第30练 空间点、直线、平面之间的位置关系-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题六 立体几何与空间向量 第30练 空间点、直线、平面之间的位置关系 [小题·精讲精练] [解析] 将直三校柱ABC一A B C 补形为如 图所示的正四校柱: [例题讲坛] 连接B D.AD,则B D/A:C. 【例1】在图中,G,N,M,H分别是正三校柱(两 则异面直线AB 与AC所成角 底面为正三角形的直校柱)的顶点或所在校的中 的平面角为DBA(或其补角), 点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 又DB-BA-1^2+(2){*} .(填上所有正确答案的序号) 3,AD-12+1-2, ## 由余弦定理可得:cosDBA (V3){}+(3){}-(v2)②} 2×3x③ 交 ③ 2 ④ [思路引导] 异面直线可采用直接法或反证法; -去 平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公 故选B. 理4及线面平行与面面平行的性质定理;垂直关 一- [答案] B 系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决, 【规律归纳】 求异面直线所成的角的三个步骤 [解析]1 图①中,直线GH/MN; (1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成 时 图②中,G.H,N三点共面,但M6面GHN. 的角, 因此直线GH与MN异面; 寸 (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角; 图③中,连接MG,GM//HN,因此GH与MN --- (3)三求:解三角形,求出所作的角, 共面; 图④中,G.M,N三点共面,但H面GMN. [小题·分层分练] 因此GH与MN异面,所以图②④中GH与 此 [一层·打基础] MN异面. 知识点一 [答案]②④ 平面的基本性质及应用 , 【规律归纳】 判定两直线的位置关系的依据就在 1.已知a,3是两个不同的平面,则下列命题不正确 的是 ( 于两直线平行、相交、异面的定义,很多情况下, ) 定义就是一种常用的判定方法, A.若aOg-l,Aa且Aé3,则A/ 【例2】如图,在直三楼柱ABC一A.BC;中, B.若A.B,C是平面a内不共线三点,AE3,B 9.则C{ C.若AEa且BEa,则直线ABCa AA.-1,则异面直线AB 与A.C所成角的正弦 D.若直线a二a,直线b二B,则a与5为异面直线 值为 . ) 2.在空间四边形ABCD中,若E,F分别为AB,BC { 的中点,GECD,HEAD,且CG=2GD,AH= 2HD,则 ~ B A.直线EH与FG平行 B.直线EH,FG,BD相交于一点 C.直线EH与FG异面 D.直线EG,FH,AC相交于一点 知识点二 空间直线、线面的位置关系的判定 B 3.若直线/是平面a的一条斜线,则在平面a内与/ ) 垂直的直线 ) 4. A.有且只有一条 B.有无数条 C.有且只有两条 D.不存在 C 4.过直线/外两点作与/平行的平面,那么这样的 [思路引导] 平面 ( ) 先补形,再作出异面直线AB. 与A.C所成角的 A.不存在 B.只有一个 平面角,然后结合余弦定理即可求解, C.有无数个 D.不能确定 65 培优限时练小题突破·数学 空间中平面与平面的位置关系 知识点三 A.底面半径为1 5.下列命题中,错误的命题是 ( B.母线与底面所成的角为{ A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C. MN 1 BS C.一条直线与两个平行平面所成的角相等 D. MN/BS D.一条直线与两个平行平面中的一个垂直,则 11.(多选)如图,在正方体ABCD-A.B.C.D;中, 这条直线必与另一平面垂直 点F是线段BC 上的动点,则下列说法正确 6.(多选)已知空间中的两条直线n.n和两个平面 的是 ( , a,③,mCa,nC3,则 ) ) A.若m/n.则g,B没有公共点 B.若a/3,则n,n没有公共点 C.若mn,则a,③可能互相平行 D.若a3.则n,n可能互相平行 [二层·提考能] 7.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条 A.无论点F在线段BC 上怎么移动,都有 平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重 A.F1B.D 合;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个 B.当F为BC;的中点时,才有A1F与BD相 平面,其中正确的序号是 ( ) AE A.① B.①④ C.②③ D.③④ 8.如图,在正方体ABCD一ABC.D.中,P,Q分 C.无论点F在线段BC;上怎么移动,异面直线 别是校AA.,CC;的中点,平面DPQO平面 A.F与CD所成的角都不可能是30 ABCD一/,则下列结论错误的是 ( ) D.当F为BC;的中点时,直线AF与平面 D C BDC,所成的角最大,且为60 12.如图,已知正方体ABCD D :0 B. C 一A.B.CD 的校长为 4.M,N,G分别是梭 AA..BC,AD 的中点; D 平面MGN截正方体 N A./过点B ABCD-ABCD 的 B B./不一定过点B 截面面积为 C.D.P的延长线与DA的延长线的交点在/上 D.D.Q的延长线与DC的延长线的交点在/上 [小题·真题真练] 9.以下四个命题中,真命题的个数为 (1)不共面的四点中,其中任意三点不共线; 1.(2024·天津卷)若n,n为两条直线,a为一个平 _ 面,则下列结论中正确的是 (2)若点A.B.C.D共面,点A.B,C.E共面,则 ) A.B.C.D.E共面; A.若n/a,n/a,则n” (3)若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线,c B.若m/a,n/a,则m/n 共面; C.若n/a,n|a,则n n (4)依次首尾相接的四条线段必共面, D.若n/g,nlg,则n与n相交 [三层·早拔尖] 2.(2022·新高考I卷)(多选)已知正方体ABCD 10.(多选)如图,S为圆锥的项 一A.BCD,则 __2 点,AB为底面圆的直径,圆 A. 直线BC,与DA;所成的角为90 锥的侧面展开图为半圆,且半 B.直线BC.与CA;所成的角为90* 圆的面积为2n,M为SA的中 点,N为孤AB的中点,下列 C.直线BC 与平面BB;D.D所成的角为45* ( ) 说法正确的是 D. 直线BC,与平面ABCD所成的角为45* 66参考答案 而P为线段A,C,的中点，四边形A,B,CD,为正方形， }小题·真题真练 所以P为BD,的中，点，所以BD∩PQ=P, 1,B设圆柱和圆雏的底面半径均为，因为它们的高均为， D 且侧面积相等，所以2×尽=πr√(3)+r,得T2=9,所 以国维的体积V=子㎡×5=3尽，故选B 2.C割补法，因为AD,BE,CF两两平行，且两两之间距离为 1,则该五面体可以分成一个侧授长为1的三棱往和一个底 面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的休积等于棱长均为】的直 若存在点Q,使得BD∥PQ,且B,D1,PQ不重合： 三校挂的依积，四校维的高为号，底面是上底为1、下底为 又BD∥BD,所以PQ∥BD, 这与B,D,∩PQ=P矛盾，假设不成立，A错误： 2,高为1的梯形，故孩五西体的体积V=号×1×号×1+ 对于B,若Q为BC中点，则PQ∥AB,而AB⊥AB,故 PQ⊥AB, 又AD⊥面ABB,A,ABC面ABB,A,则A,BL⊥AD,故 3.解析：设升，斗量器的高分别为h1mm,h:mm,升，斗，斜量 PQ⊥AD, 器的客积分别为V1mm,V:mm,Vmm3,因为升、斗，斛量 因为AB:∩AD=A,AB,ADC平面AB,C,D,则PQ⊥平 器的容积成公比为10的等比数列，所以V,=10V:即r× 面ABCD 所以存在Q使得PQ⊥平而ABCD,B正确： (要)×280=10X×(要)×，解得=23.又V 10w,×()×23=10××(2) Xh:,所以a:= 57.5,所以升、斗量器的高分别为57.5mm,23mm. 答案：2357.5 第30练空间点、直线、平面之间的位置关系 小题·分层分练 1.D由根据A∈a且B∈3，则A是平面《和平面3的公共点， 对于C,在正方体ABCD-A,B,CD,中，AB∥C,D,AB 又a∩B=l,由基本事实3可得A∈l,故A中命题正确：由基 =CD1, 本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面， 所以，四边形ABCD1为平行四边形，则BC1∥AD, 又A∈3，B∈B,且A,B,C∈a,则CB,故B中命题正确：由 而AD,∩面APD=A,故BC与面APD不平行， 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么 D 这条直线在这个平面内，故C中命题正确：由于平面a和平 面3位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异 面、相交，平行、重合，故D中分题错误 2.B因为CG=2GD,AH=2HD,且 ∠ADC=∠HDG, 所以△ADC∽△HDG,所以HG∥ H AC且HG=子AC, 所以Q在线段BC,上运动时，Q到面APD的距离不是定 值，又△APD的面积为定值， 因为E,F分别为AB,BC的中点，所 故三棱锥Q一APD的体积不是定值，C正确： 以EF∥AC且EF=AC, 对于D,因为AC⊥BD,ACLBB, 所以HG∥EF且HG≠EF,故四边形EFGH为梯形，且 BD,BB,C平面BDD1B,BD∩BB=B, EH,FG是械形的两腰， 所以AC⊥平面BDDB,,又BPC平面BDDB, 所以EH,FG交于一点，设交点为P,则P∈EH,P∈FG, 所以AC⊥BP, 所以若点Q与点B重合，则PQ⊥AC,D正确.故选BCD 又因为EHC平面ABD,且P∈平而BCD 所以P∈平面ABD,且P∈平面BCD, 13.解析：椭圆长轴为AB,球心为，记椭圆长半轴长为a,短 又平面ABD∩平面BCD=BD, 毕轴长为b,半焦距为c,琼半径为R, 所以P∈BD 则b=R,连接椭圆中心O与球O',则有AA∥BB'∥ OO,连A0,B0,HO, 所以点P是直线EH,BD,FG的公共点， 故直线EH、FG,BD相交于一点. 则∠AOB=180°-∠0AB-∠OBA=180°- 故选B. 合（∠A'AB+∠BBA)=180-·180=90, 3.B如图设钟线L与平面a交 在R△AOB中，OA=OB=OO=a.OH=R=b.OH 于点A,在平面a内过点A作 ⊥AB, 直线a⊥l, 则在平面a内所有与直线a平 所以OH=√OO-O=√a-6=c,所以H为描圆 行的直线均与直线【垂直， 的一个焦点 故在平面a内与l垂直的直线 故答案为：一个焦 有无数条，故选B 答案：一个焦 161 培优限时练小题突破·数学 4.D过直线【外两点作与！平行的平面，如果两点所在的直！ 分别为AS,AB中，点，则BS∥MO,结合圆锥性质知NO1 线与已知直线相交，则这样的平面不存在：如果两点所在的 平而ABS, 直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个：如果两点所 因为平而MOCABS,则MO⊥NO,故MO与MN不垂直， 在的直线与己知直线异面，则这样的平面只有一个，图此只 所以MN与BS不垂直，MN与BS是异面直线，故C,D选 有D正确，故选D, 项错误，故选AB. 5.AA:平行于同一条直线的两个平面可能平行、相交，错误： 11.ABC对于A选项，在正方体ABCD-A BC D1中，连接 B:平行于同一个平面的两个平面必平行，正确： A,C1,AB(图略)，易知B,D⊥平面ABC,又A:FC平面 C:由等角定理知：一条直线与两个平行平面所成的角相等， ABC,AF⊥BD,故A正确：对 D 正确： 于B选项，如图，当F为BC,的中点 D:一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则这条直线必 时，连接BC,AD,BC与BC,交于 与另一平面垂直，正确.故选A. 点F,A,F与B,D共面于平面 6,BCD若m∥n,则a∥B或a3相交，故A错误： ABCD,且必相交，交点为E,易知 若a∥3，则m,n没有公共点，故B正确： △A,DE∽△FB,E,所以F=B下 A E DA 若m⊥n,则a,3可能互相平行也可能相交，故C正确： 若a3,则m,n可能互相平行也可能相交还可能异面，故D =2,故B正确： 正确，故选BCD. 对于C选项，点F从点B移至点C,,异面直线AF与CD 7.B①显然正确：②错误，三条平行直线可能确定1个或3个 所成的角先变小再变大，当F为BC:的中点时，异面直线 平面：③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误：①显然 正确，故选B. A,F与CD所成的角最小，此时该角的正切值为号，最小 8.B连接PB,QB,如图， 角大于30°，故C正确： 对于D选项，点F从点B移至，点C,直线AF与平面 BDC所成的角先变大再变小，当F为BC,的中点时，设 点O为A:在平面BDC上的投影，连接OF(图略)，则直 B 线AF与平面BDC,所成角的最大角的参孩值为咒 D 6 =了，则最大角大于60，故D错误.故选ABC 2 F 12.解析：在正方体ABCD-AB,C,D1中， 因为P,Q分别是被AA1,CC的中点， 延长GM交DA延长线于L, 由勾授定理得DP=DQ=QB=BP, 连接LN交AB于P,并延长 所以四边形DPBQ是菱形， 交DC延长线于R, 所以D,P,B,Q四点共面，即B∈平面DPBQ, 延长MG交DD,延长线于 G 又B∈平面ABCD,所以B∈1，故A结论正确，B结论错误， K,连接KR交D,C,于S,交 B 如图，延长DP与DA的延长线交于点F,延长D,Q与DC CC于Q, 的延长线交于点E, 易知点L,R,K共面，平面 因为DFC平面D1PBQ,所以F∈平面D,PBQ. MNG即为平面LRK, 因为DFC平面ABCD,所以F∈平面ABCD,所以F∈l, 所以平面MGN戴正方体 同理E∈(，故C,D正确.故选B ABCD一A,BC,D,的截面 9.解析：对(1)，可以用反证法证明：假设任意3点均共线， 为六边形PNQSGM, 不妨设A,B,C共线， 因为M,N,G分别是棱AA1,BC,AD的中点， 则由一直线和一直线外的点确定一个平面， 所以根据相似比易知点P,Q,S,G都为其所在正方休棱的 知A,B,C.D共面， 中，点，则易得六边形PNQSGM为正六边形， 这与题设矛盾，∴.题目成立，得证.故(1)正确： 图为正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为4， 对(2)，从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A, B,C三点共线，则结论不正确，故(2)错误： 所以正六边形PNQSGM的边长MN=√2+2=2√2， 对(3)，共面不具有传递性，直线b,c可能异面，故(3)错误： 对(4)，，此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上，故 所以藏面西积为6××(2)°=12，厅 (4)错误， 故答案为：125. 故答案为：1」 答案：125 答案：1 小题·真题真练 10.AB如图， 1.C对于A,B,若m∥a,n∥a,则m与n可能平行、相交或异 设圆锥的底面半径为”，母线 面，故A,B错误：对于C,D,若∥a,n⊥a,则m⊥n,且与 长为k,由题意得之=2m, n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误. 得1=2， 2.ABD在正方体ABCD-AB,CD1中，因为BC⊥BC, 半圆的孤长为l红=2π=2πr, BC⊥AB·所以BC⊥平面A,B,CD,所以BC⊥DA 所以r=1,故A远项正确： BC⊥CA,,故选项A,B均正确： 母线与底面所成角为∠SBA, 设AC,∩BD,=O,因为AC⊥平面BB,DD,所以直线 在Rt△SOB中，cos∠SBA= BC与平面BB,D,D所成的角为∠C,BO,在直角△CBO 千=是所以∠SBA=吾，故 。1 中，an∠CB0-总-合故∠CB0=30,故选项C错误： B选项正确： 0 直线BC与平面ABCD所成的角为∠C,BC=45°，故选项D 连接MN,MO,NO,因为M.O 正确，综上，答案选ABD 162