精品解析：山东省济南市钢城区新兴路学校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期初三数学期中质量检测 一、选择题（共10小题） 1. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简分式的是（） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 4. 小明参加射击比赛，他5次射击的成绩分别为：8，8，7，10，7（单位：环），下列说法错误的是（　　） A. 他5次射击的平均成绩是8 B. 他5次射击成绩的方差是1.2 C. 他5次射击成绩的中位数是7 D. 他5次射击成绩的众数是7，8 5. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据的方差计算公式为，下列关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是7 B. 中位数是 C. 众数是6 D. 方差是1 8. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（　　） A. （4，5） B. （4，4） C. （3，5） D. （3，4） 9. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ） A. 30 B. 35° C. 40° D. 50° 10. 如图，中，，，D、E为BC边上两点，，过A点作，且，连接DF、BF．下列结论：①，②AD平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题） 11. 已知非零实数，满足，则的值等于__________． 12. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_____________． 13. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是_______． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______． 15. 已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2， ②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3， ③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，…… 根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为_____． 三、解答题（共10小题） 16. 计算 （1） （2） 17. 解方程 （1） （2）． 18. 先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数． 19. 九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 93.75 乙 175 175 180，175，170 （1）求、的值； （2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由； （3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出将关于x轴成轴对称的． （2）请画出关于原点O逆时针旋转90°的． （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出最小值是 　 　． 21. 某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22. 【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材15页有“读一读”： 根据多项式的乘法法则，可知． 那么，反过来，也有 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： 于是有：． （1）填空：因式分解； （2）化简：； （3）化简：． 23. 已知与是两个大小不同的等腰直角三角形． （1）如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图②所示，连接，将线段绕D点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由． 24. 已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？写出猜想并加以证明． （3）图3中，若，求的面积为 ． 25. （1）如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，∆ABC 的三个顶点均在格点上．现将∆ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为B′，点 C 的对应点为C′， 连接 BB′，如图所示则∠AB′B＝ ． （2）如图 2，在等边∆ABC 内有一点 P，且 PA＝2，PB＝ ，PC＝1，如果将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度数和 PP′的长； （3）如图3，在中，，，，点O为内一点，连接AO，BO，CO，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期初三数学期中质量检测 一、选择题（共10小题） 1. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式分解成几个整式的积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 【详解】解：A、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、因式分解错误，不符合题意； C、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 2. 下列各式是最简分式的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了整式． 根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简分式，所以A选项不符合题意； B．不是最简分式，所以B选项不符合题意； C．，是最简分式，所以C选项符合题意； D．不是最简分式，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 4. 小明参加射击比赛，他5次射击的成绩分别为：8，8，7，10，7（单位：环），下列说法错误的是（　　） A. 他5次射击的平均成绩是8 B. 他5次射击成绩的方差是1.2 C. 他5次射击成绩的中位数是7 D. 他5次射击成绩的众数是7，8 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：他5次射击的成绩从小到大排列为：7，7，8，8，10， A、他5次射击成绩的平均数，，故本选项正确，不符合题意； B、该组成绩数据的方差，故本选项正确，不符合题意； C、该组成绩的中位数是7.5，故本选项错误，符合题意； D、∵7和8都出现了2次，出现的次数最多， ∴该组成绩的众数是7，8，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义． 5. 如果，那么代数式的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 由可得，根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的加法，再算乘法，然后将分式的计算结果化成最简分式，再将整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 6. 如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由于、关于点对称，则，，化简整理即可． 【详解】解：设由于、关于点对称， 可知：，， 解得：，， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于一点成中心对称的问题；掌握中心对称的点的坐标特征是解题的关键． 7. 一组数据的方差计算公式为，下列关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是7 B. 中位数是 C. 众数是6 D. 方差是1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方差、中位数、众数、平均数，熟练掌握方差、中位数、众数、平均数的定义是解题的关键． 由方差公式可知数据为6、6、9、7，依次计算平均数、中位数、众数和方差即可判断错误选项即可． 【详解】A. 平均数：总和为，平均数，选项A正确； B. 中位数：数据排序后为6、6、7、9，中位数为，选项B正确； C. 众数：6出现次数最多（两次），众数为6，选项C正确； D. 方差：计算各数据与平均数的平方差： ，，，， 总和为，方差，选项D错误； 故选：D． 8. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△A'B'C′，则点P的坐标是（　　） A. （4，5） B. （4，4） C. （3，5） D. （3，4） 【答案】B 【解析】 【分析】对应点的连线段的垂直平分线的交点，即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求，， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 9. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ） A. 30 B. 35° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵C、为对应点，点A为旋转中心， ∴，即为等腰三角形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质． 10. 如图，中，，，D、E为BC边上两点，，过A点作，且，连接DF、BF．下列结论：①，②AD平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据SAS可判断①，②；利用勾股定理求得DF=5，再注出BC的长，根据勾股定理判断③；证即可判定④． 【详解】解： ， ， ， ，故①正确； ， ， ，即 ，AD平分，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 设，则， ， 在中，， ， , , ，， ， ，故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确运用相关性质是解本题的关键． 二、填空题（共5小题） 11. 已知非零实数，满足，则的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据得出，将其代入进行计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， 故答案为：． 12. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_____________． 【答案】m<2且m≠0 【解析】 【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围． 【详解】解：去分母得：m+4x-2=0， 解得：x＝， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴＞0， ∴m<2， ∵2x-1≠0， ∴， ∴m≠0， ∴m的取值范围是m<2且m≠0． 故答案为：m<2且m≠0． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键． 13. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果． 【详解】解：向右平移得到， ，， 四边形的周长， 即四边形的周长的周长， 故答案为：20． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 将绕点逆时针旋转， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 点到的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2， ②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3， ③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，…… 根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为_____． 【答案】x1＝n+3，x2＝n+4 【解析】 【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可． 【详解】根据题意将方程变形得：x﹣3+＝n+n+1， 可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1， 则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4， 故答案为x1＝n+3，x2＝n+4 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 三、解答题（共10小题） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算： （1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程 （1） （2）． 【答案】（1）无解； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程． （1）两边同时乘以把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案； （1）两边同时乘以把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数． 【答案】，当时，式子的值为；当时，式子的值为． 【解析】 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ， ， 又为满足的整数， 或， 当时，原式， 当时，原式， 综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 19. 九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题： 平均数 中位数 众数 方差 甲 175 93.75 乙 175 175 180，175，170 （1）求、的值； （2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由； （3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优． 【答案】（1）a=177.5；b=185； （2）选乙，根据题意，得 方差=37.5，=93.75， ∵＞， ∴选择乙参见； （3）从中位数的角度看：∵甲的中位数是177.5＞乙的中位数是175， ∴甲的成绩略好些； 从方差的角度看：∵＞， ∴乙的成绩更稳定些． 【解析】 【分析】（1）根据折线统计表，梳理出甲，乙成绩的数据，后根据中位数，众数的定义计算即可； （2）先计算出乙的方差，与进行大小比较即可； （3）只要合理即可. 【详解】（1）根据折线统计表，甲的成绩如下： 160,165,165,175,180,185,185,185， 185出现了3次，最多，故数据的众数是185即b=185； 根据题意，得甲的中位数是=177.5，故a=177.5； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握各种统计量的定义并灵活进行计算判断是解题的关键． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出将关于x轴成轴对称的． （2）请画出关于原点O逆时针旋转90°的． （3）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出最小值是 　 　． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）连接交x轴于点P，则点P即为所求，再根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点P即为所求， 的最小值为的长，， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称变换的性质，画旋转图形，勾股定理，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． 21. 某职业学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． （2）购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，再列不等式求解的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【小问1详解】 解：设A型机器人模型单价是元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． 【小问2详解】 设购买A型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ，即， ，随的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 22. 【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材15页有“读一读”： 根据多项式的乘法法则，可知． 那么，反过来，也有 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： 于是有：． （1）填空：因式分解； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）3；2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，分式的混合计算，分式的加法计算： （1）根据题意利用十字相乘法分解因式即可； （2）先把小括号内的两个分式的分子和分母都分解因式，然后化简，再计算分式除法即可得到答案； （3）把每个分式的分母分解因式，然后裂项求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 故答案为：3；2； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 23. 已知与是两个大小不同的等腰直角三角形． （1）如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由； （2）如图②所示，连接，将线段绕D点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明根据全等三角形的性质证明即可． 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：，．证明如下： ∵与是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴，， 延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故，． 【小问2详解】 ，．证明如下： 设和交于N， ∵与是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵线段绕D点顺时针旋转到， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故，． 24. 已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？写出猜想并加以证明． （3）图3中，若，求的面积为 ． 【答案】（1） ， 证明如下：如图2，在的延长线上，截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴； （2） ， 证明如下：如图3，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）7.5 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）根据全等三角形的性质得出，由题意求出的面积即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴的面积为：， 则的面积为7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 25. （1）如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，∆ABC 的三个顶点均在格点上．现将∆ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为B′，点 C 的对应点为C′， 连接 BB′，如图所示则∠AB′B＝ ． （2）如图 2，在等边∆ABC 内有一点 P，且 PA＝2，PB＝ ，PC＝1，如果将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度数和 PP′的长； （3）如图3，在中，，，，点O为内一点，连接AO，BO，CO，且，求的值． 【答案】（1）45°；（2）∠BPC＝150°，PP′＝；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得到△ABB’是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）根据旋转的性质，BP=BP’，∠PBP’=60°，则是等边三角形，则，，由利用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到∠BPC； （3）将△绕点B顺时针旋转至△处，连接，利用直角三角形的性质求出AB，BC，然后利用旋转的性质，得到是等边三角形，然后得到四点共线，然后利用勾股定理求出的长度，即可得到. 【详解】解：如图1所示，连接BB'，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°， ∴AB=AB'，∠B'AB=90°， ∴∠AB'B=45°． 故答案为45°； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， 将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP'，如图2， ∴AP'=CP=1，BP'=BP=，∠PBC=∠P'BA，∠AP'B=∠BPC． ∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴∠ABP'+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPP'是等边三角形， ∴PP'=，∠BP'P=60°． ∵AP'=1，AP=2， ∴， ∴， ∴∠AP'P=90°，则△PP'A是直角三角形， ∴； （3）如图3，将△绕点B顺时针旋转至△处，连接， 在中，，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， 如图所示； ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、O、、四点共线， 在中，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和旋转的性质，证明四点共线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $