第31练 直线，平面平行与垂直的判定与性质-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

参考答案 且PN∥平而ABM, 第31练直线、平面平行与垂直的判定与性质 所以点P在线段CD上， 小题·分层分练 当PNCD时，线段PN最短，|ND=√2+3=I3, 1.C因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以AO= OC,又Q为PA的中点，所以QO∥PC,由线面平行的判定 |CD|=√+3=5.|CN|=√4-2=2V3. CN+ND=CDCNLND, 定理，可知A、B正确，又四边形ABCD为平行四边形，所以 AB∥CD,故CD∥平而PAB,故D正骑. 号1 CNI.IND1=1cD·IPN, 2.D若4⊥c,b⊥c,则4，b可以是平行，也可以是相交或并面， 故A错误： ·|PN1=23丽 5 若a∥b,a∥a,则b∥a或bCa,故B错误： 若a∥a,b∥a,c⊥a且c⊥b,当a∥b时，不能证明c⊥a,C选 故答案为，23丽 5 项错误： 若3⊥ay⊥a,且∩y=a,在a上取一点P,作PQ⊥a, 答案，2v3丽 5 由面面垂直的性质定理可得PQCB且PQCY,既a与PQ 重合，可得a⊥a,故D正确.故选D. 6.CA:若a∥a,b∥a,则两直线平行或异面或相交，故A 错误： 3.D连接AB1,BD1,AD1,AC,AC,如下图所示： B:若a∥b,b∥a,当直线a在平面a内时，则直线a不平行于 平面a,故B错误： C:若a∥a,设过a的平面与a相交于c,则a∥c, 又因为b⊥a,cCa,所以b⊥c,所以b⊥a,所以a⊥b,故C 正确： D:若db,b∥a,则a⊥a或a∥a或a二a,故D错误： 故选C. 7.C如图，：A,E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与 因为P,M,N分别为AB,BB,DD,的中点，故MP∥AB1, AC,BD垂直，，选项B,D错误： B,D,∥MN. A,E在平面BCC,B,上的投影为 D 又MPt面AB,D,,AB,C面AB,D,故MP∥面AB,D: BC,且B,C⊥BC, 又MNt面AB,D1,B,D,C面ABD1,故MN∥面AB,D: .A ELBC,故选项C正确： 又MP∩MN=M,MP,MNC而MNP,故面MNP∥ (证明：由条件易知，BC1⊥B,C,BC, 面AB,D1: CE.又CE∩BC=C, 则垂直于平面MNP的直线一定垂直于面AB,D1: .BC1⊥平面CEA,B.又AEC平面 显然CC⊥面A,BCD,,BD,C面AB,CD1,故B,D1⊥ CEAB,.AE⊥BC1.) CC1,又B,D,⊥A,C1,A,C∩CC,=C,AC,CC:C :A,E在平面DCC,D,上的投影为D,E,而D,E不与DC 面ACC. 垂直，故选项A错误，故选C, 故B1D,⊥面AC,C,又A,CC面A,CC,故AC⊥B1D1: 8.C如图，设平面a截三棱锥 同理可得A,C⊥AB,,又AB,∩BD1=B1·AB1,B1DC面 所得的四边形EFGH是平行 ABD,故A,C⊥面ABD,也即AC⊥面MNP: 四边形，则EF∥GH,EF过平 若其它选项的直线垂直于平面MNP,则要与AC平行，显 面BCD,GHC平面BCD,所 然都不平行，故选D. 以EF∥平面BCD,又EF□ 4.解析：因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是直 平面ACD,平而ACD∩平而 径，BC,AD都是母线，又E是底面圆周上异于A,B的一点， BCD=CD,则EF∥CD,EF□ 于是得AE⊥BE.而BC⊥平面ABE,AEC平面ABE,则BC 平面EFGH,CD亡平面EF ⊥AE.因为BC∩BE=B,BC.BEC平面BCE,则AE⊥平面 GH,则CD∥平面EFGH,同 BCE,因为CEC平面BCE,因此得AE⊥CE,①正确：同理， 理AB∥平面EFGH,所以该三棱锥与平面a平行的棱有2 BE⊥DE,②正确：，点D不在底面ABE内，而直线AE在底 条，故选C. 面ABE内，即AE,DE是两条不同直线，若DE⊥平面： 9.ABC对于A选项，如图，取EF的中点 BCE,因AE⊥平而BCE,与过一点有且只有一条直线垂直 H,连接PH,DH,由题意知PE=PF, 于己知平面矛盾，③不正确：因为AEL平面BCE,而AEC DE=DF,故PH⊥EF,DH⊥EF,又 平面ADE,于是得平面ADE⊥平而BCE,④正确 PH∩DH=H.所以EF⊥平面PDH,所 答案：③ 以PD⊥EF,故A正确；根据折起前后的 5.解析：取BB的中点为D,连接CD,ND, 题图，可知PE,PF,PD三线两两垂直，于是可证平面PDE 周为ND∥AB,CD∥MB,ND, ⊥平面PDF,故B正确：根据A选项可知∠PHD为二面角 CD丈平面AMB,AB1,MBC平 PEFD的平面角，设正方形ABCD的边长为2，因此PE 面AMB,, PF=1,PH=.HD=2反--32.PD=2,由余孩定 所以ND∥平面AMB,CD∥平 2 2 面AMB, 又NDNCD=D,ND,CDC平 理释eo心∠PHD=PHPHHDD-了故C运角：由于 2PH·HD 面CND. PE=PF≠PD,故点P在平面DEF上的正投影不是△DEF 由面面平行的判定可知，平面 的外心，故D错误，故选ABC. CND∥平面AB,M, 10.解析：PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,故PA⊥BC, 因为P是侧面BCC,B上一点 AB+BC=AC,故AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,ABC平 面PAB,故BC⊥平面PAB,PBC平面PAB,故BC⊥PB, 163 培优限时练小题突破·数学 ∠PBC=受；将P,A,B,C放入长方体中，知国所示： 5aw=号×6X号=9v后，所以正 2 三棱台ABC一A1B,C,的体积V= 3 故P0=号=2原.由三三棱台的性 质可知，O为底面ABC的中心，则 外接球的半径为R=V6+8+10 OA=号×V6-3=2原，周为P01年面ABC,所以 2 =5√②，故表面积为 ∠PAO是A1A与平而ABC所成的角，在Rt△PAO中，tan 4xR=200元 故答案为：∠PBC:200π. ∠PA0-识-1，放选B 答案：∠PBC200x 11.ABD选项A,连接BD(图略)，显然O为BD的中点，又 第32练空间向量及空间位置关系 N为PB的中点，所以PD∥ON,又ONC平面OMN,PD 小题·分层分练 士平面OMN,由线面平行的判定定理可得，PD∥平面 OMV,A正确： L.D根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：MN=ON 速项B,由M,N分别为侧棱PA,PB的中点，得MN∥AB, oi-号o诚+-产i-产++ 又底面为正方形，所以MN∥CD,又MNC平面OMN,CD 亡平面OMN,由线面平行的判定定理可得，CD∥平面 因为MN= +叶所以解得= 1 OMN,又选项A中得PD∥平面(OMN,CDC平面PCD 故选D. PDC平面PCD,CD∩PD=D,由面面平行的判定定理可 得，平面PCD∥平面OMN,B正确： 选项C,因为MN∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线 MV所成的角，又因为四棱维中所有棱长都相等，所以 ∠PDC=60°，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°， C错误： B 速项D,因为底面为正方形，所以AB十AD=BD,又所 :2.BCD对于A,若点P在直线A,D上，则x=0,则AP 有棱长都相等，所以PB+PD=BD,故PB⊥PD,又PD 3b+c, ∥ON,所以ON⊥PB,D正确.故选ABD. 由于A1,P,D三点共线，故y十：= 12.解析：如图，取AB的中点F,连接DF交AE于点H,连接 1,A错误； PH,易知四边形DEFA为正方形，则DF⊥AE, 对于B,若点P在直线AC,上，则 B AP-AAC,A∈R,而AC=a+ b+c. 结合AP=m十b十c,得x=y= =入，B正确： 对于C,若点P在平面A,BD内， 由翻折前后的不变性可知，PH LAE, 即A,B,D,P四点共面， 当平面PAE⊥平面ABCE时，又平面PAE∩平面ABCE ! 则由AP=m+3b十c,可知x十y十x=1,C正确， =AE,PHC平面PAE, 所以PH⊥平面ABCE. 对于D,若点P在平面B1BDD,内，则AP=mAB+nAD十 由题意可知S=4.PH=DF=号V2十2-反， sAB1,(m+n+s=1), 剥AP=mAB+nAD+s(AB+AA)=(m十)AB+nAD 所以V-版=号×2X4= 十sAA1 3 又AP=xa十3b十c,期x+y=m十x+n=1,D正晴， 此参食为： 故选BCD. 3.C因为e1,e,e为三个不共面的空间向量， 答案号 由题意可知，存在a∈R,使得c=A(e十e)十(e一e), 即e,+e1=e1十(a十)e,一e1: 小题·真题真练 (λ=1 =1 L.Aa∩3=m,则mCa,mCB,对于①，若m∥n,则n∥a战n 所以入十=0，解得=一1.故速C. ∥B,①正确：对于②@，若m⊥，则可能n∥a或n与a相交， m=一 m=1 ②错误：对于③，若n∥a且n∥B,则n∥m,③正确：对于④，n 、 4A因为D0=x0A+2yOB-3O元. 与m所成角可以为[0，受]内的任意角.④错误，故选八 所以OD=-xOA-2yOB+3OC.又点D在△ABC确定的 2,B补形法设正三棱台ABC一AB,C,的高为h,三条侧 平面内，O是平面ABC外任意一点， 棱延长后交于一点P,作PO⊥平面ABC于点O,PO交平面 所以-x-2y+3=1,即x=2-2y, A1BC于点O,连接OA,OA·如图所示，由AB=3AB1, 则+y=(2-2)2+y=5y-8y+4=5(-号）十 2 >号故选八 164第一部分 专题六 立体几何与空间向量 第31练 直线、平面平行与垂直的判定与性质 [思路引导] [小题·精讲精练 求点到平面的距 离,按照定义需要找到这点到 [例题讲坛] 平面的垂线段,一般不好找垂 【例1】在三校锥S一ABC中,△ABC是边长为6 足,可以利用等体积法转化为 的正三角形,SA-SB=SC=15,平面DEFH分 方程问题求解. 别与AB,BC,SC.SA交于D,E,F,H.D,E分 [解析]取CD的中点O,连 别是AB,BC的中点:如果直线SB/平面 接OB,OM. DEFH,那么四边形DEFH的面积为 则OB-OM-③,OB1CD,MO1CD [思路引导] 由直线SB/平面DEFH,联想到 又平面MCD 平面BCD,则MO 平面BCD. 利用线面乎行的性质,判定四边形DEFH的形 所以MO/AB,MO/乎面ABC. 状,进而得到其面积, 所以点M,O到平面ABC的距离相等 [解析] 取AC的中点G,连接 作OH BC于点H,连接MH,则MH |BC 交 SG.BG. 求得OH=OC·cos 30*-3. 易知SG AC,BG |AC. 2 - $GOBG-G. #△# MH- 业 故AC1平面SGB, 所以ACSB. 设点A到平面MBC的距离为d,由VA-MC= 时 因为SB/平面DEFH.SBC平面 SAB,乎面SABO平面DEFH= 3 3 寸 HD,则SB//HD.同理SB//FE. 又D,E分别为AB,BC的中点, 2. - 则H,F也为AS,SC的中点, # t [答案] 【规律归纳】 (1)判定面面垂直的方法: 所以四边形DEFH为平行四边形。 ①定义法:证明两平面形成的二面角是直角. 又 AC|SB.SB/HD,DE/AC, ②判定定理法;a I③,aCa→a |B 所以DE HD. (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行 1 所以四边形DEFH为矩形 转化,在一个平面内作交线的垂线,转化为线面 共面积s-HF·HD-(-Ac)·(-sB)-45. 垂直,然后进一步转化为线线垂直, [小题·分层分练] [答案] [一层·打基础] 【规律归纳】1.利用判定定理判定直线与平面平 知识点一 直线、平面平行的基本问题 行,关键是找平面内与已知直线平行的直线,可 1.如图,P为平行四边形AB 先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出 CD所在平面外一点,Q为 该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的 PA的中点,O为AC与 对边或过已知直线作一平面找其交线. BD的交点,下面说法错误 2.判断或证明线面平行的常用方法 的是 - (1)利用线面平行的定义(无公共点). A.OQ/平面PCD B.PC/平面BDQ (2)利用线面平行的判定定理(aa,bCa,a/b C.AQ/平面PCD D.CD/平面PAB →a/a). 知识点二 直线、平面垂直关系的基本问题 (3)利用面面平行的性质(a/,aCa→a/③; 2.已知直线a,b,c是三条不同的直线,平面a,3.7 a/,a,a/a→a/③). 是三个不同的平面,下列命题正确的是 。 ) 【例2】如图,△BCD与△MCD都是边长为2的 A.若aIc,blc,则a/b 正三角形,平面MCD 平面BCD,AB 平面 B.若a/b,a/a,则b/a BCD,AB=23.则点A到平面MBC的距离 C.若a/a.b/a,cla,且cIb,则cIa D.若3la,vIa,且3Oy=a,则aIa 67 培优限时练小题突破·数学 3.如图,在正方体ABCD-A.BCD. 中,P,M,N 10.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四 分别为AB,BB ,DD;的中点,则与平面MNP 面体称之为鳖,如图,在鳖P一ABC中, ( 垂直的直线可以是 ) $P$A1平面ABC.已知 AB=6,CB=8,PA=A$C$ D -10,请写出三角形PBC中的直角: 若P,A,B.C都在球O的球面上,则球O的表 B. 面积为 .......... P A.... __.. .-..D ,p 1 A.AB B.AD C.AC D.AC 知识点三 平行、垂直关系的判断 4.如图,四边形ABCD是圆柱的 [三层·早拔尖 轴截面,E是底面圆周上异于 11.(多选)如图,在校长均相等的四枝锥PABCD A.B的一点,则下面结论中错 中,O为底面正方形的中心,M.N分别为侧梭 .(填序号) PA,PB的中点,则下列结论正确的有 误的是 ) ① AEICE;② BEI DE: ③DE1平面BCE;④平面 ADE 平面BCE. 5.正三校柱ABC一A.BC 的底面边长是4.侧校 长是6,M.N分别为CC.AB的中点,若P是侧 面BCC B 上一点,且PN/平面ABM,则线 段PN的最小值为 A. PD//平面OMN [二层·提考能] B.平面PCD/平面OMN 6.已知直线a,b和平面。,则下列判断中正确的是 C.直线PD与直线MN所成角的大小为90 ( ) D.ON 1PB A.若a/g:b/g:则a/b 12.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD-2,点E B.若a/b,b/g,则a/a 为线段CD的中点,沿直线AE将△ADE翻折, C.若a/a,bla,则aIb 点D运动到点P的位置,当平面PAE平面 D.若a |b,b/g,则a ABCD时,三校锥P一ABC的体积为 7.在正方体ABCDA.BC.D.中,E为校CD的中 点,则 ) D D A.AE1DC B.A.E|BD C.A.EIBC: D.AEAC 8.若平面。截三校锥所得截面为平行四边形,则该 三校锥与平面。平行的梭有 ( ) B.1条 A.0条 [小题·真题真练] C.2条 D.0条或2条 1.(2024·全国甲卷)设a、3为两个平面,m,n为两 9.(多选)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是 条直线,且a0③-n,下列四个命题; AB,BC的中点,将△ADE,△CDF,△BEF分别 ①若n/n,则n/a或n/B ②若nn,则n|a 沿DE,DF,EF折起,使点A,B.C重合于点P 或n③若n//a且n/,则m/n④若n与 (如图2),则下列结论正确的是 C ) a,3所成的角相等,则nn 其中所有真命题的编号是 _ A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 1 阁1 图2 2.(2024·新课标全国II卷)已知正三校台ABC A. PDEF A.BC的体积为 B.平面PDE1平面PDF 与平面ABC所成角的正切值为 #### ) C.二面角P-EF-D的余弦值为3 B.1 C.2 D.3 D.点P在平面DEF上的正投影是△DEF的外心 68