精品解析：广西柳州高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度上学期2023级（高二） 期中考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 命题人：斯鲁明 审题人：尹樱桦 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数不等式以及一元二次不等式求集合，进而可求交集. 【详解】由可得，解得，可得； 由，解得或，可得或； 所以 故选：D. 2. 已知为虚数单位，的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：C 3. 已知函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为，且， 则或，解得. 故选：C 4. 已知数列对于任意，都有若则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即得. 【详解】由数列对于任意，都有， 取，则， 取，则，则. 故选：C 5. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出, 用公式求出与夹角余弦值，确定夹角大小. 【详解】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 6. 已知为等差数列的前n项和，若，则=（ ） A. 39 B. 52 C. 65 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列的基本量运算得出通项，再应用等差数列前n项和公式计算求和即可. 【详解】设公差为d，∵， ∴由等差数列的通项公式得， 整理得，解得. ∴由等差数列前n项和公式得. 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，点为圆上一动点，点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过定点以及圆上点到直线距离的最值计算可得结果. 【详解】易知的圆心为，半径为； 且直线过定点， 当圆心与定点的连线与直线垂直时，圆心到直线距离最大为， 因此可知圆上的点到直线距离的最大值为. 故选：B 8. 点为椭圆的左、右焦点，过准线与轴的交点作直线交椭圆于两点.若四边形为梯形，且对角线满足则离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的定义，结合三角形相似成比例，列出等式求解即可. 【详解】 由椭圆定义可得：，, 又，联立可得：， 又四边形为梯形，可知， 所以, 所以，解得：， 所以， 所以， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的值域是 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简，，A选项利用奇函数若，则，验证；B选项令，求出对称中心的坐标；C选项通过令，求出的增区间，再判断是否正确；D选项通过，确定的值域. 【详解】. 对于A，周期为，，因此不是奇函数，故A错误； 对于B，令，，解得：, 当时，，所以关于对称， 则关于对称，故B错误； 对于C，令，，解得:， 所以增区间为，, 当时，则，故C正确； D选项：，则，则，故D正确. 故选：CD. 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，对于A，，计算即可；对于B，由已知计算数列公差，再求值即可； 对于C，结合数列单调性比大小；对于D，由，，得. 【详解】等差数列中，，设公差为， 若，则，A正确； 若，，则，得， ，B正确； 若，，所以公差， 当时，有，则有， 当时，有，得， 所以，则有，C错误； 若，则， 因为，所以，D正确． 故选：ABD． 11. 对于，表示不超过的最大整数，如，记，从而有，以下是真命题的有（ ） A. B. ，若，则 C. 不等式的解集为 D. 设，则对有 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用定义计算可得，即A错误；由易知之间的差值小于1，可得B正确；解不等式可得或；再结合定义可知C正确，依据定义可证明D正确. 【详解】根据可得，因此，可得A错误； 由表示不超过的最大整数可得当，则， 因此可得，即B正确； 易知不等式可分解为，解得或； 结合的定义可得，即C正确； 由可得，则， 即，两边同时并取整可得 ，由于，可得，； 所以， 即，即D正确 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数的定义，得出与至少相差，可得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等比数列的定义与性质求解. 【详解】由等比数列性质知，联立，解得或， 因为是单调递增的等比数列，所以，即． 故答案为：2 13. 椭圆的上下顶点记为，，在轴上取一点，记直线交椭圆的另外一点为点，若直线，的斜率，，有则离心率的值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，则直线为，联立直线与椭圆方程，求出点坐标，即可表示出，，由，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】设，又，，则直线为， 由，消去整理得， 解得，则， 所以，， 因为，即，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为： 14. 为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为______，数据的极差为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先得到平均数为，然后使用方差的定义推出数据的值，即可得到答案. 【详解】对，，有. 且当时，有，所以的平均数为. 由于这个数据的方差为，故. 由于这个数据两两不同，所以只可能有. 从而，这就得到最大数据为，极差为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用方差的定义以及数据互不相等作为关键条件推出数据. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示. （1）估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数） （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可求得年龄在对应的频率；根据百分位数的估计方法直接求解即可得到结果； （2）根据分层抽样的原则可确定每组中抽取的人数，采用列举法可求得结果. 【小问1详解】 设年龄在对应的频率为，则，解得：， 年龄在对应的频率为， 年龄在对应的频率为， 样本数据上四分位数位于，设其为， 则，解得：，即样本数据的上四分位数为. 【小问2详解】 年龄在和对应的频率之比为， 抽取的人中，年龄在的有人，记为； 年龄在的有人，记为； 从抽取的人中，随机抽取人，则有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件； 其中满足至少有人的年龄在组的有：，，，，，，，，，共个基本事件； 抽取的人中至少有人的年龄在组的概率. 16. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求出通项公式. （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2）存在最小值，最小值为－9，此时 【解析】 【分析】（1）证明出相邻两项的差为常数，即可得到结果； （2）根据数列的单调性以及最值可求得结果. 【小问1详解】 证明：因为，所以． 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 所以． 【小问2详解】 根据等差数列的前项和公式，得． 对于二次函数，其图象的对称轴为直线， 所以当时，取得最小值．因为， 所以存在最小值，最小值为－9，此时． 17. 在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知. （1）求. （2）在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两向量平行得到一个等式，再根据正弦定理以及三角形内角和为可求得结果； （2）先根据外接圆半径比例得到各自的外接圆，从而得到的长，再根据三角形面积公式得到内切圆的半径，最后利用三角形面积之间的关系得到结果. 【小问1详解】 ，，， 所以， 根据正弦定理可变形为：， 移项可得：， 根据两角和的正弦公式可得：， 因为，所以， 因为，所以，即， 所以； 【小问2详解】 设外接圆的半径为，的外接圆半径为， 所以， 根据外接圆半径公式， 在中，，， 则，， 在中，， 所以，， 在中，，则， ，解得或， 因为为锐角，所以， 因为点E为的内心，设的内切圆半径为，如图所示： ， 根据三角形面积公式， 又， 解得， ， 所以的面积为. 18. 如图，和所在平面垂直，且求： （1）； （2）直线与平面所成角的大小； （3）平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用空间向量法求出异面直线所成的角； （2）利用空间向量法求出线面角； （3）分别求出两个平面的法向量，法向量夹角的余弦值即为两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 设，作于点，连接， 因为和所在平面垂直，平面平面， 所以， 因为 所以， 以点为原点，的方向分别为轴，轴，轴方向，建立空间直角坐标系如图所示： ， ， ， ， 所以； 【小问2详解】 设直线与平面所成角的大小为， 由（1）可得，显然是平面的一个法向量， ， 所以直线与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 由（1）可得，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，则，， 所以， ， 所以平面和平面的夹角的余弦值. 19. 双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. （1）求双曲线E的方程. （2）过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. （3）过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，列出等式得出即可求解; （2）对直线 斜率进行讨论，通过弦长公式法算出和点到直线的距离公式算出坐标原点到直线的距离即可求解； （3）设直线的方程，与双曲线的方程联立，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线的斜率之和为0，求出直线的斜率之和的代数式，利用韦达定理整理可得参数的值. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为 ，焦点， 则以右焦点F为圆心，半径为 的圆的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 根据圆与渐近线相切得， 焦点到渐近线的距离，得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知 当直线 斜率不存在时，令，代入中得，即， 所以, 当直线 斜率存在时，设直线方程为，， ，消去并整理得，， 根据根与系数的关系得， 因为直线交曲线E于同支两点记为A，B， 所以 ，解得或， 因为到直线的距离， 所以 , 其中. 综上所述，当直线 斜率不存在时，面积最小，面积为. 【小问3详解】 由过点F作直线交曲线E于异支两点，得直线的斜率存在，且斜率不为0， 设直线的方程为，其中或， 因为恒成立，即,得为的角平分线， 设,假设存在, 联立，整理可得：， ， 因为，所以， 整理可得， ， 即， 因为，整理可得，即， 综上所述，在实轴上存在定点使恒成立，对应定直线是. 【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略 （1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． （2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在条件时，先假设成立，再推出条件； ③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度上学期2023级（高二） 期中考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 命题人：斯鲁明 审题人：尹樱桦 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 2. 已知为虚数单位，的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4 已知数列对于任意，都有若则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A. B. C. D. 6. 已知为等差数列的前n项和，若，则=（ ） A. 39 B. 52 C. 65 D. 78 7. 在平面直角坐标系中，点为圆上一动点，点到直线的距离记为，当变化时，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 点为椭圆的左、右焦点，过准线与轴的交点作直线交椭圆于两点.若四边形为梯形，且对角线满足则离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是周期为的奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递增 D. 的值域是 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 对于，表示不超过的最大整数，如，记，从而有，以下是真命题的有（ ） A B. ，若，则 C. 不等式的解集为 D. 设，则对有 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是__________． 13. 椭圆的上下顶点记为，，在轴上取一点，记直线交椭圆的另外一点为点，若直线，的斜率，，有则离心率的值是______. 14. 为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为______，数据的极差为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 世界杯足球赛备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组:第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示. （1）估计样本数据的上四分位数（也称第三四分位数，第百分位数） （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率. 16 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求出通项公式. （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 17. 在中角A，B，C分别对应边长记为a，b，c，，，取，，已知. （1）求. （2）在边上取一点D，使为锐角且有与的外接圆半径之比为，设点E为的内心，求的面积. 18. 如图，和所在平面垂直，且求： （1）； （2）直线与平面所成角的大小； （3）平面和平面的夹角的余弦值. 19. 双曲线E的实轴两端点记为，以右焦点F为圆心，半径为的圆与渐近线相切. （1）求双曲线E方程. （2）过点F任意作直线交曲线E于同支两点记为A，B.点O为坐标原点，求面积的最小值. （3）过点F作直线交曲线E于异支两点记为C，D.设直线分别与直线，x轴相交于点M，T.问：在实轴上是否存在定点T使恒成立，若存在，则求出对应定直线，若不存在，则说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $