函数应用专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2024-2025学年高三数学一轮复习8---函数应用专项训练 一、单选题 1．函数与的图象的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 3．若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 7．已知函数，则（   ） A．当时，有最小值 B．的图象关于原点对称 C．在上为减函数 D．有且只有两个零点 8．在整个数学当中，一个首要的概念是函数.函数的定义是在数学家的不断研究而得到发展和完善的.德国著名数学家狄利克雷（1803—1859）给出一个数学史上著名的函数实例：，狄利克雷函数具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点（   ） A．函数是偶函数 B．存在常数m使得函数是奇函数 C．函数有无数个零点 D．对任意恒成立 三、填空题 9．定义为a，b的最大值，函数的最小值为c．函数，如果函数有三个零点，则实数k的取值范围为 ． 10．设，则方程的解集为 . 11．已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是 ． 12．已知函数，若方程有3个不相同的解，则实数m的取值范围为 四、解答题 13．眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． (1)求函数的解析式． (2)已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 14．某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，该地卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为55万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大? 15．若函数在区间上的值域恰为，则称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在上恰有两个不相等的根，求的取值范围； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 16．已知二次函数图象过点，，. (1)求函数的解析式； (2)已知函数有两个不同的正数零点. （i）求的取值范围； （ii）若，求的值. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D C C ABD ACD 1．C 【分析】画出图象，数形结合即可得出． 【详解】解：画出图象 ，，， 可得与的图象的交点个数为3． 故选：C． 2．C 【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果. 【详解】由题可得：，两式相除可得，即， 设繁殖天后数量达到200， 则，又，则， ∴，则，即， ∴， ∴， 则要使数量达到200大约需要22天. 故选：C. 3．B 【分析】先利用对数函数与一次函数的单调性判断的单调性，再利用零点存在定理即可得解. 【详解】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又， 故在上有唯一零点，即. 故选：B. 4．D 【分析】求出在指定区间内相位的范围，再利用余弦函数的性质列式计算即得. 【详解】由，得， 由在内恰有两个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 5．C 【分析】求出函数的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 由在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点， 得且或且， 则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6．C 【分析】根据判别式、零点存在性定理、二次函数的性质等知识确定正确答案. 【详解】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：. 故选：C 7．ABD 【分析】A选项，由基本不等式求出最小值；B选项，由函数的奇偶性定义作出判断；C选项，由对勾函数的性质得到C错误；D选项，令，解方程，求出答案. 【详解】A选项，，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，的定义域为， 则，故为奇函数， 图象关于原点对称，B正确； C选项，的定义域为， 由对勾函数性质知，在上为减函数， 而在上不为减函数，C错误； D选项，令得，解得， 故有且只有两个零点，D正确. 故选：ABD 8．ACD 【分析】据函数再结合奇偶性定义和函数零点的定义求解即可. 【详解】解：因为当，则，所以， 当，则，所以， 所以对， ， 所以函数是偶函数，故A正确； 因为， 所以， 所以， 所以不存在常数m使得函数是奇函数，故B错误； 由，即解得，即， 所以函数有无数个零点，故C正确； 当时，，所以； 当时，，所以， 所以对任意恒成立，故D正确. 故选：ACD 9． 【分析】根据题意画出函数图像可得的值，再将函数零点个数转化为两个函数图象的交点个数，根据单调性和图象可得范围. 【详解】 由题意，在同一坐标系下画出，的图象，由图可知， ，所以，则， 由函数有三个零点得方程有三个解， 所以函数和函数图象有三个交点， 如图所示： 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，且， 当时，在上单调递增， 因此当时，函数和函数图象有三个交点， 故答案为：. 10． 【分析】根据绝对值方程的特点，分别求出绝对值内部一次函数的零点，将分成，，和四个部分，分别去掉绝对值，求解方程即得. 【详解】当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，舍去； 当时，方程可化为：，解得，故解集为； 当时，方程可化为：，解得，故解集为. 综上，方程的解集为. 故答案为：. 11． 【分析】画出函数的图象，由题设方程可得或，结合图象可知，时有2个不同的解，可得无解或，进而结合图象求解即可. 【详解】画出函数的图象，如图， 由， 即，即或， 因为关于的方程恰有2个不同的解， 结合图象可知，时有2个不同的解， 所以无解或， 则或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12． 【分析】由题可画出图象，则有3个解等价于图象与直线有3个交点，据此可得答案. 【详解】因，则大致图象如下， 则要使方程，则直线与函数图象交点有3个，则. 故答案为： 13．(1)； (2)一起购买，111元. 【分析】(1)根据表格即可列出各段函数解析式; (2)分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额, 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 综上可得：； （2）当甲、乙两人各自购买时，消费总额为（元）； 当甲、乙两人一起购买时，消费总额为（元）； 故由上可知当甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了6元，此时消费总额是111元. 14．(1) (2)90万件 【分析】（1）根据已知条件求得年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）利用二次函数的性质和基本不等式来求得最值. 【详解】（1）当时， ， 当时，． 故. （2）时，， ∴当时，取得最大值， 当时，， 当且仅当，即时取到等号， 由，得时，取得最大值. 答：年产量为90万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大. 15．(1) (2) (3)和 【分析】（1）根据奇函数的性质，取相反数，利用已知的函数解析式，整理可得答案； （2）整理方程，构造函数，结合二次函数的性质，可得答案； （3）根据题目中的新定义，利用分类讨论，结合函数的单调性，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以. （2）方程即，设， 由题意知，解得. （3）因为在区间上的值域恰为， 其中且，所以，则， 所以或. ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，所以，所以， 则，解得， 所以在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 16．(1). (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）待定系数法可求二次函数解析式. （2）（i）由函数有两个不同的正数零点可得方程有两个不相等正实数根，利用判别式和韦达定理可求的取值范围，（ii）由可求的值. 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 由题意得，，解得， ∴函数解析式为. （2）由（1）知， ∴. （i）∵有两个不同的正数零点， ∴有两个不相等正实数根， ∴，解得， ∴的取值范围是. （ii）由（i）得，， ∴， ∴， ∵，∴. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$