精品解析：山东省临沂市部分县区（河东区、沂水县等）2024-2025学年高二上学期学科素养水平监测（期中）数学试卷

2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，，若，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的倍数关系，即可求解. 【详解】由可得存在实数使得， 故，因此， 解得，，， 故选：C 2. 过，两点的直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. ， D. 1，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 3. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 4. 已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点P到直线距离的最小值即可. 【详解】由点，得直线，圆的圆心，半径，点C到直线的距离， 因此点P到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值为. 故选：D. 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用，结合空间向量数量积的坐标表示列式即得. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：D 6. 如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线强制性成的角． 【详解】在正方体中，设正方体棱长为2， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ， ， 所以和所成角的余弦值为. 故选：B 7. 已知为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆的性质及斜率坐标公式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 依题意，， 可看作圆上任意一点与定点确定直线的斜率， 当直线与圆相切时，取得最大值或最小值，如图， 当直线切圆于点时，取得最大值，切圆于点时，取得最小值， 直线，， 直线的斜率， 所以的最小值为. 故选：D 8. 已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围. 【详解】椭圆的长半轴长，半焦距， 由椭圆的对称性，不妨令为右焦点，是左焦点，连接，又关于原点对称， 则四边形为平行四边形或为左右顶点，则， 由，则， 故，则， 而，所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，经过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合直线过定点及纯纯平行、垂直求解判断. 【详解】直线和直线， 对于A，直线过定点，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由，，解得或，C正确； 对于D，当时，直线的横截距为，纵截距为1，直线过第一、二、三象限，D正确. 故选：ACD 10. 如图，点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到的轨迹，计算即可；D选项，找到的轨迹，计算即可． 【详解】对于A，底面正方形的面积不变，到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A正确； 对于B，与所成角即与所成，为等边三角形， 当在端点，时，所成角最小，为，当在中点时，所成角最大为，故B正确； 对于C，所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应边的中点，边长为， 设中点为，中点为，此时当与中点重合时，取最小值， 此时，为顶角为的等腰三角形，故，故C正确． 对于D，由于在正方体表面，的轨迹为对角线，，以及以为圆心1为半径的圆弧如图， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：ABC． 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点且，直线与椭圆的另一个交点为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长是短轴长的倍 B. 线段的长度为 C. 椭圆的离心率是 D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量共线定理求得的坐标，代入椭圆方程，可得的关系，可判断A；由的坐标可判断B；由椭圆的离心率公式可判断C；由椭圆的定义可判断D． 【详解】，将代入椭圆方程可得， 由，可设，， 又，故 由可得，， 解得，，即,， 将的坐标代入椭圆方程，可得， 化为，即，故A错误； ，故B正确； 椭圆的离心率，故C错误； 由可得，故， 所以的周长为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 【答案】0 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 13. 由曲线围成的图形的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：当时，曲线 表示的图形为 以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为 ，根据对称性，可知由曲线 围成的图形的面积为 考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力. 点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题. 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”. 已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______. 若“西瓜椭圆”的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则____________. 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据题意，运用离心率的计算公式求解即可；联立直线和椭圆方程，求出A点的横纵坐标，进而得到，结合题意及，化简即可. 【详解】椭圆是"西瓜椭圆"， 离心率， 解得. 设， 联立消去并整理得 ， ，即， ， ，易知， 以线段为直径的圆经过点， ，， ，，又， 代入上式并化简得，解得. 故答案为：9， 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.求 （1）顶点的坐标； （2）直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件的应用求出直线的方程，进一步利用解二元一次方程组求出交点的坐标； （2）利用中点坐标公式求解，即可根据斜率根式以及点斜式的应用求出直线的方程． 【小问1详解】 由于，且的直线方程为，所以， 故， 所以所在的直线方程为，即 由于边上的中线所在的直线的方程为，； 所以，解得； 故点． 【小问2详解】 设点,所以的中点的坐标满足； 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时，； 故，解得； 即点； 所以， 由点斜式可得直线的方程为，即, 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算，即可求解； （2）建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解． 【小问1详解】 根据题意可得四棱锥的体积为： ； 【小问2详解】 如图，以为原点，、、所在直线为轴，建立空间直角坐标系， ， 可令平面的法向量， 又， 设平面的法向量， 则， 取，则， 得， 设平面与平面所的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知圆经过点和，并且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】（1）； （2） 设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线的斜率是定值，该定值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的圆心坐标及半径即可作答. （2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【小问1详解】 线段的中点，直线的斜率， 则线段中垂线方程为，即， 依题意，圆C的圆心在直线上，由，得点， 因此圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. 【小问2详解】 略 18. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. 已知椭圆:. （1）若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由. （2）写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程. 若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】（1）椭圆和相似，且相似比为； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆与的“特征三角形”的边长，再判断并求出相似比. （2）由（1）求出椭圆的方程，设出直线的方程，并与的方程联立，利用韦达定理及判别式求解即得. 【小问1详解】 椭圆与相似. 如图，在同一平面直角坐标系中作出椭圆，， 椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形， 而椭圆的“特征三角形”是腰长为2，底边长为的等腰三角形， 因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为， 所以椭圆和相似，且相似比为. 【小问2详解】 椭圆的“特征三角形”是等腰三角形，其腰长为长半轴长，底边长为焦距， 由椭圆与椭圆相似及（1）得，即，而椭圆的短半轴长为， 则，解得，， 所以椭圆的标准方程为， 设直线的方程为，，线段的中点为， 由消去并整理得， 则，即，，， 由的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 因为，， ，平面，则平面， 又平面， 所以平面平面； （2） （3）存在，的值为或. 【解析】 【分析】（1）由，，可证得平面，由面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）向量法求到平面的距离； （3）证明出，求出平面的法向量，设，则，，设平面的法向量为，根解两平面夹角列出方程，求得或，设，进而根据，求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 平面，，， 取的中点，连接，则，由，得， 所以两两垂直， 以为原点，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 令，得，，则， 到平面的距离. 【小问3详解】 连接，因为平面，平面平面，所以， 不妨设，则，， 设，则， 即，，，故， 同理可得， 则有， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故， 所以 化简得，解得或， 设，则，设， 则，解得，，， 故， 当，，因为， 所以，化简得， 解得，满足要求， 当，，因为， 所以，化简得， 解得，满足要求. 故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级普通高中学科素养水平监测试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 向量，，若，则（ ） A. B. ， C. ， D. ， 2. 过，两点的直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. ， D. 1，2 3. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 4. 已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 5. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的一个焦点为，点，是上关于原点对称的两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和直线，下列说法正确的是（ ） A. 始终过定点 B. 若，则或 C. 若，则或2 D. 当时，经过第三象限 10. 如图，点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点且，直线与椭圆的另一个交点为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长是短轴长的倍 B. 线段的长度为 C. 椭圆的离心率是 D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于______（，不重合）. 13. 由曲线围成的图形的面积为_______________． 14. 定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”. 已知椭圆是“西瓜椭圆”，则______. 若“西瓜椭圆”的左焦点为，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.求 （1）顶点的坐标； （2）直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知圆经过点和，并且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 18. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. 已知椭圆:. （1）若椭圆:，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由. （2）写出与椭圆相似，且短半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程. 若在椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数的取值范围. 19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求到平面的距离； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为；若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $