浙江省稽阳联谊学校2025届高三上学期11月联考数学试题

2024年11月稽阳联谊学校高三联考 数学试题卷 命题人：诸暨中学 张焕萍 春晖中学 徐良锋 新昌中学 王金妃 审稿人：诸暨中学 胡皓 考生须知： 1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（ ） A. B. C. D. 2.已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ） A.2 B. C. D. 3.下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5.“直线与圆有公共点”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ） A. B. C. D. 7.已知双曲线：（，），过的直线分别交双曲线左右两支为，，关于原点的对称点为，若，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 8.已知是定义在上且不恒为0的连续函数，若，，则（ ） A. B.为奇函数 C.的周期为2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A.若随机变量，则 B.残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C.若随机变量，则当减小时，保持不变 D.一组数据的极差不小于该组数据的标准差 10.某校南门前有条长80米，宽8米的公路（如图矩形），公路的一侧划有16个长5米宽2.5米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，学校提出一个改造方案，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中，则（ ） A. B. C.该路段改造后的停车位比改造前增加8个 D.该路段改造后的停车位比改造前增加9个 11.如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A.，，，四点不共面 B.该几何体的体积为8 C.过四点，，，四点的外接球表面积为 D.截面四边形的周长的最小值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知为虚数单位，若，则______. 13.已知等比数列的前项和为，若，则______. 14.已知函数，若对任意，，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为60°，母线长为2，是弧上的点，，为的中点. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 16.（本题满分15分）如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，设，满足. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，的面积为，求的周长. 17.（本题满分15分）已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若有两个极值点，求的取值范围. 18.（本题满分17分）已知椭圆：的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆在第一象限上的一点，直线，分别交轴于点，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）在直线上取一点（异于），使得. （ⅰ）证明：，，三点共线； （ⅱ）求与面积之比的取值范围. 19.（本题满分17分）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足 其中每个（，）都是整数，且，. （Ⅰ）求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”； （Ⅱ）若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），其中，求证：； （Ⅲ）对正整数，记（，），表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值. 2024年11月稽阳联谊学校高三联考数学 参考答案 1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C.；答案为：C. 7.A.记与轴的交点为，因为， 所以 得即，则. 8. D.令得，因为为不恒为0， 所以，所以A错误； 令得，得，所以B错误； 令得得周期为4，所以C错误； 令得，∴， 即，令得， 即关于中心对称，∴ 所以，所以D正确. 9.ACD.由于，所以A正确； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以B错误；正态分布的概率分布特点，C正确； 由于，故D正确.答案为：ACD. 10.AD.∵， ∴，构造对偶式， ，平方相加得，得或， 又，所以，， 该路段改造后的停车位比改造前增加9个. 11.BCD.取中点，取靠近的三等分点， ∵，，∴， 所以，，，四点共面，所以A错误； 由对称性知此几何体体积是底面为2的正方形高为4的长方体体积的一半， 所以，所以B正确； 过四点，，，构造正方体，外接球直径即为正方体体对角线， 所以，所以此四点的外接球表面积为，所以C正确； 由条件截面四边形为平行四边形， 所以周长，沿将相邻两四边形摊平， 当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值，所以D正确. 综上，所以选BCD 12.答案：3.，可得，.答案为：3. 13.答案：91.，故，答案为：91. 14.答案： 设，， 由知函数是奇函数 ∵ ∴可化为 ∴ 又 所以在上单调递增， ∴在上恒成立， ∴在上恒成立， 令，，则 所以在上递减，在上递增， 所以，所以. 15.（Ⅰ）取中点，连结 ∵，，，， ∴，，∴为平行四边形. ∴，又面，面，∴面. （Ⅱ）法一：过作于点， ∵，圆台的母线与底面所成的角为60°，母线长为2， ∴，，，.又， ∴，.又，，计算可得 ，，取中点，连结，， 则即为二面角的平面角， 又计算可得，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 法二：建立如图所示的空间直角坐标系 ，， 设平面的法向量为， 则取， 则，，所以 设平面的法向量为， 则取， 则，，所以， 所以 所以平面与平面夹角的余弦值为. （若以，，为，，轴建立坐标系， 则平面的法向量为； 平面的法向量为. 16.解：（Ⅰ）由正弦定理得 ， 又∵，∴，得 （Ⅱ）∵，∴，即 根据余弦定理可得， 即 所以，得的周长 17.（Ⅰ）∵，∴ ∴，又，∴： （Ⅱ）令 令，，则 令得 ①当时，在上单调递增，当时， 当时，，所以存在唯一的零点， 又得，所以且时有两个极值点0， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，又 所以只需，解得 ③当时，，在上单调递增， 所以在上只有一个零点，所以只有一个极值点，故不符合. 综上：的取值范围为. 18.（Ⅰ）设，直线：得， 同理直线：得， 则又所以. （Ⅱ）（ⅰ）直线： 因为在直线上且，得 代入得 因为在椭圆上得代入上式整理得 （1） 因为，所以（1）式一定有一个根1，得 ，即，得，. ，，得，即，，三点共线， （ⅱ）. 法二：（Ⅱ）（ⅰ）因为， 又，， 所以，即， 延长交直线于点，且， 所以，又且在直线上， 所以与重合，所以，，三点共线. （ⅱ）. 19.解析：（Ⅰ）因为，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； ，故“阶乘表示”为； 因为，故“阶乘表示”为； （Ⅱ）因为， 因为，故，所以， 由于，所以， 即 ， 依次化简可得，所以. （Ⅲ）由于， 由于， 故， 所以，即， 累加可得， 即. 当，时取到最小值，此时，解得， 即，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$