北京市化工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年北京工大附中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. D. ， 3. 将抛物线的图象向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（ ） A. 点G B. 点H C. 点M D. 点N 6. 如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 无法确定 7. 在同一坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 10. 不等式的解集为______． 11. 抛物线与x轴的交点坐标为______． 12. 若m、n是一元二次方程的两个根，则____． 13. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则________．（用含的式子表示） 14. 如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为______． 15. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集为______． 16. 如图是二次函数的图象的一部分；图象过点，对称轴为，给出四个结论：①；②；③．其中正确的是______．(填序号) 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 解方程： 四、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： 19. 解方程： 20. 化简： 21. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转90°得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）点的坐标是　 　；点的坐标是　 　； （3）的形状是　 　． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 24. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为 （1）求锅深的长； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若对于，有，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 26. 如图，正方形中，将边绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作交于，连接． （1）依题意补全图1； （2）求的度数； （3）连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 27. 为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． （1）（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； （2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） （3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 2024-2025学年北京工大附中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 【9题答案】 【答案】x＞1． 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】① 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 【17题答案】 【答案】 四、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】， 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】． 【22题答案】 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）， （3）等腰直角三角形 【23题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【24题答案】 【答案】（1） （2）水面的直径为 （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【25题答案】 【答案】（1） （2）或 【26题答案】 【答案】（1） 如图所示： （2）； （3） ， 证明：作交的延长线于点H， 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【27题答案】 【答案】（1） 函数图象如图所示， ； （2）方案一：①；②；方案二：①；②； （3）a的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $