专题02 直线与方程（4大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题03 直线与方程 直线的倾斜角与斜率 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率和直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 故选：C. 2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可得出答案. 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为， 因为其斜率，又由， 所以. 故选： 3．（23-24高二下·河南驻马店·期末）直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 【答案】B 【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B 4．（23-24高二下·广东江门·期末）在等差数列中，，若直线l过点，，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等差数列公差，再利用公差的几何意义求解即得. 【详解】在等差数列中，，则公差， 所以直线l的斜率为. 故选：C. 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设直线的倾斜角为， 直线可转化为, 故. 又因为, 所以. 故选：C. 6．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得. 【详解】由题知，， 解得. 故选：C 7．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程可知直线过定点，画图连接，直线绕定点旋转，即可求得实数k的取值范围. 【详解】由直线方程可知，直线过定点，则要使直线与线段AB相交，如图所示： 则，因为，所以实数k的取值范围是. 故选：B 9．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】根据两点间斜率公式计算即可. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 10．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 11．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 二、多选题 12．（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解． 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 13．（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【分析】利用点斜式可判断A选项；利用斜率公式以及倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，点，又因为点，则， 此时，直线的方程为，即，A对； 对于B选项，若，则，又因为点，， 设直线的倾斜角为，则，且，则， 即直线的倾斜角为，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 因为点在直线上，则，解得， 若直线不经过原点，设直线的方程为， 因为点在直线上，则，此时，直线的方程为， 因为点在直线上，则，解得. 综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对. 故选：ABD. 14．（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线l的斜率为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为 【答案】AD 【分析】将直线方程化成斜截式，易得其斜率和纵截距，结合其几何意义易于判断A,B,C项，对于D项，只需在直线上任取两点，求得两点间的向量，只要是与其共线的向量都能作为一个方向向量. 【详解】对于A，B项，由，可得：，故其斜率为，倾斜角为，故A项正确，B项错误； 对于C项，由直线知其斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误； 对于D项，取直线上两点，，可得：，即直线的一个方向向量为，故D项正确． 故选：AD. 三、填空题 15．（23-24高二下·上海青浦·期末）直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 16．（23-24高一下·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据直线的斜率求直线的倾斜角大小. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，又，所以． 故答案为： 17．（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为 . 【答案】 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可得解. 【详解】因为直线的斜率为，则倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 直线的平行与垂直 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解. 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定 【答案】A 【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断. 【详解】由点为直线上不同的两点， 则直线与直线的斜率存在时一定为， 可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数， 由已知可得，则，即两直线不可能平行与重合，则只能相交; 若直线与直线的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交； 故选：A. 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用直线垂直的性质列方程求解即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得. 故选：C. 6．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角与斜率及两条直线之间的位置关系可得. 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即， 故选:C． 7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线无交点，利用平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于无解，则表示两直线无交点， 故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意， 故选：C 9．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线，，若，则它们的倾斜角为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 先利用平行求出，再利用斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为，所以且，所以. 两直线的斜率为，所以倾斜角为. 故选：C. 10．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，点斜式得到直线方程，求出答案. 【详解】由题意得直线的斜率为，故直线的方程为， 即，令得， 故在轴上的截距为. 故选：D 11．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的方向向量可得其斜率为，进而得到与直线垂直的直线的斜率为，分别计算各选项的斜率即可判断. 【详解】因为直线的方向向量是，所以直线斜率， 所以与直线垂直的直线的斜率为. 对于选项A:由，可得斜率为，故选项A正确； 对于选项B:由，可得斜率为，故选项B错误； 对于选项C:由，可得斜率为，故选项C错误； 对于选项D:由，可得斜率为，故选项D错误. 故选：A. 二、多选题 12．（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率、截距的定义，以及直线垂直的性质，即可求解． 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 13．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 14．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 【答案】AC 【分析】根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断AB，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可. 【详解】对A，若，则，解得，故A正确； 对B，若，则且，解得，故B错误； 对C，因为，则过定点， 所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确； 对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以， 而，所以，此时直线的斜率为， 所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在， 即，由得， 所以，得到，解得， 当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误. 故选：AC. 15．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【分析】由题意知三条直线中，有两条直线相互平行，讨论平行和平行，求解即可. 