精品解析：山东省淄博市第五中学2025-2026学年高二下学期期末模拟六数学试题

高二数学下学期期末模拟六 一、单选题 1. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，有放回的随机取球两次， 则所有可能情况有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36个结果，即， 因为事件“，中有偶数且”， 则事件包含的基本事件有，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，， 所以， 因为事件“为偶数”， 事件“，中有偶数且”， 所以事件“，均为偶数且”， 则事件包含的基本事件有，，，，，， 所以， 所以. 故选：. 2. 已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则 A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵各项均为正数的等比数列中，公比为q，∵成等差数列， q=-1或3，∵正数的等比数列q=-1舍去， 故q=3，，故选D. 考点：等差数列性质；等比数列 3. 下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表 2 3 4 5 6 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由上表可得线性回归方程，若规定：维修费用不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出样本中心点，将样本中心点代入回归直线方程求出，再令，解不等式即可求解. 【详解】由已知表格，得， ， 因为回归直线恒过样本点的中心，所以， 解得，所以回归直线的方程为， 由，得，解得， 由于，所以据此模型预报，该设备使用年限的最大值为 故选： 4. 已知函数，则的值为（ ） A. -18 B. -16 C. 10 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义和求导公式计算即可. 【详解】， ，所以，. 故选：A. 5. 有7名运动员（5男2女）参加三个集训营集训，其中 集训营安排5人，集训营与集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ） A. 18 B. 22 C. 30 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊元素优先考虑及分类加法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种； 第2类：2个女生分别去，5个男生有1个去了，有种； 第3类：2个女生分别去，5个男生去了 ，有种； 根据分类加法计数原理，不同的安排方案种数为种. 故选：B. 6. 的展开式中的常数项为15，则实数a＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项，结合通项得到展开式的常数项为，列出方程，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得，可得展开式的常数项为， 因为二项展开式的常数项为，所以，可得，解得. 7. 已知函数在上单调递增，则实数 的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据题意，转化为在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解； 法二：根据题意，转化为在上恒成立，设，求得过点且与曲线相切的直线方程为，结合图象，即可求解. 【详解】解法一：由题意知，因为在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 因此，故实数 的最小值是. 故选：A. 解法二：由题意知，因为在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 设，过点且与曲线相切的直线方程为，切点为，则，故， 故过点且与曲线相切的直线方程为， 作出直线和的图像如图所示， 数形结合可知，若在上恒成立，则且， 即，故实数 的最小值是. 故选:A. 8. 已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求出导数，利用可得，进而可得，即得，利用导数讨论的变化情况，即可求出t的范围. 【详解】设函数，则，因为，则， 设，则， 所以，即，，， 则在单调递减，在单调递增，， 又 要使函数有两个零点，等价于曲线与有两个交点， 所以实数的取值范围为 故选:D． 【点睛】本题考查构造函数，利用导数研究零点问题，属于中档题. 二、多选题 9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项提出条件的不同取法数目. 【详解】取出的3个球中恰好一个蓝球，则还有2个红球，不同取法有，所以A正确，B错误. 取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况，第一种2个蓝球加1个红球， 第二种3个蓝球，则不同取法有，所以C正确. 取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可， 不同取法有，所以D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C. 已知，若，则事件M，N相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，给出反例，即可判断；对于B，利用得到即可判断；对于C，利用事件独立的定义即可判断；对于D，利用独立性检验的相关知识即可判断. 【详解】对于A，若恒有，，则，且. 所以，故A错误； 对于B，由于有线性回归方程，故，即，所以，，故B正确； 对于C，由于，故，即，所以事件M，N相互独立，C正确； 对于D，由于，故有的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不超过，D正确. 故选：BCD 11. 已知数列满足，，且，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列的前 项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用递推公式求判断ABC，按 为奇数和偶数讨论得到的通项公式，利用裂项相消法求数列的前 项和判断D. 【详解】对A，因为，， 所以，，，，故A正确； 对B，因为，所以数列不是等比数列，B错误； 对C，因为，所以数列不是等差数列，C错误； 对D，当时，，，两式相减得，， 所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，， 当时，，，两式相减得，， 所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列， ； 所以，， 设，则， 所以 ，D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 某次数学考试满分150分，某班同学的成绩服从正态分布，若在区间(70，110)的概率为0.8，则任取三名同学的成绩，仅一名同学的成绩不低于110分的概率为___________. 【答案】0.243 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得到，进而得到，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果. 【详解】， 所以任取三名同学的成绩，仅一名同学的成绩不低于110分的概率为. 故答案为：0.243 13. 在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，先求出 展开式中的常数项和的系数，即得解. 【详解】由，根据二项式定理，其展开式的通项为， 所以当时，展开式的常数项为；当时，展开式的系数为； 所以原式中展开式的常数项为. 故答案为：. 14. 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性的定义可得为奇函数，求出导函数可判断在R上单调递增，从而根据奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】解：由题意，函数的定义域为R， 因为， 所以函数为奇函数， 又，所以函数在R上单调递增， 所以不等式，即， 所以，即，解得， 所以满足不等式的x的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15. 若正项数列的前 项和为，首项，，（）在曲线上． （1）求数列的通项公式； （2）设，表示数列的前 项和，求证：． 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）将点的坐标代入函数式得到数列的关系式，利用求得数列的通项公式；（2）中将求得的通项代入整理得通项，结合特点求和时采用裂项相消的方法 试题解析：（1）因为点在曲线上，所以． 由得． 且 所以数列是以 为首项，1为公差的等差数列 所以， 即 当时， 当时，也成立 所以， （2）因为， 考点：1．数列求通项公式；2．裂项相消法求和 16. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：． 【答案】（1）当时， 单调递增；当时，单调递减 （2） ． 设，则， 令，得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，即， 由（1）知，，得证． 【解析】 【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间； （2）只需证明函数的最大值即可，从而可以构造一个关于 的函数，结合导数来证明即可. 【小问1详解】 ，，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 【小问2详解】 略 17. 为了治疗某种疾病，一厂商研制了一种新药，为了检验该药的治疗效果，随机抽取了患该病的雌小鼠和雄小鼠各50只进行注射实验，一段时间后检测其血液中的某项指标值，并将数据进行整理得到如下频率分布直方图： 按规定，当该项指标值大于250时，则可认为小鼠已经治愈．为了检验二次用药的效果，对第一次注射新药后未治愈的小鼠进行第二次注射，第二次注射后又有10只小鼠治愈． （1）根据频率分布直方图估计第一次注射新药后这100只小鼠的某项指标值的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只． （ⅰ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断小鼠被治愈与性别是否有关； 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 未治愈 合计 （ⅱ）若从这100只小鼠中有放回地抽2次，每次抽1只，则在两只都是雌小鼠的条件下，求第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠的概率． 附：，其中． 【答案】（1） （2）（ⅰ）列联表见解析，认为小鼠被治愈与性别无关；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）直接根据直方图中数据计算可得；（2）（i）结合直方图中数据及二次注射后的结果补全列联表，根据公式进行计算，并结合做出判断；（ii）利用条件概率公式进行计算. 【小问1详解】 由题意得 ． 【小问2详解】 由频率分布直方图，第一次注射后治愈的小鼠有只， 第二次注射后又有10只小鼠治愈，故治愈共80只，未治愈共20只；已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只， 故可得治愈的雄性小鼠有35只；则剩余未治愈雌性小鼠5只，未治愈雄性小鼠15只. 补全列联表如下： 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 45 35 80 未治愈 5 15 20 合计 50 50 100 零假设为：小鼠被治愈与性别无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为小鼠被治愈与性别无关． （ⅱ）记“两只都是雌小鼠”为事件 ，“第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠”为事件， 故． 【点睛】关键点点睛：正确理解频率分布直方图中的数据，从中提取有效信息是解答问题的关键. 18. 为了研究义务教育阶段学生的数学核心素养与抽象能力指标a分、推理能力指标b分、建模能力指标c分的相关性，其中，，，并将它们各自量化为一级、二级、三级3个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级若，则数学核心素养为二级若，则数学核心素养为三级，为了了解重庆市1年级至9年级在校学生的数学核心素养，调查人员随机抽取了该地的五个年级，访问了每个年级的2个学生，统计得到这10个学生的如下数据： x年级 2 4 5 6 8 数学核心素养分 29，31 38，42 47，53 56，64 69，71 数学核心素养平均分分 30 40 50 60 70 （1）画出散点图，并判断x，y之间是否具有相关关系 （2）若x，y之间具有线性相关关系，试估计重庆市9年级的学生数学核心素养平均分为多少 （3）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 附：①参考数据：， ②求线性回归方程的系数公式， 【答案】（1）作图见解析；x，y之间具有线性相关关系；（2）78分；（3）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据表中数据作图并根据散点图判断即可； （2）根据公式计算回归方程，并估计； （3）素养为一级的学生是8年级的两名同学，非一级的学生为余下8人，进而根据超几何分布求解即可. 【详解】解：（1）散点图如图所示： 由图可以看出这些点都在一条直线的附近， ∴x，y之间具有线性相关关系 （2），，，， ， ∴线性回归方程为， ∴当时，， ∴估计该地9年级的学生数学核心素养平均分为78分. （3）素养为一级的学生是8年级的两名同学，非一级的学生为余下8人， 的所有可能取值为0，1，2， ，， ∴随机变量X的分布列为： 0 1 2 19. 