3.2.2.3 直线与双曲线的位置关系-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线与双曲线的位置关系”核心知识点，系统梳理位置关系判断（联立方程、讨论二次项系数与判别式）、弦长计算（弦长公式应用）、中点弦问题（点差法）的解题方法，构建从基础到综合应用的递进式学习支架。 该资料采用“拓展融通课——习题讲评式教学”设计，通过例题变式、思维建模培养学生数学思维（如分类讨论直线与渐近线平行情况）和数学眼光（抽象中点弦问题的点差法模型）。课中辅助教师系统授课，课后检测助学生查漏补缺，提升解题能力与知识应用意识。

第3课时　直线与双曲线的位置关系 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　会判断直线与双曲线的位置关系,掌握点差法在中点弦问题中的应用. 题型(一)　判断直线与双曲线的位置关系 　　一般地,设直线方程为y=kx+m(m≠0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),将y=kx+m代入-=1,消去y并化简,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点. (2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,判别式Δ>0⇔直线与双曲线相交,有两个公共点;判别式Δ=0⇔直线与双曲线相切,有且只有一个公共点;判别式Δ<0⇔直线与双曲线相离,没有公共点. [例1]　已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,确定满足条件的实数k的取值范围. 解:联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).由得-<k<且k≠±1,此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 　　[变式拓展] 若本例条件“直线l与双曲线有两个不同的公共点”改为“直线l与双曲线有且只有一个公共点”,确定满足条件的实数k的取值范围. 解:联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2). 由得k=±, 此时方程(*)有两个相同的实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点; 当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为2x=5,故方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,有且只有一个公共点. 故当k=±或k=±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点. 　　|思|维|建|模| (1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 　　[针对训练] 1.直线y=与双曲线-y2=1交点的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 解析:选B　由题知,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x,所以直线l:y=与双曲线的一条渐近线平行,由图可知,直线l与双曲线有且只有一个交点. 2.已知双曲线E:-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是 (　　) A.∪ B. C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-,) 解析:选B　由消去y并整理得(1-3k2)x2-6kx-6=0,由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上, 得解得-<k<, 所以k的取值范围是. 题型(二)　弦长问题 [例2]　已知双曲线C的焦点在x轴上,焦距为4,且它的一条渐近线方程为y=x. (1)求C的标准方程; (2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点,求|AB|. 解:(1)因为焦点在x轴上,设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0), 由题意得2c=4,所以c=2①, 又双曲线C的一条渐近线为y=x, 所以=②, 又a2+b2=c2③, 联立上述式子解得a=,b=1, 故所求方程为-y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2+3x-6=0,由Δ=32-4××(-6)=15>0,所以x1+x2=-12,x1x2=-24, 即|AB|=·=·=10. 　　|思|维|建|模| 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种: ①|AB|=|x1-x2| =; ②|AB|=|y1-y2| =(k≠0). 　　[针对训练] 3.过双曲线x2-=1的一个焦点作直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选C　双曲线x2-=1的右焦点为(,0),当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,代入双曲线x2-=1可得y=±2,即|AB|=4,满足条件;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y-0=k(x-),代入双曲线x2-=1可得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2k2)2-4(2-k2)·(-3k2-2)=12k4+4(2-k2)(3k2+2)=16k2+16>0,x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=4=,两边平方可得6k2=3,解得k=±,所以斜率存在且满足条件的直线有2条,所以共有3条,故选C. 题型(三)　中点弦问题 [例3]　设A,B为双曲线-=1上的两点,若线段AB的中点为M(1,2),则直线AB的方程是 (　　) A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0 解析:选C　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则两式相减,得=,因为线段AB的中点为M(1,2),所以x1+x2=2,y1+y2=4,因此由=⇒=1,即直线AB的斜率为1,方程为y-2=x-1⇒x-y+1=0,代入双曲线方程中,得y2-4y-14=0,因为(-4)2-4×1×(-14)>0,所以线段AB存在,故选C. 　　|思|维|建|模|　中点弦问题的解决方法 根与系数的关系法 直线与双曲线方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点 点差法 利用弦两端点适合双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率 　　[针对训练] 4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-4,-7),则E的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选C　直线l的方程为y=·(x-3),即y=x-3,设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),由消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0, Δ=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)>0,因为弦AB的中点为N(-4,-7), 于是得-=-4,即a2=b2,而a2+b2=9,解得a2=,b2=,满足Δ>0,所以双曲线E的方程为-=1,即-=1. 5.已知直线l:x-y+3=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点P(1,4)是弦AB的中点,则双曲线C的渐近线方程是 (　　) A.y=±4x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 解析:选D　设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=8,=1.因为A,B两点在双曲线C上,所以所以-=0,则===×1=4,即=2,故双曲线C的渐近线方程是y=±2x. [课时检测] 1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0,b>0)的交点个数是 (　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 解析:选A　由题意,双曲线-=1(a>0,b>0),可得其渐近线方程为y=±x,因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点. 2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为 (　　) A.(-2,2) B.[-2,2) C.(-2,2] D.[-2,2] 解析:选A　易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-2<k<2. 3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 (　　) A.(1,2) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(2,1) 解析:选C　法一　将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦的中点的横坐标为==-1,纵坐标为-1-1=-2,即中点坐标为(-1,-2). 法二　设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1,y1),B(x2,y2),设线段AB的中点为M(x0,y0),将A,B代入双曲线方程得2-=3,2-=3,作差整理得kAB====1①, 又M在y=x-1上,则有y0=x0-1②, 联立①②解得x0=-1,y0=-2,所以M(-1,-2). 4.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　将直线x+y=1代入4x2-y2=1得3x2+2x-2=0.设两交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,∴|AB|=|x1-x2|=×=. 5.体育馆等建筑物的屋顶一般采用曲面结构.如图所示,某建筑物的屋顶采用双曲面结构,该建筑物屋顶外形弧线可看作是双曲线的上支部分,其渐近线方程为y=±x,焦点坐标为,那么该双曲线的标准方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选B　设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由渐近线方程为y=±x,得=　①, 又焦点坐标为,c=, 所以a2+b2=　②, 由①②解得a2=,b2=4, 所以双曲线的标准方程为-=1. 6.已知F是双曲线-=1的左焦点,过F倾斜角为30°的直线与双曲线渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解析:选D　由双曲线-=1可知a=2,b=2,c=4,F(-4,0),故其渐近线方程为y=±x=±x,过F倾斜角为30°的直线方程为l:y-0=tan 30°(x+4),即l:y=(x+4), 不妨设l与渐近线的交点如图所示,由于×(-)=-1,即AB⊥OA. 联立解得即A(-1,),则|OA|==2, 联立解得即B(2,2),则|OB|==4,则|AB|= =2,故△OAB的面积为×|OA|×|AB|=×2×2=2,故选D. 7.(多选)已知双曲线C:-y2=1,点A,B在C上,AB的中点为(1,1),则 (　　) A.C的渐近线方程为y=±2x B.C的右焦点为(2,0) C.C与圆x2+y2=1没有交点 D.直线AB的方程为x-4y+3=0 解析:选CD　对于A、B,由双曲线C:-y2=1可得a2=4,b2=1,c2=5,所以渐近线方程为y=±x=±x,右焦点为(,0),故A、B不正确;对于C,联立消y可得x2=,代入x2+y2=1,解得y无实数根,所以C与圆x2+y2=1没有交点,故正确;对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减,得-(y1+y2)(y1-y2)=0,因为AB的中点为(1,1),所以等式可得-2(y1-y2)=0,易得直线AB的斜率存在,故可得kAB==,则直线为y-1=(x-1),即x-4y+3=0,联立双曲线C的方程和直线x-4y+3=0,消去x,可得12y2-24y+5=0,此时Δ=576-4×5×12>0,则直线与双曲线有两个交点,符合题意,故直线AB的方程为x-4y+3=0,故正确. 8.(5分)(2024·北京高考)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为　　　　　.  解析:联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意. 答案: 9.(5分)已知A,B为双曲线x2-=1上两点,且线段AB的中点坐标为(-1,-4),则直线AB的斜率为　　　　.  解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=,由线段AB的中点坐标为(-1,-4),即-2(x1-x2)=, ∴kAB==. 答案: 10.(5分)已知直线MN:y=x+2和双曲线C:-=1相交于M,N两点,O为原点,则△OMN面积为　　　　.  解析:联立得x2-4x-24=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4,x1x2=-24,所以|MN|==,又因为点O到直线MN的距离为d=, 所以S△OMN=|MN|d=××=4. 答案:4 11.(5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为　　　　.  解析:由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),设A(x1,y1),B(0,y0),所以=(x1-c,y1),=(-c,y0),因为=-, 所以即 所以A.=,=(c,y0),因为⊥,所以·=0,即c2-=0,解得=4c2. 因为点A在双曲线C上,所以-=1,又=4c2,所以-=1,即-=1,化简得=,所以e2=1+=,所以e=. 答案: 12.(5分)如图,B地在A地的正东方向6 km处,C地在A地的北偏东60°方向6 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km,则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是　　　　　;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是 　　　　 km. 解析:以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图,由题意得|MA|-|MB|=4<6,根据双曲线定义知,轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支,故2a=4,a=2,2c=6,c=3,b=,所以曲线PQ的轨迹方程为-=1(x≥2).因为|AC|=6,所以|MB|+|MC|=|MC|+|MA|-2a≥|AC|-4=6-4,当且仅当A,M,C共线时等号成立.所以这两条公路MB,MC的路程之和最短为(6-4)km. 答案:-=1(x≥2)　6-4 13.(10分)讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数. 解:联立直线和双曲线方程消去y得x2-(x+b)2=1. 整理得2bx+b2+1=0　①, 若b=0,则方程①变为1=0,无解,此时直线与双曲线无公共点. 事实上,此时直线为y=x,就是双曲线的渐近线,自然与双曲线无公共点. 若b≠0,即直线平行于两条渐近线中的一条,方程①成为一元一次方程,有唯一解,原方程组有唯一一组解,此时直线与双曲线有一个公共点. 综上可知,b=0时,无公共点;b≠0时,有一个公共点. 14.(10分)经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点. (1)求直线l的方程;(6分) (2)求线段AB的长.(4分) 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得--=0,即(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,所以直线的斜率为k==4, 所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6, 经验证y=4x-6符合题意,所以直线l的方程为y=4x-6. (2)将y=4x-6代入x2-=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=, 所以|AB|=·=× =. 15.(15分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线C于P,Q两点,且∠F1PF2=60°,=a2. (1)求双曲线C的渐近线方程;(6分) (2)当a=时,在x轴上求一点T,使得·为定值.(9分) 解:(1)由题意,得=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=|PF1|·|PF2|=a2, 所以|PF1|·|PF2|=4a2. 在△F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2====,所以c2=2a2, 所以b2=c2-a2=a2,所以b=a, 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x. (2)当a=时,双曲线C的方程为-=1,则F1(-2,0). 因为∠F1PF2=60°,所以直线PQ的斜率不为0, 设直线PQ的方程为x=my-2, 联立消x得(m2-1)y2-4my+2=0. 则解得m≠±1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=, 设T(t,0),则·=(x1-t,y1)·(x2-t,y2)=(x1-t)(x2-t)+y1y2 =(my1-2-t)(my2-2-t)+y1y2=(m2+1)y1y2-m(2+t)(y1+y2)+(2+t)2 =(m2+1)·-(2+t)·+(2+t)2=, 要使·为定值,则t2-2=t2+4t+2,即t=-1,此时·=-1,所以点T(-1,0). 学科网（北京）股份有限公司 $