【详解】由题意可得，三条直线中，有两条直线相互平行， l1：的斜率为，l2：的斜率为， 所以不平行， 若平行，则，解得：， 若平行，则，解得：， 综上：实数a的值为或. 故选：BD. 三、填空题 16．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 【答案】 【分析】根据两直线垂直列方程，从而求得的值. 【详解】由于，所以， 解得，所以的值为. 故答案为： 17．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解. 【详解】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 18．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线：与直线：垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于两直线垂直， 所以， 解得或. 故答案为：或 19．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与直线互相垂直，则 . 【答案】 【分析】利用直线垂直的定义计算即可. 【详解】由题意知直线的斜率为， 若，则一条直线的斜率为，另一条直线垂直于轴，此时两直线不垂直. 故，所以直线的斜率为，且两直线相互垂直， 故有，解得. 故答案为： 四、解答题 20．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据两直线平行的充要条件计算即可； （2）根据两直线垂直的充要条件计算即可. 【详解】（1）因为直线与直线平行， 所以，解得， 经检验，当时，两直线重合， 所以； （2）因为直线与直线垂直， 所以，解得或. 直线的方程 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，解得，即可得直线在轴上的截距. 【详解】由题意可知，直线方程为， 令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故选：C. 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解. 【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线， 所以，整理得的方程为， 又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为. 故选：B. 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设直线方程为：，将点代入求解. 【详解】解：由题意设直线方程为：， 因为该直线过点， 所以， 解得， 所以直线方程为：， 故选：C 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为，即. 故选：D 6．（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得. 【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为， 故过点且与直线垂直的直线方程为，即：. 故选：C. 二、填空题 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 8．（23-24高一下·上海·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】首先利用直线垂直设直线方程的一般形式，再代入点，即可求解. 【详解】依题意设直线的一般式方程为：， 因为直线过点，所以，得， 所以直线的一般式方程为：． 故答案为：． 9．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【分析】依题意设所求直线方程为，代入点的坐标，求出参数的值，即可得解. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 【答案】 【分析】由已知先求出直线的截距式方程，再化为一般式方程即可得解. 【详解】由题意，直线l的截距式方程为， 化为一般式方程为. 故答案为：. 11．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线倾斜角得到，代入点坐标得到答案. 【详解】直线的倾斜角为，，则，， 直线的倾斜角为，，直线过点， 故直线方程为，即. 故答案为：. 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 【答案】或 【分析】先求出交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况，求出直线方程. 【详解】联立，解得，故交点坐标为， 当在轴的截距与在轴的截距为0时，设直线方程为， 将代入得，解得，故直线的方程为； 当在轴的截距与在轴的截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，解得， 故直线方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 三、解答题 13．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图像可得解； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得， 所以直线过定点； （2） 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 14．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 15．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得. （2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得. 【详解】（1）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率， 又经过点，则方程为：，即：， 所以直线的方程为. （2）依题意，当直线过原点时，而直线又过点， 则直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为， 所以直线的方程为或. 点到直线与平行线间的距离 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【详解】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由，解得，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到． 【详解】由题意可得，，焦点为， 则，解得，又， 则双曲线的渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为． 故选：B． 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】先求出焦点坐标，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】抛物线的焦点为， 则点到直线的距离，解得. 故选：C. 5．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设点为直线上一点，则，所以， 即直线的方程为，所以原点O到l的距离为. 故选：C. 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求解出焦点坐标和渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求出结果. 【详解】由题意可知双曲线，则焦点坐标，渐近线方程为， 不妨取焦点，渐近线， 所以焦点到渐近线的距离为，故B正确. 故选：B. 7．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用点到直线的距离公式表示出原点到直线的距离，然后化简求出函数最大值即可. 【详解】设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得： ， 显然当时，有最大值，此时， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 故选：D. 9．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为. 故选：D 10．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意知：，：，即， 因为两直线平行，所以距离为，故A正确. 故选：A. 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 二、多选题 12．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线平行可得在直线上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：动点分别在直线与上移动， 又线段的中点为，， 在直线上运动， 到直线的距离． 到坐标原点的距离大于等于． 故选：CD． 13．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误. 【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确； 对于B，时，，因为，所以，B正确； 对于C，当时，且，解得， 此时，与之间的距离为，C正确； 对于D，，令，解得， 所以直线过定点，D不正确. 故选：BC. 14．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A．-8 B．-6 C．2 D．4 【答案】BC 【分析】由两条平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】根据题意得直线可化为， 直线之间的距离， 所以，即或. 故选：BC. 15．