2024-2025学年人教版数学八年级上册期末 模拟练习 （真题重组卷）

期末真题重组卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•通河县期末）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•娄星区期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．（2024春•太康县期末）下面各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 4．（2022秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．（2024春•连州市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 6．（2023秋•绥阳县期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 7．（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（　　） A．（a+b）（2a+b） B．（a+b）（3a+b） C．（a+b）（a+2b） D．（a+b）（a+3b） 8．（2023秋•廉江市期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 9．（2022秋•如皋市校级期末）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 　 　． 10．（2023秋•集贤县期末）直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的 　 　． 11．（2023秋•龙山区期末）分解因式：a2+5a＝　 　． 12．（2023秋•柳州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝40°，则∠EBD是 　 　． 13．（2023秋•长沙期末）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝1，则△ABC的面积为 　 　． 14．（2024春•榆阳区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 　 　． 15．（2023秋•东城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　 　． 16．（2023秋•旌阳区期末）为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，若AB＝8cm，AD＝3cm，则DC＝　 　cm． 三．解答题（共7小题） 17．（2024春•高碑店市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求： （1）∠BAE的度数； （2）∠DAE的度数． 18．（2024春•中宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠A的角平分线AP，交BC于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） （2）若AB＝3，BC＝4，求BD的长及△ACD的面积． 19．（2024春•玉溪期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 20．（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； （2）求证：CF＝FG+CE． 21．（2024春•商水县期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为360°，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为540°．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是360°吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为360°的方法相同．证明方法如下：如图3，连接AC．∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，…， 任务：（1）将凹四边形的内角和为360°的证明过程补充完整． （2）如图3，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D． （3）如图4，在四边形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度数． 22．（2023秋•临颍县期末）实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是 　 　；（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　 　． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 23．（2023秋•佛山期末）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO； （3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数． 期末真题重组卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•通河县期末）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形 B、不是轴对称图形 C、不是轴对称图形 D、是轴对称图形； 故选：D． 2．（2023秋•娄星区期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中， ， ∴△ODC≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠AOB＝∠A′O′B′． 故选：A． 3．（2024春•太康县期末）下面各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14 【解答】解：A、∵5+6＝11，∴不能组成三角形，故A选项错误； B、∵8+8＝16，∴不能组成三角形，故B选项错误； C、∵5+4＜10，∴不能组成三角形，故C选项错误； D、∵6+9＞14，∴能组成三角形，故D选项正确． 故选：D． 4．（2022秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AP＝BP，CQ＝AQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 5．（2024春•连州市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上． 故选：B． 6．（2023秋•绥阳县期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（　　） A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm 【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴AD＝AB＝13（cm）， 故选：C． 7．（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（　　） A．（a+b）（2a+b） B．（a+b）（3a+b） C．（a+b）（a+2b） D．（a+b）（a+3b） 【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）， 故选：C． 8．（2023秋•廉江市期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2022秋•如皋市校级期末）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 　（3，4）　． 【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）． 故答案为：（3，4）． 10．（2023秋•集贤县期末）直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的 　稳定性　． 【解答】解：手机支架利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 11．（2023秋•龙山区期末）分解因式：a2+5a＝　a（a+5）　． 【解答】解：∵a2+5a公有因式为a， ∴原式＝a（a+5）， 故答案为：a（a+5）． 12．（2023秋•柳州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝40°，则∠EBD是 　20°　． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°， 由题意可知，BC＝BE， ∴∠BEC＝∠ACB＝70°， ∴∠CBE＝180°﹣70°×2＝40°， ∴∠EBD＝∠CBE＝20°． 故答案为：20°． 13．（2023秋•长沙期末）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝1，则△ABC的面积为 　4　． 【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F， ∴DE＝DF＝1， ∵AB＝5，AC＝3， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD ＝AB•DE+AC•DF ＝×5×1+×3×1 ＝+ ＝4． 故答案为：4． 14．（2024春•榆阳区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 　18　． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC， ∴OE＝OD＝3， ∴△AOB的面积＝， 故答案为：18． 15．（2023秋•东城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 　18　． 【解答】解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠ABF＝30°， ∴点F在射线BF上运动， 当点F与点H重合时，CF最小， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12， ∵∠ABF＝30°， ∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°， ∴△ACD'是等边三角形， ∴AD'＝AC＝6， ∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6， ∴△BDE的周长为：18， 故答案为：18． 16．（2023秋•旌阳区期末）为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，若AB＝8cm，AD＝3cm，则DC＝　5　cm． 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴AC＝AB＝8cm， ∵AD＝3cm， ∴CD＝AC﹣AD＝5（cm）． 故答案为：5． 三．解答题（共7小题） 17．（2024春•高碑店市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求： （1）∠BAE的度数； （2）∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C ＝180°﹣70°﹣30° ＝80°． ∵AE平分∠BAC， ∴． （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B ＝90°﹣70° ＝20°． ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD ＝40°﹣20° ＝20°． 18．（2024春•中宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠A的角平分线AP，交BC于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） （2）若AB＝3，BC＝4，求BD的长及△ACD的面积． 【解答】解：（1）如图，AP即为所求； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝， 由（1）知，AD平分∠BAC， ∴点D到AC的距离＝BD的长 设BD＝x， ∴＝， 解得x＝， ∴BD＝， ∴S△ACD＝＝． 19．（2024春•玉溪期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 20．（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； （2）求证：CF＝FG+CE． 【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB＝50°， ∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°； 方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， 在△CDE和△CDM中， ， ∴△CDE≌△CDM（SAS）， ∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC， ∵GD＝DE， ∴GD＝MD， ∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°， ∴∠AEB＝∠DMF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝ABC， ∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°， ∴∠EDM＝100°， ∴∠EDC＝50°； （2）证明：∵∠A＝2∠BDF， ∴∠BDM＝2∠BDF， ∴∠FDM＝∠BDF， 在△DGF和△DMF中， ， ∴△DGF≌△DMF（SAS）， ∴GF＝MF， ∴CF＝CM+FM＝CE+GF． ∴CF＝FG+CE． 21．（2024春•商水县期末）阅读下列材料，并完成相应的任务： 我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为360°，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为540°．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是360°吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为360°的方法相同．证明方法如下：如图3，连接AC．∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，…， 任务：（1）将凹四边形的内角和为360°的证明过程补充完整． （2）如图3，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D． （3）如图4，在四边形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度数． 【解答】解：（1）∵∠DAC+∠D+∠ACD＝180°， ∵凹四边形的内角和＝∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD， ∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD＝360°， ∴∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°， ∴凹四边形ABCD的内角和为360°． （2）∵∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°， ∴∠BAD+∠B+∠D＝360°﹣∠α． ∵∠α+∠BCD＝360°， ∴∠BCD＝360°﹣∠α， ∴∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D． （3）由（2）可知，∠BCD＝∠A+∠B+∠D． ∵∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°， ∴150°＝70°+28°+∠D， ∴∠D＝150°﹣70°﹣28°＝52°． 22．（2023秋•临颍县期末）实践与探索 如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． （1）上述操作能验证的等式是 　A　；（请选择正确的一个） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2+ab＝a（a+b） （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　4　． ②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：A； （2）①∵4a2﹣b2＝24， ∴（2a+b）（2a﹣b）＝24， 又∵2a+b＝6， ∴6（2a﹣b）＝24， 即2a﹣b＝4， 故答案为：4； ②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99， 982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97， … 22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1， ∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050． 23．（2023秋•佛山期末）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO； （3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数． 【解答】（1）解：∵∠OCD＝40°，∠AOB＝90°， ∴∠CDO＝50°， ∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴∠DCE＝∠OCE＝∠DCO，∠CDE＝∠ODE＝∠CDO， ∴∠DCE＝20°，∠CDE＝25°， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝135°； （2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴∠DCE＝∠OCE＝∠DCO，∠CDE＝∠ODE＝∠CDO， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE ＝180°﹣（∠DCO+∠CDO） ＝180°﹣（180°﹣∠O） ＝180°﹣90°+∠O ＝90°+45° ＝135°． ∵∠CED＝∠CFD+∠EDF，∠CFD＝180°﹣∠CFO， ∴∠CED＝180°﹣∠CFO+∠EDF， ∵∠CFO﹣∠GED＝45°， ∴∠CFO＝∠GED+45°， ∴∠CED＝180°﹣（∠GED+45°）+∠EDF， ∴135°＝∠180°﹣∠GED﹣45°+∠EDF， ∴∠GED＝∠EDF， ∴GE∥DO； （3）解：①当∠MCN＝3∠N时， ∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°， ∴∠N＝∠MCN＝30°， ∴∠M＝60°． ∵∠COD＝90°， ∴∠DON＝45°， ∴∠COM＝45°． ∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝75°． ∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝15°． ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝30°， ∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝60°， ∵DE平分∠CDO， ∴∠CDE＝∠CDO＝30°； ②当∠M＝3∠N时， ∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°， ∴∠M+∠N＝90°， ∴∠N＝22.5°，∠M＝67.5°， ∵∠COD＝90°， ∴∠DON＝45°， ∴∠COM＝45°． ∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝67.5°． ∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝22.5°． ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝45°， ∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝45°， ∵DE平分∠CDO， ∴∠CDE＝∠CDO＝22.5°． 综上，在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，∠CDE的度数为30°或22.5°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$