专题09 全等三角形的常见模型及构造方法 讲义-2024-2025学年人教版八年级数学上册

专题09 全等三角形的常见模型及构造方法 【人教版】 知识网络构建 模型一•平移模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移 模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 典型例题 1．（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级·重庆江津·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移变换、全等三角形的判定．根据，，利用即可证明． 【详解】证明：由平移的性质得，， ， 在和中， ， ． 3．（23-24八年级·全国·课后作业）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，线段的和差，掌握全等三角形“边角边”的判定条件是解题关键． 4．（23-24八年级·全国·单元测试）将沿直线向右平移个单位得到，若，，且，求． 【答案】 【分析】首先根据平移的性质求得的值，证明可求得的值，然后利用梯形面积即可求解． 【详解】解：∵若，∠，且， ∴， ∵将沿直线向右平移个单位得到， ，， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级·重庆·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点． (1)求证： ； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据∠A=∠FCD，∠AFC=∠CFD，即可证明； （2）在中，利用三边关系求出BD的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解： ， ， 在中，，， ， ， ． 【点睛】本题考查平移变换、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件解决问题，属于中考常考题型． 6．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为6厘米，将△ABC沿直线BC向右平移4.5厘米到△DEF的位置． （1）求∠ADF的度数； （2）求四边形ABFD的周长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据平行的性质可得，，进而可得，根据，即可求得； （2）由平移可得，，根据已知数据分别计算出，即可求得四边形的周长． 【详解】（1）依题意，将△ABC沿直线BC向右平移， ，， △ABC是等边三角形, 是等边三角形, ， ， ， （2）向右平移4.5厘米， ，， △ABC是等边三角形， 是等边三角形， ， ， 四边形ABFD的周长为（厘米）． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形全等的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 7．（2024·湖北恩施·二模）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC． 【答案】证明见解析． 【分析】由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°， 由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB， ∴AD=EC， 在△ACD和△EDC中， ∵， ∴△ACD≌△EDC（SAS）． 【点睛】本题主要考查平移的性质．矩形的性质．全等三角形的判定定理，掌握矩形的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键． 8．（23-24八年级·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的性质，平移的性质，三角形内角和定理． （1）根据，得到，再根据平移的性质得到，即可解答； （2）根据平移的性质及全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由平移，得， ∴； （2）证明：由平移，得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 模型二•翻折(轴对称)模型 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折 (轴对 称)模 型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 模型分析 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等 ； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 典型例题 9．（2024八年级·全国·专题练习）如图1，在中，平分，，试判断和、之间的数量关系． 【操作与发现】小明发现，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决如图 根据小明的发现，写出和、之间的数量关系并证明这个结论. 【答案】；见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结，证明，进而根据等角对等边得出结论，即可求解． 【详解】结论：； 理由：如图，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结． 平分， ， 在和中， ； ， ， ． 10．（23-24八年级·北京朝阳·期中）如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 【答案】(1)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 (2)线段组成的三角形是直角三角形，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，根据折叠性质可得：，证出，，得出点与点F重合，在中，得出，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形； 中，， ， 将沿折叠，得，连接，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴线段组成的三角形是直角三角形． （2）解：线段组成的三角形是直角三角形， 证明：如图， 将沿直线翻折，得到，将沿直线翻折，得到，    根据折叠性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点与点F重合， 如图，则在中，， ∴线段组成的三角形是直角三角形． 11．（23-24八年级·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方形中，点E、F分别在边和上，且，连接、，其相交于点G，将沿翻折得到，延长'交延长线于点H． (1)求证： (2)猜想与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程，见详解 (2) (3)5 【分析】（1）先由正方形的性质得，，再由即可证得； （2）由，得出，，再证，得出，即可得出结果； （3）先求出，再由折叠的性质得，，，，然后证，求出，最后在中，由勾股定理得，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：与的数量关系和位置关系为：，， 证明如下： 由（1）得：， ，， ， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由折叠的性质得： ，，，， ，， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和正方形的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，根据折叠可得，，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，，由此即可求解． 【详解】证明：将沿翻折，点恰好落在上的点处， ∴， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与交于点． (1)若，则的度数为________； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了翻折性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由四边形是长方形，得出，结合折叠性质得出，运用三角形的内角和以及角的等量代换，即可作答． （2）先由四边形是长方形，得出，结合翻折性质得出，．证明，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：∵四边形是长方形， ∴． ∵沿翻折得到， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 14．（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，和是由分别沿着边所在直线翻折形成的，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由折叠的性质得到，则由全等三角形的性质得到，，再由周角的定义求出，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图所示，设交于点M． 和是由分别沿着，边所在直线翻折得到的， ． ， ， 在与中，，（对顶角相等）， ． 15．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）依照题意补全图形； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由可证，可得，可得结论． 【详解】（1）补全图形如图所示： （2），理由如下： 如图，连接，并延长交于点，过点作于，于， ， ， 是的中点， ， 又， ， ，， 将线段沿所在直线翻折， ， 又，， ， ，， 又， ， ， ， ． 16．（23-24八年级·北京大兴·期中）在科技节活动中，小明利用几何图形及其元素的关系，设计了一款风筝（如图1所示），并结合所学知识利用图2进行了讲解和展示，获得了大家的一致好评．下面是他对自己设计理念中两个特点的描述． 特点一：图2是该“风筝”中平面图形的主要部分，它是轴对称图形； 特点二：延长 交于点E，此时恰好是的垂直平分线． 阅读以上材料完成下面问题： (1)根据描述，补全图形； (2)根据上面的特点，小明发现与相等，并写出他的探究过程．请认真阅读，完成下面的证明过程，并在括号中填写依据． 证明： 是的垂直平分线， ______（                        ） 与关于直线______对称， ， ______， ， （                         ）． 【答案】(1)见解析 (2)，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，，，等边对等角 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平线的性质，全等三角形的性质，等边对等角等知识． （1）根据描述，将图形补全即可； （2）根据小明的思路将证明过程写完整即可．选由垂直平分线的性质得，再由对称的性质得，再由全等的性质得，进而得，再由等边对等角即可证出结论． 【详解】（1）解：如图即为补全的图形： （2）证明： 是的垂直平分线， ，（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） 与关于直线对称， ， ， ， （等边对等角）， 故答案为：，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，，，等边对等角． 17．（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，，分别为轴，轴的正半轴上的点，作关于坐标轴的对称线段和．    (1)如图（1），若，，直接写出点，的坐标； (2)如图，是上一点，直线交于点，． ①如图（2），求证：； ②如图（3），平分交于点，交于点，若四边形的面积等于面积的一半，判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)①见解析；②为等边三角形，证明见解析． 【分析】（1）根据关于坐标轴对称的点的特点求解即可； （2）①作交轴于，首先证明出，得到，，然后根据等角对等边得到，进而求解即可； ②连接，，首先根据对称的性质和题意得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后证明出，得到，进而可证明出为等边三角形． 【详解】（1）∵作关于坐标轴的对称线段和，，， ∴，， ∴，； （2）①作交轴于    ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； ②为等边三角形，理由如下： 连接，，    由对称可知 又， ∴， ∴ 又∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ 又平分， ∴ 又为公共边， ∴ ∴ 由对称知， ∴ ∴为等边三角形． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．（23-24八年级·吉林延边·期末）在中，，直线l过点A，且．与关于直线l对称，点B的对称点是点D，与的三边围成的图形记作图形“M”． (1)如图①，若，则的度数为_______； (2)如图②，点P在直线l上，且，过点P作，垂足为点F．求证：； (3)若，将直线l沿着方向向右平移1个单位长度，与、分别交于点F、G．点H在上方的直线l上，且．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，运动时间为，点P关于直线的对称点为点． ①如图③，若点恰好在边上，连接，则线段的长度为______，______s； ②当点落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)55° (2)详见解析 (3)①2，；②或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，轴对称的性质，全等三角形的判定等，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用分类讨论和数学结合的思想求解． （1）根据与关于直线l对称，先求出的度数，即可求解． （2）根据全等三角形与图形对称，证明和即可解出． （3）根据条件判断出为等腰直角三角形，在分情况讨论即可求出结果． 【详解】（1）解：， ， 与关于直线l对称， ． 故答案为． （2）解： ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 与关于直线l对称， ， ． （3）解：①根据题意得，为等腰直角三角形． ， ， ， ， ∵， ∴， 故答案为， ②解：点落在图形“M”的内部，分两种情况讨论 当在内部时， 由①可得：当时， ，点恰好在边， 当时， ， 点恰好在边， 故时，在内部． 当在内部时， 延长，交直线l于点O， 同理可得，， 当P点落在O点时，即当时， ，点恰好在边， 同理，当点恰好在边上时， ∴时，在内部． 综上所述，或时，点落在图形“M”的内部（不包括边界）． 模型三•手拉手模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手 模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到 一组对应角相等 典型例题 19．（23-24八年级·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，． （1）根据证明； （2）根据得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中，， ． （2）解：为等腰直角三角形．证明如下：                        由（1）知，， ， P，Q分别为，的中点， ， ， 在和中， ．               ．             ， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 20．（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1)，详见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等边三角形的性质，结合证明即可； （2）全等三角形的性质，结合三角形的外角，得到，利用平角的定义，即可求出的度数． 【详解】（1）解： 理由：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（23-24八年级·吉林·期末）（1）阅读理解：由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现：若，，，则，请证明他的发现； （2）问题解决：如图②，，，． ①试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明； ②若，线段与线段交于点F，连接，当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，会运用全等三角形解决问题． （1）利用等式的性质得出，再根据证明即可得出结论； （2）①结论：．由，推出，，可得，利用勾股定理即可解决问题； ②由勾股定理可知，再根据，得，，可知，即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①结论：．理由如下： ∵，，， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴． ②∵，， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴． 22．（23-24八年级·湖北随州·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． (2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2）解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：；理由如下： 如图，在的延长线上找一点E，使， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 23．（23-24八年级·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，中，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接．设交于D，分别交于E、F． ①在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（与全等除外）； ②当是等腰三角形时（等腰三角形的两个底角相等），则 ． 【答案】(1) (2)且，理由见解析 (3)①或或，见解析；② 【分析】（1）由证明全等即可； （2）由证明全等，再根据全等三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解； （3）①由旋转的不变性即可证明三组全等；②分类讨论， 由得到，而，则若，则，则，那么可得，解得（舍去）；由，则，即；若，则，即，． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：且， 如图2， ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴，          ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且； （3）①证明：如图3， ∵， ∴, 由旋转得，，， ， ； ， ， ， ，， ， ，，， ． ②解，如图4，连接， 在中 又是等腰直角三角形 若，则 ， ， （舍去）； ， ，即； 若，则，即， 综上所述，当为等腰三角形时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，外角定理，等腰三角形的分类讨论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键． 25．（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【详解】（1）证明： 即 在和中 ， ． （2）与的数量关系是，位置关系是． 理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． （3）解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ． ， ， ， ， 四边形的面积 26．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【答案】【经验分享】：见解析；【能力提升】：见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证； 小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证； 能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】【经验分享】： 小刚解法： ，，， ． ． ． ，． ， ，． 为中点， ． ． ，． ．即． ． 依题知， ． ． 即． 小强解法： ，为中点， ，，． ，， ． ．即． ，， ． ，， ． ． ． ，． ． 依题知， 。 ． 即． 【能力提升】延长到点，使，连接， 依题知，，， ． 为中点， ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ．即． ， ． 垂直平分． ，． ，． ．即． ． 27．（23-24八年级·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)．证明见解析 (2)．证明见解析 【分析】（1）利用旋转的性质即可得到全等三角形，再利用全等三角形的性质进行等量转化进而得出结论； （2）利用旋转的性质得到全等三角形，再利用全等三角形得到边相等，进而得出结论． 【详解】（1）解：．证明如下： 由旋转，可知： ∴点共线 ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ （2）解：．证明如下：    在上取．连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质进行等量转化是解题的关键． 模型四•半角模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 典型例题 28． （23-24八年级·山西朔州·期中）【问题情境】 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】 （2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1）成立，见详解；（2），见详解 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 【详解】解：（1）成立． 证明：如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ； （2）结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， 在和中，， ． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解决此题的关键． 29．（23-24八年级·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 【答案】（1）DF；（2）见解析；问题应用： 【分析】[问题发现]（1）根据“巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得”可知，我们要做辅助线，使得，则可得出答案； （2）结合正方形的性质，证明即可； [问题应用]根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可． 本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：[问题发现]（1）依题意，延长到点，使，连接， 故答案为：； （2）证明：由（1）得， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． [问题应用]依题意，将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴五边形的周长为 故答案为：． 30．（23-24八年级·山东济宁·期中）半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)8 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【详解】（1）证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； （3）解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 31．（23-24八年级·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    【答案】（1）；（2）22；（3）18 【分析】（1）利用旋转的性质，可得，则可得出答案，证明即可； （2）根据旋转的性质得到，推出三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可； （3）证明和，即可求解． 【详解】解：（1）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ∴点在一条直线上， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，   ， ， 三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 五边形的周长； （3）解：在上截取，   ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质，旋转的性质，补角的定义等知识点，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 32．（23-24八年级·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的的关键． 33．（23-24八年级·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 模型四•一线三等角模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三 等角 模型 (1)两个三角形有一条边共线 ； (2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 典型例题 34．（23-24八年级·四川自贡·阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【答案】全等，理由见解析 【分析】首先证明，即可证明，即可解题． 【详解】全等，理由如下： ，， ∴，． ∴； 在和中， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键． 36．（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长． 【答案】7cm 【分析】利用一线三垂直模型证明得到即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键． 37．（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：______+______． （2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明． （3）实际应用：如图③，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标． 【答案】（1）BD；CE；证明见详解；（2）DE=BD+CE；证明见详解；（3）点B的坐标为． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到，，结合图形解答即可； （2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形解答即可； （3）根据，得到，，根据坐标与图形性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， 即：， 故答案为：BD；CE； （2）解：数量关系： ， 证明：在中，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，作轴于E，轴于F， 由（1）可知，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 38．（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 39．（23-24八年级·山西长治·期中）如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2)不成立，，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）①由题意易得，，然后问题可求证；②由①可进行求证； （2）由题意易证，然后问题可求证． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论②不成立，，理由如下： 同理（1）可证， ∴， ∴． 40．（2024八年级·浙江·专题练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】（1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 41．（23-24八年级·河南安阳·期末）（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据，得到，，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】解：（1）．理由：如图1， 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论成立， 理由如下：如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）结论：是等边三角形． 理由：如图3，由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 构造方法一•截长补短法 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和 性质进行解题 典型例题 42．（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 43．（23-24八年级·广东湛江·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明． 【答案】CN=MN+BM，见解析 【分析】采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论. 【详解】解：CN=MN+BM．证明： 如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°． 又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°， ∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°． ∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°． 在△MBD和△ECD中， ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴MD=ED，∠MDB=∠EDC． 又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°． ∴∠MDN=∠EDN． 在△MND与△END中， ∴△MND≌△END（SAS）． ∴MN=NE． ∴CN=NE+CE=MN+BM． 【点睛】本题考查了等边及等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质，并采用了截长补短法，灵活利用已知条件证明三角形全等是解题的关键. 44．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 【答案】(1)点坐标，点坐标 (2) (3) 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值即可； （2）过点作轴，交延长线于，先证明，进而可得，，再证明即可得，即可得出结论； （3）作出如图所示的辅助线，证明为等腰直角三角形，利用证明， ，证明，得到，求出n的值，然后得出点G的坐标． 【详解】（1）【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：，； 点坐标，点坐标 （2）结论： 理由如下： 过点作轴，交延长线于， ∴，， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∵点的坐标，点的坐标 ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ （3）过点G作y轴的平行线，分别过H，B作于E，于F，交x轴于Q，交y轴于K，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，即：， ∴ ∵， ∴轴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， 解得，即点G的坐标为， 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，利用全等三角形的性质解决问题． 45．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 46．（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论； （2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可； （3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形外角的平分线为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长至点，使得，连接， 由正方形基本性质得：，， ∴， ∴，， 由（1）知，，且， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键． 47．（23-24八年级·山西朔州·期末）（1）问题背景：如图①，在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； （2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）问题背景：，理由见详解；（2）探索延伸：成立，理由见详解；（3）实际应用：两舰艇之间的距离为海里 【分析】（1）问题背景：，，，可证，由，，为公共边，可证，由此即可求解； （2）探索延伸：根据“问题背景”的提示，延长到点，使，由此即可求解； （3）实际应用：如图所示（见详解），延长，使得，连接，证明，，可知，由此即可求解． 【详解】解：（1）问题背景：根据题意，在，中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴在，中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）探索延伸：如图所示，延长到点，使， ∵，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在，中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴成立； （3）实际应用：如图所示，延长，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，舰艇乙沿北偏东的方向行驶， ∴，，， ∴在，中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在，中， ， ∴， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时， ∴，， ∴（海里）， ∴两舰艇之间的距离为海里． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质及实际应用，掌握作辅助线求证三角形全等，再根据三角形全等的性质是解题的关键． 48．（23-24八年级·全国·课后作业）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，证明见解析； (3)作图见解析，． 【分析】（1）延长到E，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到E，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． 【详解】（1）．证明如下： 如图，延长到E，使，连接． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ； （2）．证明如下： 如图，延长到E，使，连接． ， ． ， ，． 在和中， ， ， ，． ，，， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ； （3）补充完成题图，如图所示． ．证明如下： 如上图，在上截取，连接． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 49．（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 【详解】（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 构造方法二•倍长中线法 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 倍长中 线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD 典型例题 50．（23-24八年级·天津和平·期中）已知，如图：中，，是的中线：求证：．    【答案】见解析 【分析】利用中线加倍证，可得，，由，可得进而可证，再证即可． 【详解】证明：延长到F，使，连接，    ∵E是中点， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键． 51．（23-24八年级·山东泰安·期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 【答案】见解析 【分析】延长AD到E，使FD＝AD，连接BF，易证△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代换即可． 【详解】证明：延长AD到E，使FD＝AD，连接BF 在△ADC和△FDB中， ∴（SAS） ∴BF＝AC，∠F＝∠CAD． ∵BE＝AC， ∴BF＝BE ∴∠BED＝∠F， ∴∠BED＝∠CAD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 52．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论． 【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示 ∵点是的中点， ∴DE=CE， ∵ ∴∠1=∠M 在△ADE和△MCE中 ∴△ADE≌△MCE ∴AD=MC，AE=ME ∵ ∴MC＋BC=AB ∴BM=AB 在△BAE和△BME中 ∴△BAE≌△BME ∴∠BEA=∠BEM ∵∠BEA＋∠BEM=180° ∴∠BEA=∠BEM=90° ∴ 【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键． 53．（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，在中，交于点，点是中点，EF∥AD交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线. 【答案】见解析 【分析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠H=∠BGE，进一步证明，最后由平行线的性质即可证得∠CAD=∠BAD，即可解题． 【详解】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH， ∵E是BC中点， ∴BE=CE， 在△BEG和△CEH中， ， ∴△BEG≌△CEH（SAS）， ∴∠BGE=∠H，BG=CH ∵BG=CF ∴CH=CF ∴ ∴ ∵EF∥AD， ∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠BGE， ∴∠CAD=∠BAD， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，本题中求证△BEG≌△CEH是解题的关键． 54．（23-24八年级·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】解：如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 55． （23-24八年级·山东日照·期末）(1)方法呈现： 如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； (2)探究应用： 如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； (3)问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查三角形中线的运用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，掌握倍长中线的解题技巧，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意给出的倍长中线的方法，证明，再根据三角形三边的数量关系即可求解； （2）延长至点，使，连接，根据（1）中的方法可证，可得是的垂直平分线，再根据三角形三边关系即可求解； （3）延长，交于点，可证，可得，根据角平分线的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是边上的中线，延长到点使，再连接， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：延长至点，使，连接，如图②所示， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴． （3）解：如图③，延长，交于点， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 56．（23-24八年级·湖北黄石·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 【答案】（1）（2）C（3）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，由三角形三边关系得到，即可求出； （3）延长到点M，使，连接，证明，得到，由得到 ，进而推出，即可证明． 【详解】解：（1）如图2，延长到点E，使，连接． ∵为的中线， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：C； （3）证明：延长到点M，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 57．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析 【分析】（1）由AD是△ABC的中线推出CD＝BD，再用SAS证明即可； （2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三边关系将已求代入解不等式即可； （3）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．用SAS证明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，从而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三边关系BE+BG＞EG得证． 【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS） ②1＜x＜4， 理由如下： ∵△ABD≌△ECD，AB＝5， ∴AB＝EC=5， ∵ED=AD，AD＝x， ∴AE=2x． 由△ACE三边关系得：， 又∵AC＝3， ∴， 解得：1＜x＜4． 故答案是：1＜x＜4． （2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG． ∵D是BC边上的中点， ∴CD＝DB． 在△CDF与△BDG中， ， ∴△CDF≌△BDG（SAS）． ∴CF＝BG， ∵DE⊥DF， ∴．   在△EDF与△EDG中， ， ∴△EDF≌△EDG． ∴EF＝EG． 在△BEG中，BE+BG＞EG， 即BE+CF＞EF． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键． 实战演练 1．（23-24八年级·北京海淀·阶段练习）在图中，，，．有下列结论： ①沿直线翻折，可得到； ②把沿线段的垂直平分线翻折，可得到； ③把沿射线方向平移与相等的长度，可得到． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和平移和翻折变换，由已知可得，进而根据对称或平移确定结论是否正确． 【详解】解：∵， ∴， 在和中 ， ∴， 同理可证， ∴ 把沿直线翻折，可得到，故①正确； 把沿线段的垂直平分线翻折，可得到，故②正确； 把沿射线方向平移与相等的长度，不能得到．故③错误， 综上所述：正确的结论是①②． 故选A． 2．（23-24八年级·重庆江津·阶段练习）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片的边上取一点，将沿翻折，使点落在点处，边交于点，第二步：将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上．根据以上的操作，若，则线段的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 根据折叠以及矩形的性质用证明出即可． 【详解】解：四边形是长方形， ，， 由折叠的性质可得：，，，， ∴在和中， ， ， 故选：D． 3．（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移个单位长度，与轴、轴分别交于点、，若，则 ．    【答案】2 【分析】通过证明得出，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵直线由直线平移所得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握对应点连线的长度等于平移的距离． 4．（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟记折叠的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，根据折叠的性质求出，根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折后，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（23-24八年级·河南洛阳·期中）综合与实践 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究． (1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为： ； (2)拓展应用： 如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ； (3)迁移探究： ①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；② 【分析】（1）由全等得到边长关系即可． （2）分别按照（1）中情形过A、B做出轴垂线，得到三角形全等后根据边长关系得到点A坐标． （3）①将（1）中互余的角度变成计算关系，仍可得角度相等，从而得到全等的三角形，进而得到边长关系． ②根据①可证全等，然后根据全等三角形的性质得到边长关系． 【详解】（1）由等腰直角得，， 又 ， 又， ， （2） 过A、B作出轴垂线，，由（1）可得，， 又 得，，， ， （3）① 又， ， ② 与①中同理可得 分别取，中点，连接． ， , 又 又 在与中 ， 【点睛】本题考查一线三等角模型，注重模仿推理能力，结合一个示范作迁移应用，需要大胆参考示范进行相同位置图像的关系论证．对知识点的充分理解和迁移是解题的关键． 6．（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)为等腰直角三角形，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得； （）先通过证明，得 ，，再由()同理可证； （）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵∠， ∴， 故答案为：，； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可知：， 又∴，， ∴， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：由三角形三边关系可知：，即， ∴的最大值为， 由()知，是等腰直角三角形， ， ∴时，最大，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键． 7．（23-24八年级·广西南宁·期中）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得， ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 8．（23-24八年级·山东泰安·期末）【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是利用倍长中线模型构造全等三角形证明线段关系． （1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， 根据一线三垂直模型证明，可得，，进而证明，即可得到，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接，可得，可得，，再证明，进而证明，从而可得，由，可得，即可证明结论； （3）由可得，，再结合，可得，由此得出结论． 【详解】（1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：； ∴， 又∵，， ∴， ∴，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）得：， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 全等三角形的常见模型及构造方法 【人教版】 知识网络构建 模型一•平移模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 平移 模型 沿同一直线平移的两个三角形重合 ①加(减)共线部分，得到一组对应边相等； ②利用平行线性质找对应角相等 典型例题 1．（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·重庆江津·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 3．（23-24八年级·全国·课后作业）（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    4．（23-24八年级·全国·单元测试）将沿直线向右平移个单位得到，若，，且，求． 5．（23-24八年级·重庆·期中）如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点． (1)求证： ； (2)若，，求的取值范围． 6．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，△ABC是等边三角形，边长为6厘米，将△ABC沿直线BC向右平移4.5厘米到△DEF的位置． （1）求∠ADF的度数； （2）求四边形ABFD的周长． 7．（2024·湖北恩施·二模）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC． 8．（23-24八年级·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F． (1)若，求的大小； (2)求证：． 模型二•翻折(轴对称)模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 翻折 (轴对 称)模 型 两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合 ①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等 ； ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等 典型例题 9．（2024八年级·全国·专题练习）如图1，在中，平分，，试判断和、之间的数量关系． 【操作与发现】小明发现，将沿翻折，使点落在边上的处，展开后连结，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决如图 根据小明的发现，写出和、之间的数量关系并证明这个结论. 10．（23-24八年级·北京朝阳·期中）如图，在中，．    (1)如图1，点在边上，，判断线段组成的三角形的形状： 小明同学的探究思路是，利用轴对称的知识，把分散的条件进行转移，进而解决问题．他将沿直线翻折，得到，连接，利用三角形全等把线段进行转移，如图2所示，从而解决了问题．直接写出线段组成的三角形的形状； (2)如图3，点在直线上，，判断线段组成的三角形的形状，并证明． 11．（23-24八年级·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在正方形中，点E、F分别在边和上，且，连接、，其相交于点G，将沿翻折得到，延长'交延长线于点H． (1)求证： (2)猜想与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； (3)若，，求的长． 12．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，，，为的中点．将沿翻折，点恰好落在上的点处．求的长． 13．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与交于点． (1)若，则的度数为________； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 14．（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，和是由分别沿着边所在直线翻折形成的，若，求的度数． 15．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 16．（23-24八年级·北京大兴·期中）在科技节活动中，小明利用几何图形及其元素的关系，设计了一款风筝（如图1所示），并结合所学知识利用图2进行了讲解和展示，获得了大家的一致好评．下面是他对自己设计理念中两个特点的描述． 特点一：图2是该“风筝”中平面图形的主要部分，它是轴对称图形； 特点二：延长 交于点E，此时恰好是的垂直平分线． 阅读以上材料完成下面问题： (1)根据描述，补全图形； (2)根据上面的特点，小明发现与相等，并写出他的探究过程．请认真阅读，完成下面的证明过程，并在括号中填写依据． 证明： 是的垂直平分线， ______（                        ） 与关于直线______对称， ， ______， ， （                         ）． 17．（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，，分别为轴，轴的正半轴上的点，作关于坐标轴的对称线段和．    (1)如图（1），若，，直接写出点，的坐标； (2)如图，是上一点，直线交于点，． ①如图（2），求证：； ②如图（3），平分交于点，交于点，若四边形的面积等于面积的一半，判断的形状，并证明你的结论． 18．（23-24八年级·吉林延边·期末）在中，，直线l过点A，且．与关于直线l对称，点B的对称点是点D，与的三边围成的图形记作图形“M”． (1)如图①，若，则的度数为_______； (2)如图②，点P在直线l上，且，过点P作，垂足为点F．求证：； (3)若，将直线l沿着方向向右平移1个单位长度，与、分别交于点F、G．点H在上方的直线l上，且．动点P从点H出发以每秒2个单位长度的速度沿射线向下匀速运动，运动时间为，点P关于直线的对称点为点． ①如图③，若点恰好在边上，连接，则线段的长度为______，______s； ②当点落在图形“M”的内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围． 模型三•手拉手模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 手拉手 模型 两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形 加(减)共顶点的角的共角部分，得到 一组对应角相等 典型例题 19．（23-24八年级·山东烟台·期末）“手拉手”模型是几何世界中常见的模型之一，两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形组成的图形就是典型的“手拉手”模型，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． 如图，，    (1)求证：； (2)如图②，当时，取的中点P，的中点Q，判断的形状并给出证明． 20．（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）阅读学习“手拉手”模型：如图1， 条件：（1）和都是等腰三角形； （2）（顶角相等） 结论：． 解题思路：左手拉左手（B连D），右手拉右手（C连E），易证：，利用边角边证得． 解决问题：如图2，和都是等边三角形．B，C，D三点共线，与相交于点O，与交于点F，与交于点G． (1)找出图中的一对全等三角形，并说明理由． (2)求的度数． 21．（23-24八年级·吉林·期末）（1）阅读理解：由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现：若，，，则，请证明他的发现； （2）问题解决：如图②，，，． ①试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明； ②若，线段与线段交于点F，连接，当时，求线段的长． 22．（23-24八年级·湖北随州·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． (2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 23．（23-24八年级·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 24．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，中，，将绕点C逆时针旋转角得到，连接．设交于D，分别交于E、F． ①在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（与全等除外）； ②当是等腰三角形时（等腰三角形的两个底角相等），则 ． 25．（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 26．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 27．（23-24八年级·广西南宁·期中）【探索发现】如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接 (1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程． (2)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程． 模型四•半角模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 半角模型 有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍分关系 转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形 延长一边，构造全等三角形，从而得到线段之间的数量关系 典型例题 28． （23-24八年级·山西朔州·期中）【问题情境】 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】 （2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 29．（23-24八年级·全国·期中）【问题发现】如图1，正方形（四边相等，四个内角均为）中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．大致思路：巧妙地通过辅助线在边向外构造，使得，进而证出度数，最后证明，即可得出结论．请补充辅助线的作法，并写出完整证明过程． （1）延长到点G，使 ，连接． （2）求证：． 【问题应用】如图2，在四边形中，，以A为顶点的分别交于E、F，且，求五边形的周长 30．（23-24八年级·山东济宁·期中）半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 31．（23-24八年级·河南南阳·期末）【问题背景】 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    32．（23-24八年级·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    33．（23-24八年级·陕西西安·期末）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 模型四•一线三等角模型 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 一线三 等角 模型 (1)两个三角形有一条边共线 ； (2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用AAS 或ASA证明三角形全等 典型例题 34．