第32练 空间向量及空间位置关系-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题六 立体几何与空间向量 ------- 第32练 空间向量及空间位置关系 [小题·精讲精练] [解析] 由OA+OB=(1.-,),OB [例题讲坛] (0.-1,1),则cos 120*-a+ 1+2^{·V② 【例1】 如图所示,在平行六 效。 A. M D 面体 ABCD-A BCD 6 不符合题意,舍去 中,AB-a,AD-b.AA= B Ali. c.点M是AD的中点,点 -. 所以x-- ### Nt 6 N是CA上的点,且CN- [答案]C 【规律归纳】(1)空间向量数量积计算的两种方法 xc,则x十y十= ①基向量法:a·b- al blcosa,b). [思路引导] ②坐标法:设a-(x1·yì,zì),b-(x·y,2). 交 利用空间向量的加减及数乘运算,以(a,b,c)为 则a·b-x1x2+y1y2+z1x2. -去 基底,用基向量表示MN,再空间向量基本定理 (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 待定系数即可。 ①azo,b-0,a b-a·b-0. 业 [解析] 在平行六面体ABCD一A:B C.D 中, ②lal-2 因为点M是AD 的中点,点N是CA;上的 1 ③cos(a,b)-a.# 时 4.D a 可 [小题·分层分练] --- [一层·打基础] 一 4 -一--- 5 知识点一 空间向量的线性运算 二 1.已知四面体OABC中,OA一 a.OB-b.OC-c.OM-1 _, MA(0).N为BC中点. 又MN-xa+b+ac, 若MN-- 由空间向量基本定理得,:一 3 1 则1- 2 则x十y十= A.3 B.2 10 C. 故答案为:0 2 2.(多选)在平行六面体ABCD一A.B.C.D; 中,记 o) AB-a,AD=b,AA=c,设AP=xa+yb+ac, [答案] 下列结论中正确的是 ( 【规律归纳】 1 用基向量表示指定向量的方法 A.若点P在直线A,D上,则x十=1 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. B.若点P在直线AC上,则x一y一z (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行 C.若点P在平面A,BD内,则x十y十z-1 四边形中 D.若点P在平面B;BDD内,则x十-1 (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向 知识点二 共线向量与共面向量定理的应用 量用已知基向量表示出来. 【例2】已知A(1,0,0),B(0,-1,1),0为坐标原 3.若给定一向量组A-a,a,...,a.)和向量c,若 存在一组实数、k、.、k.,使得c一ka十ka 点,OA十xOB与OB的夹角为120{},则a的值为 +...十&a..则称向量c能由向量组A线性表 B## 示,或称向量c是向量组A的线性组合,若A D.士6 e+e,e-e,c=e+me,e、e、e为三个 [思路引导] 求夹角,设向量a,b所成的角为0, 不共面的空间向量,且向量c是向量组A的线性 组合,则m= ) C.1 A.-4 B.-3 D.2 69 培优限时练小题突破·数学 4.已知点D在△ABC确定的平面内,O是平面 C.若a,b,c是空间向量的一组基底,则a十 ABC外任意一点,实数x,y满足DO=xOA十2y b.2c,a十b十c)也是空间向量的一组基底 OB-3OC,则x2+y2的最小值为 _ ) D.若空间向量a,b.c共面,则存在不全为0的 A. 25 实数x,y,使xa+b+xc-0 C.1 。 D.2 11.A,B.C,D是空间不共面的四点,且满足AB· 知识点三 空间向量的数量积及应用 AC=0.AC·AD-o.AB·AD-0.M为BC中 5.如图,在正三校锥P-ABC中,高PO-6,AB= 点,则△AMD是 33,点E,F分别为PB,PC的中点,则OE·OF ) A.钝角三角形 ) △ B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 12.在底面为直角梯形的四校锥PABCD中,侧校 PA I底面ABCD,BC/AD. ABC=90*$PA$ =AB=BC-2,AD=1,则点D到平面PBC的 距离是 [三层·早拔尖] D21 63 C.21 A. B.63 13.如图,在四校锥P一ABCD中,底面ABCD为 菱形,AB-4. DAB-2-,M为校PC的中点, 6.已知空间向量a=(1,0,2),b=(-2,1,3),则 3 la-b= ,(a十b)·(a-2b)= 且AM·AB-5,则AP·AB- _→ [二层·提考能] 7.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且2b/ (a一b),则 ) 1 A.x- B.二 3y=1 2,-4 C.2 A.-2 B.0 C.-2=- D.x-1,=-1 D.4 14.已知点P为校长等于2的正方体ABCD一 8.已知A(1,0,0),B(0.-1,1),0为坐标原点,OA A. BC.D:内部一动点,且|PA|=2,则PC· 十入OB与OB的夹角为120{},则入的值为( PD.的值达到最小时,PC,与PD;夹角大小为 D.士 9.如图,已知二面角a一l一3的度数大小为,在a 15.如图,在△ABC中,AD AB.BC-3BD.1AD|-1. 与3的交线/上取线段AB一3,且AC,BD分别 则AC.AD 在平面a和平面3内,它们都垂直于交线7,且 AC-1,BD-2,则CD的长为 ) C [小题·真题真练] 1.(2023·全国甲卷(理))在四校锥P一ABCD中, 底面ABCD为正方形,AB=4,PC=PD=3. PCA-45*,则△PBC的面积为 ) A.2/② B.3② C.4② C.6 A.6 D.10 B.10 D.5② 10.下列选项中,不正确的命题是 2.(多选)若a,b,c)是空间的一个基底,则下列各 A.若两条不同直线/,n的方向向量为v,v2; ( 组中能构成空间一个基底的是 ) 则//m/2 A. a,2b,3c} B.若/OA,OB,OC)是空间向量的一组基底,且 B. a+b,b十c.c十a B-A+0B+00,则点D在平面 C. a+2b,2b+3c,3a-9c D. a十b十c,b,c ABC内,且D为入ABC的重心 70培优限时练小题突破·数学 ∠PBC=受；将P,A,B,C放入长方体中，知国所示： 5aw=号×6X号=9v后，所以正 2 三棱台ABC一A1B,C,的体积V= 3 故P0=号=2原.由三三棱台的性 质可知，O为底面ABC的中心，则 外接球的半径为R=V6+8+10 OA=号×V6-3=2原，周为P01年面ABC,所以 2 =5√②，故表面积为 ∠PAO是A1A与平而ABC所成的角，在Rt△PAO中，tan 4xR=200元 故答案为：∠PBC:200π. ∠PA0-识-1，放选B 答案：∠PBC200x 11.ABD选项A,连接BD(图略)，显然O为BD的中点，又 第32练空间向量及空间位置关系 N为PB的中点，所以PD∥ON,又ONC平面OMN,PD 小题·分层分练 士平面OMN,由线面平行的判定定理可得，PD∥平面 OMV,A正确： L.D根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：MN=ON 速项B,由M,N分别为侧棱PA,PB的中点，得MN∥AB, oi-号o诚+-产i-产++ 又底面为正方形，所以MN∥CD,又MNC平面OMN,CD 亡平面OMN,由线面平行的判定定理可得，CD∥平面 因为MN= +叶所以解得= 1 OMN,又选项A中得PD∥平面(OMN,CDC平面PCD 故选D. PDC平面PCD,CD∩PD=D,由面面平行的判定定理可 得，平面PCD∥平面OMN,B正确： 选项C,因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线 MV所成的角，又因为四棱维中所有棱长都相等，所以 ∠PDC=60°，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°， C错误： B 速项D,因为底面为正方形，所以AB十AD=BD,又所 :2.BCD对于A,若点P在直线A,D上，则x=0,则AP 有棱长都相等，所以PB+PD=BD,故PB⊥PD,又PD 3b+c, ∥ON,所以ON⊥PB,D正确.故选ABD. 由于A1,P,D三点共线，故y十：= 12.解析：如图，取AB的中点F,连接DF交AE于点H,连接 1,A错误； PH,易知四边形DEFA为正方形，则DF⊥AE, 对于B,若点P在直线AC,上，则 B AP-AAC,A∈R,而AC=a+ b+c. 结合AP=m十b十c,得x=y= =入，B正确： 对于C,若点P在平面A,BD内， 由翻折前后的不变性可知，PH LAE, 即A,B,D,P四点共面， 当平面PAE⊥平面ABCE时，又平面PAE∩平面ABCE ! 则由AP=m+3b十c,可知x十y十x=1,C正确， =AE,PHC平面PAE, 所以PH⊥平面ABCE. 对于D,若点P在平面B1BDD,内，则AP=mAB+nAD十 由题意可知S=4.PH=DF=号V2十2-反， sAB1,(m+n+s=1), 剥AP=mAB+nAD+s(AB+AA)=(m十)AB+nAD 所以V-版=号×2X4= 十sAA1 3 又AP=xa十3b十c,期x+y=m十x+n=1,D正晴， 此参食为： 故选BCD. 3.C因为e1,e,e为三个不共面的空间向量， 答案号 由题意可知，存在a∈R,使得c=A(e十e)十(e一e), 即e,+e1=e1十(a十)e,一e1: 小题·真题真练 (λ=1 =1 L.Aa∩3=m,则mCa,mCB,对于①，若m∥n,则n∥a战n 所以入十=0，解得=一1.故速C. ∥B,①正确：对于②@，若m⊥，则可能n∥a或n与a相交， m=一 m=1 ②错误：对于③，若n∥a且n∥B,则n∥m,③正确：对于④，n 、 4A因为D0=x0A+2yOB-3O元. 与m所成角可以为[0，受]内的任意角.④错误，故选八 所以OD=-xOA-2yOB+3OC.又点D在△ABC确定的 2,B补形法设正三棱台ABC一AB,C,的高为h,三条侧 平面内，O是平面ABC外任意一点， 棱延长后交于一点P,作PO⊥平面ABC于点O,PO交平面 所以-x-2y+3=1,即x=2-2y, A1BC于点O,连接OA,OA·如图所示，由AB=3AB1, 则+y=(2-2)2+y=5y-8y+4=5(-号）十 2 >号故选八 164 参考答案 5.B在等边△ABC中，因为AB=33,可得△ABC的高为h 对于D,由空间向量共面定理可知空间向量a,b,c共面，则 =3×号=号所以0C=号=号×是=3 存在不全为0的实数x,y,2使xa十b十c=0,所以D正 确，故选C 在直角△POC中，可得PA=PB=PC=√PO+OC= 11.C :M为BC中点dA=号i+aC, √6+3-3√5， AM.AD=号AB+AC·A 又因为E,F分别为PB,PC的中点，可得EF=33,OE= 2 =Ai·A+号AC.Ad=0 OF=吉PC=35,在△0EF中，可得o∠B0F ∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形. 12.解析：分别以AB,AD,AP所在直线 OE+OF-EF5+号-7 为工轴，y轴，之轴建立空间直角坐 2OE·OF 2×9 10' 标系如图，则A(0.0,0),P(0,0,2) B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0), 所以O求.O求=1O·1O1os∠E0F=3y5x3y5× .PC=(2,2,-2),BC=(0,2,0). 2 2 设n=(x,y,x)为平而PBC的法 108,故选B 763 向量， 6.解析：因为a=(1.0,2),b=(-2,1.3) ”PC0:即r+y=0, 所以a+b=(一1,1,5)，a一b=(3,-1,-1),a-2b n·bC=0, =(5,-2,-4), 取x=1.则n=(1.0,1). 所以a-b|=√9+1+I=I.(a+b)·(a一2b)=-5 又BD=(-2.1,0), -2-20=-27. ∴点D到平而PBC的距离d= BD·n=反. 故答案为：√1T:一27. n 答案：√1T-27 答案W区 13.C作AG⊥BC,以A为原，点建 7.B因为a=(1,2,一y),b=(x,1,2), 所以a-b=(1-x,1,-y-2),2b=(2.x,2,4) 立如图所示空问直角坐标系， 二y-2 A(0,0,0),B(23,-2,0) 由2b∥(a-b),可得2x 4,解之得 T= C(23,2,0)P(xy), x≠0 y■ 故选B. (2+,号 2 8.COA+λOB=(1,-A,),os120°= 入+A √1+2以·V2 2,得 Ai=(23,-2.0) =士轻检脸X-不合慧高，合去，所以以=-⑤ =(兰，2告 6 9.C由图得：C市=CA+A花+B市 :AM.AB=5,3(25+x)-2-y=5,即√V3x一y-1 AP=(xyx),∴AP.AB=25x-2y=2.即C正确. 又由题意知，1A成.励1A店，i,B前=一吾- 故选C 3 所以C市=1CD1=|CA+AB+BD1 14.解析：由题意得，取C,D,中点M, =(CA+AB+BD) 则PC·PD=(PM+MC)(PM+MD) -CA+AB+BD:+2CA.AB+2 BD.AB+2CA.BD =PM-MC=PM-1. 因为PA=2, -1C:+1AB+1BD1:+21Ci1·A|os号+ 所以P在以A为球心2为半径的球面上， 2Bi1·1A创os受+21i·1Bi号 所以1P=AM-2=3-2=1,因为PM=2CD, 所以PD,⊥PC,所以PC与PD的夹角为90e =1+(w3)+2+0+0+2×1×2×(-2)）=6, 答案：90 所以CD1'=6→|CD1=,所以CD的长为√6，故选C 15.解析：由题千图可得： 10.C对于A,由于两条不同直线l,m的方向向量为v1,,当 AC·AD=(AB+BC)·AD=AB.AD+BC.AD=0+ l∥m时，∥，当y∥时l∥m,所以A正确， V5BD·AD=√3(BA+AD)·AD=√3|BPI·AD1·cos 对于B,因为0i-}Oi+号O成+号元，所以30成-O耐 ∠ADB=sBD×AD×AP-3·AD:-s. -0-0=0. BD 所以(0币-Oi)+(0D-Oi)+(O币-0元)=0. 答案W/⑤ 小题·真题真练 所以AD+BD+CD=0,所以AD=DB+DC, 1.C法1： 设E为BC的中点，所以AD=DB+DC=2DE,所以AD 连结AC,BD交于O,连结 号A正，所以点D在年面ABC内，且D为△ABC的重心， PO,则O为AC,BD的中，点 如图， 所以B正确， 因为底面ABCD为正方形， AB=4,所以AC=BD= 对于C.因为a+b+c=(a+b)+2X2c,所以a+b,2c,a 4√2，则DO=C0=2V2, 十b+c共面，所以(a十b,2c,a十b十c}不是空间向量的一 又PC=PD=3,PO=OP,所 组基底，所以C错误， 以△PDO2△PCO,则∠PDO=∠PCO. 165 培优限时练小题突破·数学 义PC=PD=3,AC=BD=4√2，所以△PDB≌△PCA,则 PA=PB. （3)由a/归得之=马-是，解得=4 在△PAC中，PC=3,AC=4√2，∠PCA=45°， 答案：(1)D(2)1Ca或1∥&(3)4 则由余弦定理可得PA=AC+PC-2AC·PCcos∠PCA 2.BC因为e为直线L的方向向量，n1,n:分别为平面a,3的 法向量(a3不重合)， -82+9-2x42x3x号-17. e⊥n,→l∥a或lCa,故A,D错误： n1⊥n2白a⊥3，B正确； 故PA=√7，则PB=I7. n1∥n:=a∥B,C正确.故选BC 故在△PBC中.PC=3,PB=17,BC=4, 3.D由正方体的性质，AB,∥DC,D,B,∥DB,AB,∩D,B 所以cos∠PCB=PC+BC-PB_9+16-17L =B1,DC∩DB=D. 2PC·BC 2×3×43· 易得平面AB,D1∥平面BDC1, 又0<∠PCB<π， 则两平面间的距离可转化为点B到平而AB,D1的距高， 所以sin∠PCB=√个-os∠PCB=2y2, 以D为坐标原，点，DA,DC.DD,所在的直线分别为x轴、y 3 轴、之轴 所以△PBC的面积为 建立空间直角坐标系， 34 S-PC.BCsin∠PCB=号×3x4x22=4vE 2 D 3 C 法2： 连结AC,BD交于O,连结PO, 则O为AC,BD的中点，如图， B 因为底面ABCD为正方形，AB =4,所以AC=BD=4√2， 在△PAC中，PC=3,∠PCA D y =45°， 则由余弦定理可得PA'=AC十PC2-2AC·PCcos.∠PCA =32+g-2×4V2×3×号=17，故PA=V7. 则A(a,0,0),B(a,a,0),A(a,0,a),C(0,a,0).B 2 (aa,a),D(0.0a) 所以0s∠APC=PA+PC-AC=17+9-32 -17 所以CA,=(a,-a,a),BA=(0,-a,0),AB=(0,aa), 2PA·PC 17 则 2×√17×3 B,D,=(-a,-a,0). pi.P元-Pi1P心1s∠APC=√mX3x(- )=-3. 连接A,C,由CA,·AB,=(a,-aa)·(0,a,a)=0,CA 17 ·B,D,=(a,-a,a)·(-a,-a,0)=0,且AB,∩B,D= 不妨记PB=m,∠BPD=0, B,可知ACL⊥平面AB,D, 因为Pò=号(Pi+P心=号(P馆+Pi,所以 得平面ABD,的一个法向量为n=(1,-1,1) (PA+PC)*=(PB+PD), 则两平面间的距离d= 芳得法D PA:+PC+2 PA.PC=PB+PD:+2 PB.PD. 4.解析：如知图所示，以A为坐标原点建 则17+9+2×（一3）=m2+9+2×3×mc0s0,整理得m2+ 立如图所示的空间直角坐标系， A 6mcos0-11=0①， 则B(1,0,0),D(0,1,0), 又在△PBD中，BD=PB+PD-2PB·PDeos,∠BPD, 即32=m2+9-6mcos0,则m2-6mcos0-23=0②， E(o,1)F(11,号) 两式相加得2m2-34=0,故PB=m=17, 所以BD=(-1,1,0),BF 故在△PBC中，PC=3,PB=√17，BC=4, (o1.号)B=(-121) 所以cos∠PCB=PC+BC-PB_9+16-171 设平面BDF的法向量为n 2PC·BC 2×3×43 =(1,y,2), 又0<∠PCB<T,所以sin∠PCB=√1-cos∠PCB |n·BD=0「-x+y=0 =2v2 3 所=0+号=0 所以△PBC的面款为S=专PC·BCin∠PCB=号×3X 令=一3，则x=2,y=2,所以n=(2,2,一3)， 4×22=4区.故选C 所以点E到平西BDF的距离d=n,成。4 17 2.ABD由于a,b,c不共面，易判断A,B,D中三个向量也不 =47 17 共面，可以作为一组基向量.对于C,有3(2b十3c)+(3a 9c)=3(a十2b),故这三个向量是共面的，不能构成基底. 故答金为： 第33练利用空间向量求空间角 答案 小题·分层分练 5.解析：由题意知，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y 1.解析：(1)由∥l,得a∥b, 轴，：轴建立空间直角坐标系如图所示，P(0,0,2), 即受--解-昌y=艺故选D C11.0),B(1.0,0.D(01.0,E(合号1.P元- (2)μ·a=-12+16-4=0, ∴μLa,lCa减l∥a. 11,-2),Bi-(-11,0.D-(分-71) 166