6.2角同步练习提优 2024--2025学年苏科版数学七年级上册

6.2 角 同步练习提优 一、单选题 1．有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知射线，由点引射线，，，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 3．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 4．已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称、、组成的图形为“角分图形”． 如图（1），当平分时，图（1）为角分图形． 如图（2），点O是直线上一点，，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为，小亮认为， 你认为正确的答案为（    ）    A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．如图，直线 AB ，CD  相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE= ．    7．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为 ． 8．如图，点O在直线AB上，射线OC，OD在直线AB的同侧，∠AOD=40°，∠BOC=50°，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，则∠MON的度数为 ． 9．如图，已知，且图中所有角的和等于，则的度数为 ． 10．归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    11．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是 ．    12．如图，在锐角内部，画条射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角照此规律，画条不同射线，可得 个锐角．    13．如图，将一副直角三角板的直角顶点O重合在一起． 若与的比是，平分，则 度．    三、解答题 14．如图，已知，是的平分线，若，求的度数． 15．如图，O为直线上一点，，平分，平分，求的度数． 16．如图，已知，是，平分，平分．求．    17．如图，点在直线上，是的平分线，射线在内． (1)写出图中小于180°的角． (2)若平分，则与有怎样的位置关系？为什么？ (3)若，，求的度数． 18．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 19．已知，在内部作射线，使得． (1)如图，在内部作射线，使得；作射线平分，求的度数； (2)如果过点作射线，使得，则的度数为______．（不需写演推过程） 20．已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，并在内部作射线，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数； (3)试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 21．已知：如图，在的内部，平分，平分． (1)当时，___________； (2)当时，___________； (3)当时，___________； (4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半． 22．已知：． (1)如图1，若． ①写出图中一组相等的角（除直角外）__________， 理由是________________．            ②那么_________． (2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒． ①当t=______秒时，平分； ②试说明：当t为何值时， ？ 23．熟悉又陌生的三角尺．    (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则______；若，则_______； ②猜想与的数量关系并验证． (2)如图2，者是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的数量关系为_______； (3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的数量关系． 24． 【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 (1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”； (2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　（用含n的代数式表示）； (3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 25．简答 (1)已知：如图1，点O为直线上任意一点，射线为任意一条射线．、分别平分和，则 ； (2)已知：如图2，点O为直线上任意一点，射线为任意一条射线，其中，，求的度数；若，，其余条件不变，直接写出的度数； (3)如图3，点O为直线上任意一点，是的平分线，在内，，，求的度数． 26．（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数； （2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； （3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由． 27．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 28．如图1，将两个三角板的两顶点重叠放在直线上，其中点B落在另一个三角板的边上，已知，，，三角板绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角板绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角板旋转满一周后，两个三角板同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图2，当，时，求的度数． (2)当时， ①将图1中的两个三角板绕点A旋转至图3，若平分，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． (3)将图1中三角板沿边翻转后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角板的两条边，第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角板的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 29．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当时，求和的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数； ②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值． 30．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当___________秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为___________； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 角 同步练习提优解析 一、单选题 1．有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 2．已知射线，由点引射线，，，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】如图 若射线OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=72°-36°=36°； 若射线OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=72°+36°=108°. 3．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 4．已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称、、组成的图形为“角分图形”． 如图（1），当平分时，图（1）为角分图形． 如图（2），点O是直线上一点，，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为，当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为，小亮认为， 你认为正确的答案为（    ）    A．小明 B．小亮 C．两人合在一起才正确 D．两人合在一起也不正确 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当平分时， ∴， ∴， 解得：， 当平分时， ∴， ∴， 解得：， 当平分时， ∴， 解得：， 当平分时， ∴， 解得：． 综上：的值为：，，，； 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分，∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴∠ABE=2x-15。 ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误；综上所述，正确的结论为①②③； 二、填空题 6．如图，直线 AB ，CD  相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE= ．    【答案】140° 【详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x， 故4x+5x=180°，解得：x=20°，可得：∠COE=80°，∠EOD=100°， ∵OA平分∠EOC，∴∠COA=∠AOE=40°，∴∠BOE=180°-∠AOE=140°． 7．将三角板的直角顶点O放置在直线上（如图），若，射线平分，则的大小为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， ，平分， ， ， ， 8．如图，点O在直线AB上，射线OC，OD在直线AB的同侧，∠AOD=40°，∠BOC=50°，OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，则∠MON的度数为 ． 【答案】135° 【详解】解：∠AOD=40°, ∠BOC=50°,∠COD=90°, 又 OM，ON分别平分∠BOC和∠AOD，∠NOD+∠MOC =45°， ∠MON=∠NOD+∠MOC+∠COD=135°. 9．如图，已知，且图中所有角的和等于，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设， ， ，，． 10．归纳与猜想： （1）观察上图填空：图中有个 角；图中有 个角；图中有 个角； （2）根据（1）题猜想：在一个角内引条射线可组成 个角．    【答案】 【详解】   如图所示，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 如图所示，射线可以与射线，，，组成个角，射线可以与射线，，组成个角，射线可以与射线，组成个角，射线可以与射线组成个角，所以图中共有个角． 在一个角内引条射线，则共有条射线，可以组成的角的个数．故答案为： ， ， ，． 11．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是 ．    【答案】 【详解】解：∵，，∴ ， ∵，∴ ， 12．如图，在锐角内部，画条射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角；画条不同射线，可得 个锐角照此规律，画条不同射线，可得 个锐角．    【答案】 3 6 10 【详解】解：在锐角内部，画条射线，可得3个锐角；； 画条不同射线，可得6个锐角；； 画条不同射线，可得10个锐角；； 照此规律，画条不同射线，可得个锐角． 故答案为：3，6，10，． 13．如图，将一副直角三角板的直角顶点O重合在一起． 若与的比是，平分，则 度．    【答案】35 【详解】解：由题意得：， ∴，∵与的比是，∴设， ∴，解得：， ∴，∵平分， ∴，∴； 三、解答题 14．如图，已知，是的平分线，若，求的度数． 【答案】【详解】解：，则设，， 是的平分线，，，， 则，． 15．如图，O为直线上一点，，平分，平分，求的度数． 【答案】【详解】解：∵平分，平分， ∴，，∵， ∴，∴， ∴； 16．如图，已知，是，平分，平分．求．    【答案】 【详解】，，， 平分，，同理 ． 17．如图，点在直线上，是的平分线，射线在内． (1)写出图中小于180°的角． (2)若平分，则与有怎样的位置关系？为什么？ (3)若，，求的度数． 【答案】(1)、、、、、、、、(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：图中小于180°的角有、、、、、、、、共9个； （2）解：，理由如下：∵平分，平分， ∴，，∵， ∴， ∴，∴． （3）解：设，∵，∴，∴． ∵平分，∴． ∵， ∴， 解得：，∴． 18．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ， ∵，∴． （2）解：∵，，设， 则，，即，∴， ∴，解得：，∴． 19．已知，在内部作射线，使得． (1)如图，在内部作射线，使得；作射线平分，求的度数； (2)如果过点作射线，使得，则的度数为______．（不需写演推过程） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，，∴． ∵平分，∴，∴． （2）分类讨论：①如图，当在内部时， 设，∵，∴， ∵，∴，解得：，∴． ∵，∴； ②如图，当在外部时，设，则， ∵，∴，解得：， ∴．∴．故答案为：或． 20．已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，并在内部作射线，平分． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数； (3)试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)；理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴，∵平分， ∴，； （2）解：，平分，， ，，， ，； （3）解：．设，，则， ， ， ，即， ． 21．已知：如图，在的内部，平分，平分． (1)当时，___________； (2)当时，___________； (3)当时，___________； (4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半． 【答案】(1)45 (2)40 (3)40 (4) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴， 又∵平分，∴， ∴，故答案为：45； （2）解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴， 又∵平分，∴，， ∴，故答案为：40； （3）解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40； （4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论， 即不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半． 故答案为：． 22．已知：． (1)如图1，若． ①写出图中一组相等的角（除直角外）__________， 理由是________________．            ②那么_________． (2)如图2，与重合，若，将绕点O以5度/秒的速度作逆时针旋转，运动时间为t（）秒． ①当t=______秒时，平分； ②试说明：当t为何值时， ？ 【答案】(1)①，同角的余角相等；②180 (2)①6；②或20 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴（同角的余角相等）．故答案为：，同角的余角相等； ②∵， ∴． 故答案为：180； （2）解：①根据题意，得，即，解得．故答案为：6； ②当在的内部时，∵，∴，解得； 当在的外部时， ∵， ∴， 解得， 综上，t为或20时， 23．熟悉又陌生的三角尺．    (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，． ①若，则______；若，则_______； ②猜想与的数量关系并验证． (2)如图2，者是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的数量关系为_______； (3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①，；②猜想（或与互补），理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）①∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ②猜想得（或与互补）， 理由：∵ ∴ ∴；故答案为： （2）， 理由如下：由于， 故 ； 故答案为： （3）， 理由：∵ ∴ ，即， ∴． 