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”． （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）已知，， 、，求证：当，且时，函数是“函数”． 【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极大值，结合题中定义判断即可； （2）分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用题中定义得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围； （3）求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，设函数的极值点分别为、，可知、是方程的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】（1）函数是“函数”，理由如下： 因为，则， 当时，；当时，， 所以函数的极大值，故函数是“函数”； （2）函数的定义域为，. 当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极大值为， 易知，解得， 因此，实数的取值范围是； （3） ，因为，，则， 所以有两个不等实根，设为、， 因为，所以，，不妨设， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减. 所以函数的极大值为， 由得， 因为，， 所以 ． 所以函数是“函数”． 【点睛】本题考查函数的新定义“函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期期末模拟六 一、单选题 1. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是 .若事件“为偶数”，事件“， 中有偶数且”，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则 A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 3. 下表是关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)的统计表 2 3 4 5 6 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由上表可得线性回归方程，若规定：维修费用 不超过10万元，一旦大于10万元时，该设备必须报废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知函数，则的值为（ ） A. -18 B. -16 C. 10 D. 20 5. 有7名运动员（5男2女）参加三个集训营集训，其中 集训营安排5人， 集训营与 集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ） A. 18 B. 22 C. 30 D. 36 6. 的展开式中的常数项为15，则实数a＝（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数 的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量满足，则 B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出线性回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2 C. 已知，若，则事件M，N相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 11. 已知数列满足，，且，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是等差数列 D. 数列的前项和为 三、填空题 12. 某次数学考试满分150分，某班同学的成绩服从正态分布，若在区间(70，110)的概率为0.8，则任取三名同学的成绩，仅一名同学的成绩不低于110分的概率为___________. 13. 在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 14. 已知函数，则满足不等式的x的取值范围是___________. 四、解答题 15. 若正项数列的前项和为，首项，，（）在曲线上． （1）求数列的通项公式； （2）设，表示数列的前项和，求证：． 16. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：． 17. 为了治疗某种疾病，一厂商研制了一种新药，为了检验该药的治疗效果，随机抽取了患该病的雌小鼠和雄小鼠各50只进行注射实验，一段时间后检测其血液中的某项指标值，并将数据进行整理得到如下频率分布直方图： 按规定，当该项指标值大于250时，则可认为小鼠已经治愈．为了检验二次用药的效果，对第一次注射新药后未治愈的小鼠进行第二次注射，第二次注射后又有10只小鼠治愈． （1）根据频率分布直方图估计第一次注射新药后这100只小鼠的某项指标值的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）已知两次用药后治愈的雌小鼠共45只． （ⅰ）完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断小鼠被治愈与性别是否有关； 治愈情况 性别 合计 雌性 雄性 治愈 未治愈 合计 （ⅱ）若从这100只小鼠中有放回地抽2次，每次抽1只，则在两只都是雌小鼠的条件下，求第一次抽到治愈的小鼠且第二次抽到未治愈的小鼠的概率． 附：，其中． 18. 为了研究义务教育阶段学生的数学核心素养与抽象能力指标a分、推理能力指标b分、建模能力指标c分的相关性，其中，，，并将它们各自量化为一级、二级、三级3个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级若，则数学核心素养为二级若，则数学核心素养为三级，为了了解重庆市1年级至9年级在校学生的数学核心素养，调查人员随机抽取了该地的五个年级，访问了每个年级的2个学生，统计得到这10个学生的如下数据： x年级 2 4 5 6 8 数学核心素养分 29，31 38，42 47，53 56，64 69，71 数学核心素养平均分分 30 40 50 60 70 （1）画出散点图，并判断x，y之间是否具有相关关系 （2）若x，y之间具有线性相关关系，试估计重庆市9年级的学生数学核心素养平均分为多少 （3）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 附：①参考数据：， ②求线性回归方程的系数公式， 19. 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”． （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数 的取值范围； （3）已知，， 、，求证：当，且时，函数是“函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $