阶段滚动练(4)-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第二部分阶段滚动练（四） 阶段滚动练（四） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40：5.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC:与直线 题目要求的， AB,夹角的余弦值为 () 1,设a,3为两个平面，则a∥3的充要条件是( A.a内有无数条直线与3平行 B.a内有两条相交直线与3平行 C.a,3平行于同一条直线 交 D.a,3垂直于同一平面 A. B.v5 5 3 作 2.在等比数列{am}中，若a1十a2十…十am=2" C2⑤ 1,则a导十a+…a异= ( ) 5 业 6.设正方体ABCD-A:BCD1的棱长为2，则点 A.(24-1)2 时 B (-1) D1到平面A1BD的距离是 ( 可 C32-D D.4"-1 A号 沿3.如图，在三棱柱ABC一A1B1C1中，E,F分别是 BC,CC1的中点，AG=2GE,则FG= c 2 此 ( 7.在四面体P-ABC中，△ABC是边长为3的 线 等边三角形，PA=3,PB=4,PC=5,则四面体 裁 P-ABC的体积为 A.3 B.23 下 E C.T D.W10 B 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1CD1 A号A店-号AC-2AA 中，E、F分别是棱AA1,CC1的中点，过点E作 R号A店-号AC+号AA 平面a,使得a∥平面BDF,且平面a与AC交 于点M,则FM= () C.-吉a+号AC-号Ad D.- A店+号AC+号A D 4.已知a=(2,0,一1)，b=(3,-2.5),则向量b在 向量a上的投影向量是 ( B A号3.-2.5 B83,-2.5) A. 3 2 B.6 2 C.52,0,-1) D02.0,-1D C.3 D.36 4 73 培优限时练小题突破·数学 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 A.A,C⊥平面a 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， B.存在点P,使得AC1∥平面a 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 C.存在点P,使得点A1到平面a的距离为 的得0分. 9.如图，S为圆锥的顶点，AB D.用过P,M,D1三点的平面去截正方体，得到 为底面圆的直径，圆锥的侧 的截面一定是梯形 面展开图为半圆，且半圆的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 面积为2π，M为SA的中点， 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, N为弧AB的中点，下列说 已知∠B=60°，sinA=3sinC,b=√7，则c= 法正确的是 ,△ABC的面积为 A.底面半径为1 13.如图所示，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面AB B,母线与底面所成的角为子 CD,底面ABCD是边长为2的正方形，PD=2, E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直 C.MN⊥BS 线PA与直线EM所成的角为60时，那么线段 D.MN∥BS PM的长度是 1O.如图，在四面体ABCD中，AD⊥BD,截面PQMN 是矩形，则下列结论一定正确的是 A.平面BDC⊥平面ADC B.AC∥平面PQMN C.平面ABD⊥平面ADC D.AD⊥平面BDC 11.如图，在棱长为1的正方体 14.如图在三棱锥SABC中，SA=SB=SC,且 ABCD-A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点 ∠ASB=∠BSC=∠CSA=,M,N分别是 (点P不与点C,C1重合)，过点P作平面a分 AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成 别与棱BC,CD交于M,N两点，若CP=CM= 的角的余弦值为 ,直线SM与面SAC CV,则下列说法正确的是 所成角大小为 M 74培优限时练小题突破·数学 点P(0,0,6)到直线1的距离为; 所以lcosn,n=cosn,n. -1AP sin(eA-+×2 2. 即 1× 4+(4(-2--=)+1 故选C. 13.解析:如图,以A为愿点建立空间直角坐 4-2-: 标系, 4 1×4+(4-2-)+1 则A(0.0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a). 一.化简得2r+x-8-0或2-+ G(a.a,0). AG-(a,a,0),AC-(0,2a,2a),BG= 2-0. (a.-a,0). 在平面CC.DD上,直线2x十。-8-0过点D(4,4.0)和 设平面AGC的法向量为n.一(x.,y,1), C.D.的中点(2,4,4). fax.+ay,=0_ 在平面CCDD上,直线2x+;-0只过点(0,4.0),即 ##._。> 1x-1 由 →n三 点C. l2ay+2a-0 1--1 (1,-1,1). 取G为C.D.的中点,连接GD,则点P在DG上运动或点 P在点C处, BG·n2a6 sinθ-- 由等面积法可得DP的最小值为2×44 5 2V5 BGl nax③3 5. 答案 故答案为: 13.C .在整PABC中,PA 平 答案:45 面ABC,AB BC,且PA=AB= BC-1. 小题·真题真练 '.以B为愿点,BC为x轴,BA为 解析:如图,过B,D分别向AC作 y轴,过B作平面ABC的垂线为。 垂线,垂足分别为M,N. 轴,建立空间直角坐标系, 则可求得AM-,BM-.CN 则A(0,1,0),C(1.0,0),B(0,0. 0).P(0.1.1).PA-(0,0.-1). -.DN-},MN1.# PB-(0.-1.-1).PC-(1.-1.-1). 由于BD-BM+M+ND. 设乎面PAC的法向量n一(x,y,). [np--=0. 所以[BD =(BM+MN+ND)$-|BM+M1+ 则 nPC---y-:-0.& 取r-1,得n-(1,1,0). NDI*+2(BM·MN+MN·ND+BM·ND)-() 设乎面PBC的法向量m三(a:). 1+#^) “+2(0+0+)-故BD{-T0. 1 n.PC-a-b--0. 取6-1,得m=(0.1.-1). 答案:T0 设二面角APC-B的大小为0, . 则cos8-|m.n 阶段滚动练(四) '.二面角A-PC-B的大小为60{},故选C. 1.B 若a/B,则a内有无数条直线与B平行,反之不成立;若 14.解析:如图,建立空间直角坐标系B一xvz,则B(0,0,4). a,平行于同一条直线,则a与③可以平行也可以相交;若a, E(2.0.0),B.E-(2.0.-4). 垂直于同一平面,则a与8可以平行也可以相交,故A,C. D均不是充要条件,根据平面与平面平行的判定定理知,若 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则两平面平 行,反之成立,因此B中条件是a/③的充要条件,故选B. 2.B 因为数列(a.)是等比数列,且a+a。+..十a.-2-1, 解得a,一1,a。-2,所以{a.)是以1为首项,2为公比的等比 ##& 数列,则a.-2“-l,那么a}-4*,所以(a)是以1为首项,4 1(1-4)-(4-一1).故选B. 为公比的等比数列,所以根据前n项和公式得a{十a^{}十..^a 1-4 设P(x.4.)(0<x4.0<4),则EP-(x-2.4.). 3.A 由题意,FG-FF+EG-FC+CE-AE--AA 取平面ABCD和平面CC.DD的一个法向量分别为n= #7B#(A&-4+#(A##)# (0.0.1).n.-(0.1,0). n·BE-o #1##AA)#-A#-A#故选A. 设平面BEP的法向量为n。一(a,b,c),则 n.Fp-o' n/2-4c=0 1(x-2)a+46+c-0' a-2 令(-1,可得 平面BEP的一个法向量, 由题意,平面B.EP与平面ABCD,平面CCD.D所成的角 相等, 168 参考答案 4.C 因为a-(2,0,-1),b-(3,-2,5),则向量b在向量a 设AM-AC-(-22,0),可得EM-EA+AM -(-,2,1). a 4T 可得n·EM--2-21+2-0,解得-. 则EM-(-1,1.1),可得FM-EM-F-(1.-1.1). -a-(2,0.-1).故选C. 所以|FM|-1十1+I-3.故选C. 9.AB 如图,设圆锥的底面半径为 5.A 设CA-2,则C(0,0.0),A(2,0.0),B(0,0.1).C.(0.2.0). r,母线长为1,由题意得n^{}= B(0.2,1),可得向量AB=(-2.2,1),BC =(0,2.-1). 由向量的夹角公式得 cos(AB,BC)= 2r.得/-2. 0 半圆的孤长为(π-2n-2xr,所以r -1,故A选项正确; 母线与底面所成角为 SBA,在Rt 6.D如图建立坐标系,则D(0,0,2),A.(2,0,2),B(2,2,0). △$OB中 cossBA--. D.A=(2.0.0),DB-(2,2.0). C DA.-(2,0.2). 所以二SBA一吾,故B选项正确; 设平面A.BD的法向量为 A 1 连接MN,MO.NO,因为M.O分 (n.DA-0. {- D_0. 别为AS,AB中点,则BS/MO, n-(r,y,),则 结合圆锥性质知NO1平面ABS. .2+2-0.令:=1. A 因为平面MOCABS,则MOINO.故MO与MN不垂直, 12r+2y-0. 所以MN与BS不垂直,MN与BS是异面直线,故C,D选 得n-(-1,1,1). 项错误,故选AB. D.A·n223 10.ABC由PQ/MN,MNC平面ADC,PQ平面ADC,得 '.D.到平面A.BD的距离d- PQ/平面ADC, 1n 又POC平面ABC,平面ABCO平面ADC=AC 7.C 如图,延长CA至D,使得AD一3,连接DB,PD,因为 .PQ/AC. AD-AB-3: 同理QM/BD,因为PQ1QM. 故△ADB为等腰三角形, .*.AC BD,又 BD AD,ACOAD-A. 又 DAB-180*-CAB-120*, ..BD平面ADC, '.平面BDC|平面ADC,平面ABD|平面ADC, '.A和C选项均正确. 所以 ADB+DCB-90” 由PQ//AC,得AC/平面PQMN. 即 DBC=90*,故CB DB &B选项正确. 因为PB-4.PC-5,BC-3. .不能得到ADDC或AD1BC, 所以PC}-PB{}+BC,所以CB PB$ '.不能得到AD 平面BDC,故选项D不一定正确. 因DBOPB=B.DBC平面PBD,PBC平面PBD, 故选ABC. 所以CB平面PBD, 11.ACD 连接AD.D.P,AM.DB. 所以V&P-cBn-Vac-pmo= 易得AD /PM,CC //PM.C.D /PN.DB/MN. 因A为DC的中点,所以V:根P-Aac= 对于A,可得正方体中AC面 DBC.,即可得AC平面a,故 3x$so-8rao A正确; 对于B,可得面C.DB/面 1 因为DA=AC-AP一3,故△PDC为直角三角形, PMN,故AC 不可能平行面 所以PD=CD-PC=36-25=11. PMN.故错: 又DB-3AD-33,而PB-4. 故DB{*}-PD}+PB{,即△PBD为直角三角形$ 使得点A,到平面a的距离为号,故正确; 所以Vr-Anc=11. 对于D,用过P,M,D. 三点的平面去载正方体,得到的裁 8.C 如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 面是四边形PMAD,PMAD,四边形PMAD 一定是 则 D(0,0.0),B(2.2.0). 梯形,故正确,故选ACD F(0.2.1),E(2,0.1),A(2, 12.解析:因为sinA一3sinC,由正弦定理可得a=3c; 因为之B-60{,在△ABC中,由余弦定理可得:6^{}一^{}+c^{}$$$ 0.2).C(0.2.2). B. 可得DB=(2.2,0).DF-(0. 以7-9+-6-{×,解得:c-一1: -2accos B. 2.1).AC-(-2,2.0).FA -(0.0.1)E-(-2.2.0). 1 D....... 所以a-3c-3.由三角形面积公式可得:Snc-- -C) -2acsin 设平面BDF的法向量为n= #ABC-\3x1-33.# (x.y,:). 1DB-2x+2y-0 故答案为:1,3 则 “p-2y+:-。 令y--1,则 =1,:-2,可得n=(1,-1,2), # 因为a/平面BDF,可知平面。的法向量为n=(1,一1,2); 答案:1 169 培优限时练小题突破·数学 13.解析:如图建立空间直角坐标系, ,-1,即x-y-a,代入点(-3,5),得a=-8,即直线方 - 程为一一 不存在,即工=x。,且yy,则直线方程为工一x,若直线 的斜率存在,则文:≠x,则直线方程为y-y- 一对1 (xx),即(y-y)(x-x)=(y-y)(x-x).且 x..也满足该方程,C正确.D选项,当方程mx十n(y一2)-l 中的x-0,y-2时,0-1,不成立,则该直线不过点(0,2),D 正确.故选CD. 5.C 直线2x+y+m-0的斜率k=-2,直线x+2y+n- 的斜率。一一 则 A(2,0,0).P(0,0.2),B(2,2,0). ##,则,h,且b一1.故选C. .AP-(-2.0.2). 6.BC 对于A,m=-1时,l:x-1-0,显然与/.不垂直,A .E是梳PB的中点.',E(1,1.1). 不正确; 设M(o.2-m,),则EM-(-1.1-m,m-1). 一般来 .|cosAP,EM- -12+2(n-1)1 以/,B正确; 2V21+2(m-1){ 对于C,当l./1。时,4m+4=3m+6且3m -3m-3,解得 m-2,此时l.:4r-3y+2-0,l与1.之间的距离为d +(-3) 2r-y-0 二.所以直线1:过定点(1.2),D不正确,故选BC. 1r-1 14.解析:因为 ASB= BSC= CSA-,所以以S为坐 7.A 设/的方程为y一kx十b.平移得,y一k(x十3)十b. 标原点,SA.SB,SC为x,y.:轴建立空间直角坐标系(图 即y-x+3+b+1 略).设$A-$B-$C-2,则M(1,1,0),B(0,2,0),N(0,0. 1).A(2,0.0).C(0.0.2). 解得-]。 因为SM=(1,1.o).BN-(0.-2.1).cos(SM,BN)- 8.D 由两直线垂直的判断条件AA。+BB.一0,可知” 1+(一1)·m-0,所以直线1.与l始终垂直, 2×/5 又由条件可得直线1.恒过定点M(1,3),直线1。恒过定点 N(5.1). 10 所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为 所以两直线的交点P是在以线段MN为直径的圆上, 所以该圈的圈心坐标为(3,2),半径为/5. 面SAC一个法向量为SB-(0.2,0),则由 圆上点(1,1)是过定点M(1,3)且斜率不存在的直线与过 定点N(5,1)且斜率为0的直线的交点,故挖去点(1,1). 2x2 圆心(3.2)到直线2r+y+7-0的距离-12x3+2+71 即直线SM与面SAC所成角大小为哥. 2+1 -3/5,所以,/与1.的交点到直线2x十y十7一0的距离的 最大值和最小值分别为45和2/5. 专题七 平面解析几何 又(1,1)到直线2x十y+7-0的距离为2v5,应舍去. 所以取值集合是(2,45.故选D. 第34练 直线的方程及两直线的位置关系 小题·分层分练 _## 错误; 1.A 设直线/的斜率为b,则b一- 在/:x-③y-6-0中,令x-0,解 3 。 2.C 设直线/的倾斜角为0,0{<0180{. 得y-23,即直线/在y轴上的 由直线(的一个方向向量为AB-(1.v3),得tano-③ 截距为-23,故B错误; 在/:r-v3y-6-0中,令y-0,解 ③,则0-60{.故选C. -32/3 得x-6,即直线/过A(0,-2③). 3.B 设直线/上任意与点Q(3,1)不重合的一点为P(订,y). B(6,0)两点. 由题意有QP与(3,2)共线, AB-(6.23)-2(3v/3),所以直线1的一个方向向量为 (3.③),故C正确; 又点Q(3,1)在直线/上,且点Q(3.1)满足方程2r一3y 画出直线/:x-3y-6-0的图象如图所示, 3-0,综上所述,/的方程为2x-3y-3-0.故选B. 所以直线/不经过第二象限,故D错误,故选C 3 4.CD A选项,由点斜式,得所求直线方程是y一5=- 1$0.B 直线1:x+3y+m=0(m0),即2x+6y+2m-0.因 为它与直线l:2x+6y-3-0的距离为 10,所以 (x+2),即3x+4y-14-0,错误,B选项,①当过原点时,直 20310,求得-17. V/4+36 2 线方程为-一 170