（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平行线距离公式计算结合倾斜角定义即可求解. 【详解】直线被截得的线段长为， 两平行直线的距离直线和的夹角为， 又直线的倾斜角为，直线的倾斜角可能是或. 故选:AC. 三、填空题 16．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】平行直线及之间的距离. 故答案为： 17．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 18．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 对称问题 一、单选题 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 2．（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 3．（23-24高二上·重庆·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出点P关于直线与y轴的对称点，从而得到结果. 【详解】由题意易得AB所在的直线方程为：， 化简可得：. 设点关于直线的对称点， 则，解得，， 点P关于直线AB对称的点为，点P关于y轴对称的点为． 直线MN即直线，则直线MN的方程为，即． 故选：D 4．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，分析的几何意义，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出关于直线的对称点为，然后将距离和转化成圆外一点到圆上一点距离最值问题求解即可. 【详解】 如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出最小值即可， 圆的圆心为，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以，此时， 所以“将军饮马”的最短路程为． 故选：D． 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】画出草图可知，点M、点N在直线同侧，运用对称性即可求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以．      故选：A. 7．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果. 【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：. 故选：A. 8．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 9．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 10．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 二、多选题 11．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 【答案】ACD 【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C． 【详解】与直线平行的直线方程可设为，代入点坐标得，即，即平行线方程为，A正确； 关于的对称点坐标为，B错； 到直线的距离为，C正确； 与直线垂直的直线方程可设为，代入点坐标得，，直线方程即为，D正确． 故选：ACD． 12．（23-24高二上·广东茂名·期末）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C：相切，在下列方程中，不是反射光线所在直线方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意设，由直线和圆相切的条件列方程即可求解. 【详解】反射光线所在直线经过点A关于轴对称的点，圆C的圆心，半径为1， 显然反射光线斜率存在，设反射光线所在直线方程为， 因为反射光线与圆C相切， 所以，解得，， 代入方程得，， 即反射光线所在直线方程为，. 故选：AD. 三、填空题 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【分析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解. 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如果在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军所经过的最短路程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出点关于直线的对称点M的坐标，然后将距离和的最值问题转化成圆外一点到圆上一点距离的最值问题求解，即可得到本题的答案． 【详解】 如图，设关于直线的对称点为，则解得． 圆的圆心为，半径，所以将军所经过的路程为 ． 故答案为:． 15．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线：的焦点关于直线：的对称点恰在的准线上，则 . 【答案】#或2 【分析】先分与讨论，结合点关于直线对称即可求解. 【详解】依题得，抛物线：的焦点，准线为 当时，直线：，则焦点关于直线的对称点为，不在准线上， 则，，设，则线段的中点为. ∵，关于直线：对称， ∴点在直线上，即，解得①， 又，∴，即②，由①②可得. 故答案为： 四、解答题 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 17．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 18．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先设圆的标准方程，再代入条件，即可求解； （2）首先求圆的圆心关于直线的对称点，即求圆的方程. 【详解】（1）根据题意设圆的方程为，其中. 将两点的坐标代入方程得， 解得. 因此圆的标准方程为； （2）因为圆与圆关于对称，所以两个圆的圆心关于对称，半径相等. 由（1）知圆的圆心为，设圆的圆心坐标为， 则， 解得：，，即 所以圆的方程为. 直线中的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】求出点坐标，且直线过定点，当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大，利用两点间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得，即， 直线：，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，此时点到直线的距离最大， 且最大值为. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：直线过定点，且点在圆内，可知当时，弦长最短，结合垂直关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 直线，可知直线过定点，斜率为， 因为，则点在圆内， 可知当时，弦长最短， 又因为，可知直线的斜率，即， 所以直线l的方程为，即. 故选：C. 3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，令，可得， 因为，可得，则， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为. 故选：B 二、解答题 4．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 5．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可. （2）设出与直线垂直的方程，分别令、求出相对于的值、值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）证明：直线的方程， 可整理为. 由，解得， 所以直线过定点. （2）由（1）知，直线过定点， 设过点且与直线垂直的直线方程为， 令，则. 令，则. 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 直线中的新定义问题 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江·期末）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义及距离公式得出结果. 【详解】方程， 即为方程表示：动点到定点的距离与到定直线的距离的比为且小于1， 所以根据椭圆的定义得出其轨迹为椭圆. 故选：A 二、填空题 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 【答案】 【分析】由题意设，结合距离新定义以及辅助角公式即可得解. 【详解】由题意，不妨设， 则M，N两点的“曼哈顿距离”为， 所以，当且仅当等号成立， 即当且仅当，即， 综上所述，M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】/0.5 【分析】设，得到，分类讨论得到点P的轨迹为正方形，求出面积. 【详解】设，， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 联立，解得，同理可得其他点的坐标， 故点的轨迹所围成图形为正方形， 则 故答案为： 三、解答题 4．（23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求直线和直线平行，并与抛物线相切，然后两直线之间的距离即为所求. （2）把问题转化为点到曲线上点的距离的最小值，再求解. 【详解】（1）如图：    设直线：，代入，得：， 由得. 直线，的距离为：即为所求. （2）如图：    曲线化为， 取曲线上任意一点，先求的最小值. 设，，则且，，，. 所以（当且仅当时取“”）， 所以， 所以所求的距离为：. 【点睛】关键点睛：采用数形结合的方法，把所求的距离进行合理转化是解决问题的关键. ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线与方程 直线的倾斜角与斜率 一、单选题 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南驻马店·期末）直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 4．（23-24高二下·广东江门·期末）在等差数列中，，若直线l过点，，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·重庆·期末）若直线的倾斜角为，则实数值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 10．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 13．（23-24高二上·江苏常州·期末）点、，过、的直线为，下列说法正确的有（    ） A．若，则直线的方程为 B．若，则直线的倾斜角为 C．任意实数，都有 D．存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 14．（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线l的斜率为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l不经过第四象限 D．直线l的一个方向向量为 三、填空题 15．（23-24高二下·上海青浦·期末）直线的倾斜角为 ． 16．（23-24高一下·上海·期末）直线的倾斜角的大小为 ． 17．（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为 . 直线的平行与垂直 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆·期末）直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）点为直线上不同的两点，则直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．不确定 5．（23-24高二上·安徽合肥·期末）如果直线与互相垂直，那么a的值等于（   ） A．－1 B． C． D．2 6．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 9．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知直线，，若，则它们的倾斜角为（    ）． A． B． C． D．或 10．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．2 D． 11．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（23-24高二上·江西九江·期末）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 13．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 14．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则 15．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 三、填空题 16．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线和直线垂直，则实数 . 17．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 18．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线：与直线：垂直，则实数的值为 ． 19．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线与直线互相垂直，则 . 四、解答题 20．（23-24高二上·江西九江·期末）（1）直线与直线平行，求的值； （2）直线与直线垂直，求的值. 直线的方程 一、单选题 1．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 8．（23-24高一下·上海·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 9．（23-24高二下·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 11．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 . 12．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）若直线过直线和的交点，且在轴的截距是轴截距的2倍，则直线的方程是 . 三、解答题 13．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 14．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 15．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线经过点. (1)若向量是直线的一个方向向量，求直线的方程； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 点到直线与平行线间的距离 一、单选题 1．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 5．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．2 C． D． 7．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 8．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 10．（23-24高二上·福建三明·期末）两条平行线，间的距离等于（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 二、多选题 12．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直线，直线，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点 14．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A．-8 B．-6 C．2 D．4 15．（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 17．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 18．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 对称问题 一、单选题 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点M反射后再射到直线上，最后经直线上的点N反射后又回到点P，则直线的方程为（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 7．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京·期中）点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（    ） A．过点A与l平行的直线的方程为 B．点A关于对称的点的坐标为 C．点A到直线l的距离为 D．过点A与l垂直的直线的方程为 12．（23-24高二上·广东茂名·期末）一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C：相切，在下列方程中，不是反射光线所在直线方程的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如果在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军所经过的最短路程为 ． 15．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线：的焦点关于直线：的对称点恰在的准线上，则 . 四、解答题 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 17．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 18．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 直线中的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 5．（23-24高二上·贵州·阶段练习）已知直线的方程为. (1)证明：不论为何值，直线过定点. (2)过（1）中点，且与直线垂直的直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积最小时，求直线的方程. 直线中的新定义问题 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江·期末）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 二、填空题 2．（23-24高二上·江苏南通·期末）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的“曼哈顿距离”为，已知动点N在圆上，定点，则M，N两点的“曼哈顿距离”的最大值为 ． 3．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ． 三、解答题 4．（23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． ( 54 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$