（23-24八年级·四川自贡·阶段练习）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．    (1)如图1 ，当时，猜想线段之间的数量关系是？ (2)如图2 ，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 35．（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    36．（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长． 37．（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：______+______． （2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明． （3）实际应用：如图③，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标． 38．（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 39．（23-24八年级·山西长治·期中）如图1，在中，，,直线经过边．将绕点C顺时针旋转一定的角度，过点A作于点D，过点B作于点E．    (1)当绕点C旋转到图2的位置时，①求证：；②求证：； (2)当绕点C旋转到图3的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 40．（2024八年级·浙江·专题练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 41．（23-24八年级·河南安阳·期末）（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 构造方法一•截长补短法 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 截长补短法 截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知线段 截长法： 补短法： 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和 性质进行解题 典型例题 42．（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 43．（23-24八年级·广东湛江·开学考试）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明． 44．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）平面直角坐标系中，已知，，且满足． (1)请直接写出两点的坐标； (2)如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论； (3)如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标． 45．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 46．（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 47．（23-24八年级·山西朔州·期末）（1）问题背景：如图①，在四边形中，，，．E、F分别是、上的点且．探究图中线段、、之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； （2）探索延伸：如图②，若在四边形中，，．分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进小时后，甲、乙两舰艇分别到达处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 48．（23-24八年级·全国·课后作业）把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 49．（23-24八年级·广西钦州·阶段练习）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 构造方法二•倍长中线法 模型分析 全等模型 模型解读 常见模型 解题思路 倍长中 线法 给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形，达到解题目的 通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD,△ABD≌△ECD 典型例题 50．（23-24八年级·天津和平·期中）已知，如图：中，，是的中线：求证：．    51．（23-24八年级·山东泰安·期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 52．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：． 53．（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，在中，交于点，点是中点，EF∥AD交的延长线于点，交于点，若，求证：为的平分线. 54．（23-24八年级·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 55． （23-24八年级·山东日照·期末）(1)方法呈现： 如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； (2)探究应用： 如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； (3)问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明． 56．（23-24八年级·湖北黄石·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）如图2，由已知和作图能得到的理由是 　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）如图2，长的取值范围是　 　． A． B．  C．  D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：． 57．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE． ①证明△ABD≌△ECD； ②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 实战演练 1．（23-24八年级·北京海淀·阶段练习）在图中，，，．有下列结论： ①沿直线翻折，可得到； ②把沿线段的垂直平分线翻折，可得到； ③把沿射线方向平移与相等的长度，可得到． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24八年级·重庆江津·阶段练习）在以“长方形的折叠”为主题的数学活动课上，某同学进行了如下操作：第一步：在长方形纸片的边上取一点，将沿翻折，使点落在点处，边交于点，第二步：将沿翻折，点的对应点恰好落在线段上．根据以上的操作，若，则线段的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移个单位长度，与轴、轴分别交于点、，若，则 ．    4．（23-24八年级·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 5．（23-24八年级·河南洛阳·期中）综合与实践 数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究． (1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段、、的数量关系为： ； (2)拓展应用： 如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ； (3)迁移探究： ①如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段、、的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由； ②如图丁，中，，，点D、E在直线上，且，请直接写出线段、、的数量关系． 6．（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 7．（23-24八年级·广西南宁·期中）如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、． (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 8．（23-24八年级·山东泰安·期末）【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$