3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 教学设计 1、 教学目标 1. 掌握双曲线的简单几何性质并进行简单应用． 2. 掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程. 3. 掌握直接法求动点的轨迹方程. 4. 会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 2、 教学重难点 重点：掌握直线被双曲线截取的弦长公式及中点弦方程；掌握直接法求动点的轨迹方程. 难点：会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 本节课侧重于双曲线简单几何性质的实际应用，学生在前一课时已经掌握了双曲线的基本定义、标准方程以及基本的几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等概念。因此，大部分学生对双曲线的理论基础有了一定的了解，但在将这些理论知识转化为解题技能方面，学生间存在明显差异。 一部分学生可能对双曲线的几何性质有较为直观的理解，能够迅速识别并应用相关性质解决简单问题，如根据给定的离心率判断双曲线的开口方向和大小关系。然而，也有部分学生可能在将文字描述转化为数学表达式，或是在复杂图形中准确识别双曲线的几何特征方面遇到困难。 此外，学生在解决综合性问题时，如结合双曲线的几何性质与不等式求解、或是与直线位置关系的判断等，往往表现出较强的依赖性，缺乏独立思考和问题解决的能力。这可能与平时练习缺乏多样性，以及未能将所学知识有效整合有关。 综上所述，本节课的教学应注重巩固学生的基础知识，同时加强解题策略的引导，通过多样化的例题和练习题，帮助学生提升将理论知识应用于实际问题的能力，特别是培养其独立思考和灵活解决问题的能力。同时，针对个别学生的薄弱环节，应给予及时的辅导和反馈，确保每位学生都能在双曲线的学习上取得进步. 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质的应用. 本节课教材在内容上紧密衔接了前一课时的基础理论知识，旨在通过实际应用深化学生对双曲线几何性质的理解。教材通过精选的例题和练习题，引导学生将双曲线的标准方程、顶点、焦点、离心率等几何性质与实际问题相结合，既巩固了理论知识，又提升了学生的解题能力。 在知识点的编排上，教材注重从易到难、循序渐进。从简单的几何性质识别，到结合不等式求解、直线与双曲线位置关系的判断，逐步提升了问题的复杂度和综合性，有助于锻炼学生的逻辑思维和问题解决能力。 同时，教材在呈现方式上注重图文并茂，通过直观的图形和详细的步骤解析，帮助学生更好地理解和应用双曲线的几何性质。此外，教材还注重培养学生的自主学习能力，通过引导性问题、思考题等形式，鼓励学生主动思考和探索，培养其独立思考和解决问题的能力。 然而，教材在部分内容的深度和广度上可能存在一定的局限性，对于部分基础较弱或对数学有更高要求的学生来说，可能需要额外的补充材料或辅导来拓展知识面和提升解题技巧。 综上所述，本节课的教材在内容编排、知识点呈现和能力培养等方面都表现出较高的科学性和实用性，但也需要根据学生的实际情况进行灵活调整和补充，以确保每位学生都能在双曲线的学习上取得最佳效果。 4、 教学过程 1． 复习回顾，引入新知 教师：PPT展示复习的内容，并要求学生自主完成填空。 双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c，0)，(_____，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 ________ 范围 _______ ，y∈R _______ ，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，_____)，(0，a) 轴长 实轴长＝________，虚轴长＝________ 离心率 e＝____ > 1 渐近线 ____________________ y＝±x 等轴双曲线 定义 ____ 和____ 等长的双曲线叫做等轴双曲线 方程形式 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0时，焦点在____轴上； λ<0时，焦点在____轴上 性质 ①离心率：e＝________ ②渐近线方程：________________ 学生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的准备，由学生代表分享答案，师生共同完善补充. 教师：上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质，这也是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 2． 应用新知 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，． 设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为， 因为直径是实轴，所以，又，两点都在双曲线上，所以 由方程②得（负值舍去）．代入方程①得 ， 化简得 ③ 解方程③得 （负值舍去） 因此所求双曲线得方程为． 方法总结：双曲线有关的简单实际应用问题 (1) 根据题意建立适当的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程； (2) 结合双曲线的定义，及相关几何条件，求出a,b,c的值 (3) 写出双曲线的标准方程，及根据题意求出相关的量 (4) 将所求的量，“翻译”成实际问题的解答 跟踪练习：某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系. 求此双曲线的方程. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的方程为， 由题意知，所以， ，， 所以，， 所以，解得，所以双曲线的 方程为. 设计意图：通过典例解析，归纳基本题型，帮助学生形成基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 例5动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合 ． 由此得 ． 将上式两边平方，并化简得 ． 即 ． 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线（如下图）． 方法总结：直接法求轨迹方程 判断方法：若求动点轨迹的题干中有一个明显的等式关系，可优先考虑直接法 （1） 设动点：比如设动点P(x,y) （2） 等式：找到题干中的一个“等式关系” （3） 符号化：将第二步中的“等式关系”进行数学符号化处理，表示成关于x,y的式子. （4） 标准化：将以上式子等价变形，变为标准形式的方程 （5） 下结论：将不满足题意的点剔除掉，并写出方程或图形 跟踪练习：在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线. 求曲线的方程，并说明曲线C是什么图形. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：由题设得，即， 整理得，所以曲线的方程为， 曲线C为焦点在x轴上，焦距为10，实轴长为8的双曲线. 思考：将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？ 学生：学生回顾之前的例题，然后进行观察对比，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是， 则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义． 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，，所以直线的方程为 ① 由，消去，得． 解方程得，． 将，的值分别代入①得，，， 于是，，两点的坐标分别为，． 所以． 思考：是否有不把x1,x2具体的值计算出来，就能求出弦长的方法呢？ 学生：学生自主尝试着想想与做做，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 数学里重要数学思想：设而不求 的重要数学思想. 弦长公式： 学生：尝试着用以上弦长公式求弦长 预设：由例6可知，消元后得一元二次方程为：． 由韦达定理得，． 所以， 或者： 解方程得，． 跟踪练习：过点斜率为的直线与双曲线：相较于两点，求. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以. 方法总结：双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 3． 能力提升 题型一：求双曲线的中点弦方程 例题1 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 预设：设，，因为中点为， 所以，， 又， ，两式相减，得 ， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 方法总结：点差法求中点弦方程 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，求直线l的方程 设，，因为中点为，所以，， 又， ，两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为，直线l的方程为. 题型二：直线与双曲线的位置关系问题 例题2 已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； 预设：（1）联立，消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，则，解得；综上，或. （3）直线l与双曲线没有公共点． （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以，解得： 或. 方法总结：利用直线与双曲线的交点个数求参数范围： 当只有一个交点时：（1）直线与双曲线相切，联立方程，一元二次方程 （2）所求直线与渐近线平行 当有两个交点时：直线与双曲线相交，联立方程，一元二次方程 当没有交点时：直线与双曲线相离，联立方程，一元二次方程 4． 课堂小结 设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 5． 随堂限时小练 1．江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D 2．在平面直角坐标系中，动点（）与定点的距离和到直线：的距离之比是常数．求动点的轨迹方程； 【详解】由题意可知，， 化简得，于是，动点的轨迹方程为． 3、已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为． (1) 求双曲线C的方程． (2) 经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长． 【详解】（1）由题意得椭圆的焦点为，， 设双曲线方程为，则， ∴， 解得，双曲线方程； （2） 把，分别代入双曲线 ， 两式相减，得 ， 把，，代入，得 ， ，直线的方程为，即 把代入，消去y得， ， . 4、已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，右顶点为. (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程. 【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线的距离为，所以，又， 所以双曲线方程为； （2）由题知，直线的斜率必存在. 设直线方程为： 联立，消y得 ①当时，上述方程只有一解，符合题意， 所以； ②当时，为使上述方程只有一解即， ， 化解得：，所以， 所以. 综上，直线方程为：或. 6． 课后作业布置 作业1：完成教材：第127页 练习1,2,3,4,6 作业2：配套辅导资料对应的《双曲线的简单几何性质 第2课时》 7． 课后作业答案 练习（第126页） 1．已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们得斜率之积是，求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 1．解析：设，因为，， 所以，整理得， 故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点． 2．求下列直线和双曲线的交点坐标： （1），； （2），． 2．解析：（1）由，消去y，得：，解得：或， 由解得，；由解得，；所以交点坐标为：，； （2）由，消去y，得：，解得：． 求得，；所以交点坐标为． 3．直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，求离心率 3．解析：联立，得，设，， 则，解得．所以，离心率． 习题3.2（第127页） 1．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点得距离等于 ． 1．【答案】17 解析：双曲线可化为，， 设双曲线的两个焦点分别为，，不妨设， 由定义知|，所以，所以或(舍去)． 2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，，经过点； （2）经过点，两点． 2．解析：（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）设双曲线的方程为， 将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为． 3．已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程 （1） （2）． 3．解析：（1）将化为标准方程可得， 由方程可得，，解得，，所以渐近线方程为， 又，解得，即焦点坐标为，，离心率； （2）将化为标准方程可得， 由方程可得，，解得，，所以渐近线方程为， 又，解得，即焦点坐标为，，离心率． 4．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，实轴长是10，虚轴长是8； （2）焦点在轴上，焦距是10，虚轴长是8． （3）离心率，经过点． 4．（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，可得，，则有，， 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：； （2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，，则，， 所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：； （3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有， 所以， 所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为， 又因为双曲线经过点，则有，则，所以双曲线的标准方程为：． 5．如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动是，点得轨迹是什么？为什么？ 5．解析：连接QA，如图所示： 因为为的垂直平分线，所以，所以为定值， 又因为点A在圆外，所以， 根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线． 6．求经过点并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程． 6．解析：设所求的等轴双曲线的方程为：， 将代入得：，即， 所以等轴双曲线的标准方程：． 7．，为何值时，方程表示下列曲线： （1）圆（2）椭圆（3）双曲线． 7．解析：（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆； （2）若方程表示椭圆，则，，且， 所以当，，且时，方程为椭圆； （3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线． 8．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程． 8．解析：依题意，双曲线的焦点坐标是，，故双曲线方程可设为， 又双曲线的离心率，，解得，，故双曲线的方程为． 9．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程． 9．以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则，， 设爆炸点为，则， 根据双曲线的定义可得，在双曲线上，设双曲线的方程为， 则，所以，，所以， 所以点的轨迹方程为：． 10．设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 10．设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即， 左右同时平方，化简可得， 所以，令， 所以，即， 所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线． 11．是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为3，求动点的轨迹方程． 11．解析：设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离，，即． 所以动点M的轨迹方程：． 补充知识：双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值． 证明：设是双曲线上任意一点，双曲线的两条渐近线方程为和． 点到直线的距离， 点到直线的距离， ， 又在双曲线上，所以，即， ，即点到两渐近线的距离之积为定值． 12．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 12．解析：设椭圆和双曲线的焦半径分别为，，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则， 所以，． 拓广探索 13．已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于两点，能否是的中点？为什么？ 13．解析：当直线垂直x轴时，因为过点，所以直线方程为， 又双曲线的右顶点为，在直线上，所以直线与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线不垂直x轴时，斜率存在，设，，且， 因为A、B在双曲线上，所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段AB的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即， 将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解，所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点． 补充知识：①若直线且与圆交于，两点，点为的中点，则（即，垂径定理）； ②若直线且与椭圆交于，两点，点为的中点，则； ③若直线且与双曲线交于，两点，点为的中点，则． 证明：②设，，且，，则，， ， 两式相减，得， ， 又，，所以． ③设，，且，，则，， ， 两式相减，得， ， 又，，所以． ④若直线与圆交于，两点，过，两点作圆的切线，，则，设其斜率为，则． 推论：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为． ⑤若直线与椭圆交于，两点，过，两点作椭圆的切线，，则，设其斜率为，则． 推论：过椭圆上一点作椭圆的切线，则切线方程为． ⑥若直线与双曲线交于，两点，过，两点作双曲线的切线，，则，设其斜率为，则． 推论：过双曲线上一点作双曲线的切线，则切线方程为． ⑦若直线与圆交于，两点，点为圆上任意一点，，斜率存在，则． ⑧若直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上任意一点，，斜率存在，则． ⑨若直线与双曲线交于，两点，点为双曲线上任意一点，，斜率存在，则． 以上结论可以概况为：圆中的垂直关系（如半径与切线垂直，垂径定理，直径所对的圆周角是直角）中的，在椭圆和双曲线中变为． 14．已知双曲线与直线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，当运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹时什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应结论？ 14．解析：联立方程，可得， 因为有唯一公共点且，则， 整理得，可解得点坐标为，即，其中， 于是，过点M且与l垂直的直线为， 可得，即， 则，即，其中， 所以点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）， 如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$