日照·期末）已知直线：与垂直，且经过点. (1)求的一般式方程； (2)若与圆：相交于两点，求. 【答案】(1) (2)8 【分析】 （1）由直线的方程和垂直关系可得的斜率为，由点斜式方程整理可得结果； （2）求出圆心C到直线的距离为，再由圆的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由直线：，可得斜率， 因为，所以直线的斜率为， 又因为直线过点，所以直线的方程为， 即. （2）由圆C：，可得圆心，半径， 则圆心C到直线：的距离为， 又由圆的弦长公式可得弦长 22．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【详解】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断. 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 5．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 6．（23-24高二上·江苏泰州·期末）设，若圆与圆有公共点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 若圆与圆有公共点， 则，又，所以. 故选：D 7．（23-24高二上·山东日照·期末）若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 8．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系列不等式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为恰有两个公共点,所以两圆相交，所以， 解得或，即的取值范围是. 故选：A 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 二、多选题 10．（23-24高二下·河南·期中）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【分析】根据题意求圆心和半径.对于AB：根据圆与圆的位置关系分析求解；对于C：结合选项A分析判断；对于D：先两圆方程作差求公共弦所在直线的方程，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径； 则， 对于选项A：若圆和圆相交，则， 即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则， 即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，故D正确. 故选：ABD 11．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知两圆：，：，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆关于直线对称 C．圆与圆外切 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】BD 【分析】根据点与圆的位置关系判断A；圆的圆心在上，判断B；圆与圆位置关系判断判断C；根据圆与圆相内切，得到的最大值，判断D. 【详解】圆：，整理得，圆心为，半径为 对于A选项，由于点到圆圆心的距离为，故点在圆外，故A错误； 对于B选项，由于满足，故圆关于直线对称，故B正确； 对于C选项，由于圆：，圆心，半径为3，两圆圆心距为， 所以圆与圆内切，故C错误； 对于D选项，点在圆上，点在圆上，因为圆与圆内切， 所以的最大值为圆的直径6，故D正确， 故选：BD. 12．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（    ） A． B． C．抛物线的准线 D． 【答案】BC 【分析】利用直线与圆的位置关系可判定BC，利用两圆的位置关系可判定AD. 【详解】易知的圆心为原点，半径为1， 对B，原点到的距离，即直线与圆相交，故B正确； 对A，由可知其圆心为，半径为1， 两圆圆心距，即两圆相离，故A错误； 对D，由知其圆心为，半径， 两圆圆心距为，当且仅当时两圆才有交点，除此之外两圆无交点，故D错误. 对C，易知抛物线准线方程为，显然与圆相切，故C正确. 故选：BC 13．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】写出两圆的圆心及半径，利用两点之间坐标公式求出圆心距，利用两圆外离的关系列出不等式，求出整数的值. 【详解】因为方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 因为方程可化为， 由已知，且为正整数， 所以圆的圆心的坐标为，半径为， 所以圆心距， 因为圆和圆外离， 所以， 所以， 故的可能取值有， 故选：CD. 14．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知圆，圆，则（    ） A．若圆与圆相交，则 B．当时，圆与圆有两条公切线 C．当时，两圆的公共弦所在直线的方程为 D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等 【答案】AD 【分析】由圆与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确、B不正确；由两圆的公共弦方程的求法，可判定C不正确；过点引圆和圆的切线分别为，结合，列出方程，求得，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为，且， 对于A中，若圆与圆相交，可得，解得，所以A正确； 对于B中，当时，可得，此时两圆项外切，可得圆与圆有三条公切线，所以B错误； 对于C中，当时，可得圆， 两圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为，所以C错误； 对于D中，当时，两圆相外离，过点引圆和圆的切线分别为， 由，可得，即 ， 整理得， 可得过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 15．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由直线与圆有公共点，得直线和圆的位置关系为相切或相交，利用圆心到直线的距离公式及，建立的不等式求解即可. 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 16．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆与圆相切，则r的值为 . 【答案】6或2 【分析】根据题意结合两圆的位置关系列式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为2； 圆的圆心为，半径为； 由题意可得：或， 且，解得或． 故答案为：6或2. 17．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 18．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆C方程为． (1)求实数m的取值范围； (2)若直线与圆C相切，求实数m的值； (3)若圆C与圆相切，求实数m的值． 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）将化为标准方程，再列不等式求解； （2）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （3）根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果. 【详解】（1）， 可化为， 所以； （2）由（1）知，圆心C(1,2)，半径， 因为圆和直线相切， 所以有， 所以. （3）因为与圆C相切， 所以或， 解得或， 故实数m的值是或. 