8．2.1 几个函数模型的比较（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（苏教版）

8．2　函数与数学模型 8．2.1　几个函数模型的比较 学　习　目　标 知　识　网　络 1.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异．(数学抽象) 2．会根据函数的增长差异选择函数模型．(数学建模) [问题导学] 1．我们学过哪些函数模型？这些函数模型之间有什么区别？ 2．列举一些你遇到的实际问题，并思考用哪一种函数模型更合适？ [知识梳理] 　知识点　几类不同增长的函数模型及特点 函数模型 性质 y＝kx＋b(k>0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 图象 单调性 递增 增长速度 不变 先慢后快 先快后慢 n>1，越来越快；n＝1，不变；0<n<1，越来越慢 图 变化 随x的增大，图象均匀上升 随x的增大，图象上升的速度逐渐变快，当x很大时，呈“爆炸式”增长 随x的增大，图象上升的速度逐渐变慢 n＝1时，随x的增大，图象均匀上升；n>1时，随x的增大，图象上升的速度逐渐变快；0<n<1时，随x的增大，图象上升的速度逐渐变慢 对于指数函数、对数函数、幂函数模型增长的几点说明： (1)指数函数与对数函数模型的递增前提是a>1，当a越大，y＝ax模型增长越快；当a越小，y＝logax模型增长越快． (2)对于幂函数模型y＝xn，当x>0，n>0时是递增的． 微思考 函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增长情况有何区别？ 提示：从图象(图略)上可观察到y＝2x与y＝x2有两个交点(2,4)，(4,16)，当0<x<2时，x2<2x；当2<x<4时，2x<x2；当x>4时，x2<2x，但是当自变量越来越大时，可以看到，y＝2x的增长速度远远快于y＝x2的增长速度，x2比起2x来，几乎是微不足道的． 题型一　几类函数模型的增长差异 [例1]　(1)下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　) A．y＝50x　　　　　　 B．y＝x50 C．y＝50x D．y＝log50x(x∈N*) (2)函数y＝2x－x2的大致图象为(　　) [解析]　(1)四个函数中，增长速度由慢到快依次是y＝log50x，y＝50x，y＝x50，y＝50x. (2)在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0,2)时，2x＞x2，即此时y＞0；当x∈(2,4)时，2x＜x2，即y＜0； 当x∈(4，＋∞)时，2x＞x2，即y＞0；当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A中的图象符合条件． [答案]　(1)C　(2)A 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax. [跟踪训练] 1．当2<x<4时，比较2x，log2x，x2的大小关系为(　　) A．2x>x2>log2x　　　　 B．x2>2x>log2x C．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x 解析：作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x2的图象，事实上，y＝2x与y＝x2的图象有两个交点，坐标分别为(2,4)，(4,16)，所以两图象位置很明确，当2<x<4时，有x2>2x，同时log2x一定是最小的，所以x2>2x>log2x. 答案：B 题型二　函数模型的增长差异在函数图象 上的体现 [例2]　高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　) [解析]　v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小． [答案]　B 一般来说，函数模型的增长速度与图象关系如下表： 增长速度 越来越快 不变 越来越慢 图象 [跟踪训练] 2．若x∈，则下列结论正确的是(　　) A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x C．x>2x>2x>lg x D．lg x>x 解析：如图所示，结合y＝2x，y＝x>lg x. 时，2x>x及y＝lg x的图象易知，当x∈ 答案：A 题型三　函数模型的应用 [例3]　某厂家为增加某种商品的销售量，决定增加广告投入费用，据市场调查，增加的销售量x(单位：千件)与广告投入费用H(x)(单位：万元)满足下列数据：(其中0≤x≤16) 增加的销量x 0 1 2 4 5 广告投入费用H(x) 0.00