故答案为： 24． 【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 (1)在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　（填“是”或“不是”）射线OB在∠AOB内的一条“友好线”； (2)如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　（用含n的代数式表示）； (3)如图3，射线OB先从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转；10秒后射线OC也从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止．问：当射线OC运动时间为多少秒时，射线OA，OB，OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】(1)是 (2)n (3)或或或或秒 【详解】（1）解：∵OB是∠BOC的平分线，∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．故答案为：是． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n．故答案为：n． （3）设运动时间为x秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．当射线OC与射线OA的延长线重合时，运动停止 如图，当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，当时， 根据题意可得,,则 解得 如图,当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，当时， ,, 解得 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． ③如图，当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， ,, 所以10+x＝，解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． ④如图，当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， ,, 解得 综上所述，当运动时间为或或或秒时，符合题意要求． 25．简答 (1)已知：如图1，点O为直线上任意一点，射线为任意一条射线．、分别平分和，则 ； (2)已知：如图2，点O为直线上任意一点，射线为任意一条射线，其中，，求的度数；若，，其余条件不变，直接写出的度数； (3)如图3，点O为直线上任意一点，是的平分线，在内，，，求的度数． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）解：、分别平分和， ，，， ，． （2），， ， ，， ． （3）解：设，则，，， 是∠的平分线，， ， ， ， ， 解得：，． 26．（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数； （2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； （3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）没有关系，，理由见解析 【详解】（1）∵平分， 平分， ∴，， ∴， ； （2），，， ， ； （3）与的大小无关．理由： ，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ，即． 与的大小无关。 27．【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数） 【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线． (1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）． (2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由． (3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________． 【答案】(1)是 (2)是，理由见解析 (3)，4 【详解】（1）解：是，，， ，，，， ，，是，故答案为：是； （2）解：是，理由如下：是，， ，，，， ，，，是； （3）解：是，，同理，是， ，， ，， ，，又m是正整数，，， 28．如图1，将两个三角板的两顶点重叠放在直线上，其中点B落在另一个三角板的边上，已知，，，三角板绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角板绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角板旋转满一周后，两个三角板同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图2，当，时，求的度数． (2)当时， ①将图1中的两个三角板绕点A旋转至图3，若平分，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． (3)将图1中三角板沿边翻转后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角板的两条边，第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角板的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 【答案】(1)(2)①12；②当，16，28秒时，点C，A，E三点共线 (3)31 【详解】（1）解：由题可知，， 当，时，，， ∵，，∴． （2）解：①由题意知，，则，同理，， ∵平分，∴，即，解得：． ②由①可得，，， （i）如图Ⅰ，，∴； （ii）如图Ⅱ，，∴； （iii）如图Ⅲ，，∴； 综上所述，当，16，28秒时，点C，A，E三点共线． （3）解：由题意可知，，第一次分割 则第二次分割， 解方程，可得，，∴n的值为31． 29．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当时，求和的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数； ②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值． 【答案】(1)， (2)①，；②或或或 【详解】（1）解：∵， ， 当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：， 故， ； （2）①由题意，，， 令，解得． 令，解得， 射线与射线重合之前，射线与射线重合之前， ． 当时，； 当时，， 即； ②由题意知，运动时间为，运动时间为． 当时，，， 此时，，不符合题意； 当时，，， 令， 解得或； 当，， 或， 此时，不符合题意； 当时，停止运动． 如图1，当未过延长线时， ， ， ， 此时，不符合题意． 如图2，当已过延长线时， ， ，． 令， 解得或． 综上，或或或， 30．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当___________秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与数量关系为___________； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． (3)若在三角板开始旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请直接写出在旋转过程中，与的数量关系． 【答案】(1) (2)①，②，理由见详解 (3) 【详解】（1）∵，平分，∴， ∵根据运动特点可知：，∴，解得：（秒）， （2）①，理由如下： ∵，，∴， ∴， ∴； ②，理由如下： ∵，，∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 分类讨论，第一种情况：、同时在直线的异侧，如图， 根据运动的特点：，， ∴，， ∴， ∴； 第二种情况：、同时在直线的右侧，如图， 根据运动的特点：，， ∴，， ∴， ∴； 综上：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$