19．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知圆O：（）与圆C：有两个不同的交点D，E． (1)求r的取值范围； (2)若，求线段DE的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆的标准方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，由可得，利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）由，得， 由，得， 又两圆相交，则，即， 所以； （2）∵，，， 有，则为直角三角形，如图，    又，所以，则， 得， ∴． 20．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)当时，求圆和圆的公共弦长﹔ (2)是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解； （2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性． 【详解】（1）圆：即， 当时，圆：， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为， 圆：的圆心，半径， 圆心到公共弦所在直线的距离， 则两圆的公共弦长为. （2）不存在，理由如下： 圆：可化为， 则圆心，半径， 又圆：的圆心，半径， 假设存在实数a，使得圆和圆内含， 则圆心距， 即，此不等式无解， 故不存在实数a，使得圆和圆内含. 直线与圆中的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式可得，当时，的面积取得最大值，利用等面积求出圆心到直线的距离， 再由点到直线的距离公式求出的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由，可得圆心，半径， 又， 当且仅当时，等号成立， 此时， 由等面积可得点到直线的距离， 又点到直线的距离， 解得，， 因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件. 故选：C. 2．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求得其圆心和半径，求出圆心到直线l的距离，确定当时，取最大值，结合，求出，结合圆的切线性质，即可求得答案. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故，    故当时，最小，此时最大，则也取最大值， 此时，， 故选：C. 3．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，根据四边形面积得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【详解】的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得⊥，⊥，且与全等， 则四边形的面积为， 可得⊥， 四边形的面积为， 故，其中， 故， 要想最小，只需最小， 显然当⊥直线时，最小，最小值为， 此时. 故选：C 4．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    5．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】原点在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径. 【详解】圆，即，圆心坐标，半径为1， 直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1， 原点在圆上，所以原点到直线距离的最大值为. 故选：B 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知实数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】将看作圆上一点与点连线的斜率，利用直线与圆相切即可求解. 【详解】可化为，表示圆心为，半径为的圆， 的几何意义是圆上一点与点连线的斜率，设，则， 当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，由，整理得， 解得或，故的最小值为. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为6 【答案】BCD 【分析】对于A：直接将圆的一般方程化为标准方程来判断；对于B：将转化为点和坐标原点连线的斜率来求解；对于C：，求出点与的距离的最大值然后代入即可；对于D：令，代入圆的方程，消去，然后利用求解. 【详解】对于A：圆的标准方程为，其半径为，A错误； 对于B：，其表示点和坐标原点连线的斜率， 当过的直线与圆相切时，分别取最大和最小， 设过的直线为， 则，解得，故的最小值为，B正确； 对于C：， 其中表示点与的距离， 则的最大值为， 则，C正确； 对于D：令，则，代入圆的方程得 ， 整理得， 得，解得， 即的最大值为6，D正确. 故选：BCD. 8．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，连接，则， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确， 对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形， 此时， 则， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为, 所以 , 因为， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为8，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为112，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 三、填空题 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】首先判断直线与圆的位置关系，由切线性质有，结合点线距离求的最小值即可; 【详解】 由题知，圆心，半径， 圆心到直线的距离. 因为为直角三角形，且， 所以， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 10．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解. 【详解】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 11．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知圆，过点的直线与圆交于两点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据表示，两点到直线的距离之和的倍，结合，两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线距离的2倍，根据题意分析可得中点的轨迹是以为直径的圆，从而求出到直线距离的最小值的倍即可得到答案. 【详解】由题可得：， 所以表示，两点到直线距离之和的倍， 根据题意作出图形如下： 如图，设，的中点为， 且，，在直线的投影分别为，，， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，易得，即， 所以点在以为直径的圆上，其圆心为，半径为， 由图可得： 由于到直线的距离， 所以， 即的最小值为. 故答案为：4 四、解答题 12．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆. (1)求的取值范围； (2)当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到圆心，半径为，得到，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）由方程表示圆，则满足， 即，解得或， 所以的取值范围是. （2）由（1），因为取最小正整数，所以， 所以圆，可得圆心，半径为， 又因为， 所以取最小值时取最小值，而取最小值， 即为圆心到直线的距离，可得， 所以. 13．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：，直线． (1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当时，求k的值； (2)若时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解； （2）将四边形的面积的最小值转化为求的面积最小值，根据求其最小值即可. 【详解】（1）当时，由垂径定理得圆心到直线的距离为， 则， 解得； （2）当时，直线，即 由已知得 又， 所以的最小值为， 又因为四边形的面积的为，所以其最小值为 14．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆. (1)过点作的切线，求的方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的切线，记切点为，当取最小值时，求的大小. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，利用相切即可求解直线方程， （2）根据切线性质，结合勾股定理可将问题转化为当取最小值时，根据垂直即可求解.. 【详解】（1）因为圆的圆心为，半径为， 当的斜率不存在时，满足条件. 当的斜率存在时，不妨设其方程为， 即， 圆心到的距离为，解得， 可得的方程为， 综上所述，的方程为或. . （2）， 当最短时，即时，取得最小值， 此时， ，又， . 15．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线的距离列方程求解； （2）求出圆心到直线距离即可得以为底边时，高的最大值，然后求出，进而可得面积最大值. 【详解】（1）显然当切线的斜率不存在时，此时直线方程为，圆心到该直线的距离为7，不等于半径，则此时不相切， 则切线的斜率存在，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得； （2）圆心到直线的距离， ， ∴三角形面积的最大值为：． 16．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)最大值，最小值. 【分析】（1）法一：利用直线的斜截式方程及两直线平行的条件及点斜式即可求解； 法二：利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解； （2）法一：根据已知条件及圆心在弦的垂直平分线上，进而求出垂直平分线方程，联立方程组求出圆心，利用两点间的距离求出半径，结合圆的标准方程即可求解； 法二：利用待定系数法设出圆的方程，再结合点在圆上即可求解； （3）根据圆的性质及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）法一：由，得， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 法二：依题意可设直线的方程为， 由于直线过点，所以，所以 所以直线的方程为 （2）法一：由题意知，作出图形如图所示，    圆过，所以中点为， 直线垂直平分线记为，由得， 所以直线的方程为即， 又圆心在轴上，即上， 联立，解得， 所以圆心坐标为， 半径 所以圆的标准方程为. 法二：设圆的一般方程为，圆过， 所以，解得， 所以圆的一般方程为， 即. 所以圆的标准方程为. （3）由（2）知，圆心，半径为，作出图形如图所示，    所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为； 点到直线的距离最小值为. 圆中的定点定值问题 一、多选题 1．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 【答案】ABD 【分析】确定当时，最小，即可求得的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点，使得，求出此时，和M到直线l的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点在直线上运动，求出所过定点，判断D. 【详解】由题意知，圆的半径为，且，， 故, 即当最小时，最短，当时，最小， 最小值为，故的最小值为，A正确； 当最短时，，故的斜率为-1， 又，故的斜率为1，设其方程为， 由于此时，，故， 所以M到的距离为. 则有，解得或， 由于，结合图形可知二者之间的距离应小于， 当时，和间的距离为， 时，的方程为和间的距离为， 故最短时，弦所在直线方程为，B正确； 假设存在点，使得，则， 此时为等腰直角三角形，则，结合， 则为等腰直角三角形，而，故， 由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误； 设，由于直线，分别与圆相切， 故直线，的方程分别为， 将代入，即， 可得的方程为， 由于，即，故 即，由于，故令， 即直线过定点为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和圆相切的问题，涉及最值、定点以及切点弦方程问题，综合性较强，难点在于选项D的判断，解答时要注意根据圆的切线方程，推出切点弦方程，进而求解直线过定点问题. 二、解答题 2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【详解】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【点睛】方法点睛：解析几何中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 3．（23-24高二上·甘肃·期末）已知直线：和圆：. (1)判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离； (2)过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)相离； (2) 【分析】（1）利用圆心到直线的距离与半径进行比较可判断直线与圆的位置关系，圆上任意一点到直线的最大距离为圆心到直线的距离与半径的和； （2）由题意可知过，，三点的圆，即为以为直径的圆，设点坐标，表示圆心和半径，得出圆的方程，将其与圆的方程相减，可得公共弦所在直线方程，整理得出定点坐标即可. 【详解】（1）圆:的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线和圆相离； 因为直线和圆相离，如图：    过圆心作直线的垂线，垂足为， 要使圆上任意一点到直线的距离最大，则是线段的延长线与圆的交点， 点到直线的最大距离为； （2）因为点在直线上，可设，      过，，三点的圆即以为直径的圆， 圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 整理得， 所以过，，三点的圆方程为：， 将方程与方程相减得两圆的公共弦方程：，即， 由得， 所以该定点的坐标为. 公共弦问题 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 2．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两圆相交，再将两圆做差可得公共弦所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 3．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到当最小时，最小，求得直线的方程，联立求得点的坐标为，以为圆心，为半径作圆，转化为线段为与的公共弦，结合圆的公共弦的求法，即可求解. 【详解】由的标准方程为，其圆心为，半径为， 因为， 所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 所以直线的方程为，即, 联立，解得，所以点的坐标为, 可得， 在Rt中，，同理， 以为圆心，为半径作圆，则线段为与的公共弦， 的方程为，即， 两圆方程相减得，即直线的方程为. 故选：A. 4．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程. 【详解】由题意圆：和圆：， 将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得. 故选：B. 5．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可. 【详解】由题意所在的直线方程为： ， 即公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 所以． 故选：A． 6．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 二、多选题 7．（23-24高二上·江西九江·期末）由直线：上的一点向圆：引两条切线，，A，是切点，则（    ） A．线段长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．的最大值是 D．当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为 【答案】AD 【分析】对于A：根据题意结合切线长性质分析求解；对于B：根据面积关系结合A中结论分析判断；对于C：根据题意结合倍角公式分析求解；对于D：分析可知点在以为直径的圆上，结合相交弦方程的求法分析运算. 【详解】将化为标准方程：， 可知圆的圆心为，半径为． 对于选项A：因为圆心到直线：的距离， 可知，可得， 所以线段长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为四边形面积， 由选项A可知：四边形面积的最小值为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为，可知点在以为直径的圆上， 当点的坐标为时，则的中点为，且， 即点在圆，即上， 将与作差可得， 所以切点弦所在的直线方程，故D正确． 故选：AD．    8．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知圆和圆，则（    ） A．两圆的公共弦所在的直线方程为 B．圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C．圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D．若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 【答案】AD 【分析】对于A：根据两圆公共弦的求法分析运算；对于B：根据圆心到直线的距离结合圆的性质分析求解；对于CD：根据圆的性质分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 可得，即，可知两圆相交. 对于选项A：两圆的公共弦所在的直线方程为：，即，故A正确； 对于选项B：因为圆心到直线的距离， 且圆半径为2，可知圆与直线相交，而垂直且到距离为， 由知轴与圆相切，故是圆被所截劣弧上唯一到距离为1的点； 过作直线的平行线，则和轴是平面上到距离为1的所有点的集合， 而和圆相交于点和点；如下图示， 所以共3点符合题意，故B错误； 对于选项C：直线与轴交于点，交两圆于S，T， 在中，则，可得，即， 可得弓形TOS的周长为，故所求公共部分周长为，故C错误； 对于选项D：由圆的性质可知：当M，N和两圆圆心共线，且在两圆心的两侧时，最大， 所以最大值为圆心距和两个半径的和，故D正确． 故选：AD． 9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知圆和圆的交点为，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABC 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则A可判断；由两圆中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则B可判断；利用两圆中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，则对C判断；利用点到直线的距离公式求圆心到的距离，加上半径即为最大值，即可对D判断. 【详解】对于，因为圆，两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故A正确； 对于，圆的圆心为，， 则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C正确； 对于为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以到直线距离的最大值为，故D错误， 故选：ABC. 10．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．的最大值为12 D．若，则过点且与圆相切的直线方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，判断两圆的位置关系即可；对于B，两圆方程相减即可；对于C，由验算即可；对于D，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算. 【详解】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为， 圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误； 对于B，两圆、方程相减得， ，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确； 对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确， 对于D，，即点在圆上面， 又，所以过点且与圆相切的直线方程为， 化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．（23-24高二上·福建福州·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再利用点线距离公式与弦长公式即可得解. 【详解】因为圆与圆， 两圆方程相减得， 因为圆的圆心为，半径为， 则到此直线距离为， 所以两圆相交，直线为两圆的公共弦所在直线， 则所求公共弦长为． 故答案为：． 12．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】由可得圆心为，半径为， 由可得圆心为，半径为， 两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为， 有，故两圆相交， 两圆方程作差为， 化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【分析】利用两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用点线矩求出圆心到公共弦的距离，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为： 14．（23-24高二上·天津西青·期末）已知圆：与圆：相交于点A、B.①若，则公共弦所在直线方程为 ；②若弦长，则 . 【答案】 【分析】对于①直接由两圆方程相减得，对于②若弦长，则直线通过圆心 ，两圆的方程相减得直线方程，由此即可代入求解. 【详解】①若，则圆：，圆：， 两个方程相减得， 化简并整理得公共弦所在直线方程为， ②若弦长，即公共弦所在直线通过圆心 ， 而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与相交于A、B两点， (1)求的长； (2)求圆心在直线上，且经过A，B两点的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先两圆方程相减得公共弦方程，结合点到直线的距离公式，弦长公式即可求解. （2）联立两圆方程求出A、B两点坐标，得出中垂线方程，联立直线方程得圆心坐标，由两点之间距离公式得半径，由此即可得解. 【详解】（1）两圆方程相减得即， 圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，由垂径定理得. （2）由得或，不妨设，， 的垂直平分线为，由得圆心坐标为，半径长为， 所以圆的方程为. 16．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，结合勾股定理即可得解. （2）将原问题转换为求以为直径的圆和已知圆的公共弦方程来求解即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，， 因为 故 所以，的长都是. （2）因为，，所以A、B都在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径长为， 所以圆的方程为，即， 由得，故直线的方程为. 17．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 【答案】(1)3 (2)证明见解析，． 【分析】 （1）判定三角形形状再求解面积即可. （2）找到圆心和半径求出圆的标准方程，用圆和圆的位置关系判断相交，两圆相减求出公共弦方程即可. 【详解】（1） 由题意知x轴平分，所以， 设，则，解得，所以， 所以，所以为直角三角形， 因为，，所以． 即的面积为3． （2） 由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为， 所以圆M的方程为，半径． 将圆N的方程化为标准方程，得， 所以圆心，半径． 所以． 又，，所以， 故圆N与圆M相交． 因为，圆M的方程可化为， 两方程作差，得． 所以圆N与圆M的公共弦所在直线的方程为． 共切线问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知圆与圆，则两圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先找出两圆的位置关系，再根据两圆的位置关系求出公切线的数量. 【详解】两圆圆心分别为，半径分别为2和3，而圆心距为5，故两圆外切，所以两圆的公切线共有3条， 故选：C 2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 3．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 4．（23-24高二上·河北保定·期末）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】判断两圆的位置关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为2， 则，所以圆与圆外离， 则它们有4条公切线， 故选：D 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可. 【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切，故，即， 解得. 故选：C. 二、多选题 6．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．的最大值为12 D．若，则过点且与圆相切的直线方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，判断两圆的位置关系即可；对于B，两圆方程相减即可；对于C，由验算即可；对于D，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算. 【详解】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为， 圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误； 对于B，两圆、方程相减得， ，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确； 对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确， 对于D，，即点在圆上面， 又，所以过点且与圆相切的直线方程为， 化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确. 故选：BCD. 7．（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）下列结论中正确的是（    ） A．若直线的方程，则直线的倾斜角为 B．已知曲线（，不全为0），则曲线的周长为 C．若直线与直线垂直，则 D．圆与圆的公切线条数为2 【答案】BD 【分析】对于A，直接由斜率验算倾斜角即可；对于B，根据对称性，先得第一象限内曲线的长度，由此即可验算；对于C，由直线垂直的充要条件即可验算；对于D，先判断两圆的位置关系，由此进一步即可判断. 【详解】对于A，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B，如图所示： 当时，曲线，即， 此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为， 在曲线中，分别用替换，方程依然成立， 这表明了曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 所以曲线的周长为，故B正确； 对于C，若直线与直线垂直，则，解得或，故C错误； 对于D，圆即的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，它们的公切线条数为2，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 直线与圆的应用 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案. 【详解】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 二、解答题 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 3．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【详解】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 4．（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【分析】（1）设圆的一般方程用待定系数法将三个点代入求解. （2）根据题意写出小汽车行驶轨迹的直线方程，求出圆心到直线的距离 与半径做比较并判断直线与圆的位置关系，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$