第26练 等差数列及其前n项和-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题五数 列 第26练 等差数列及其前项和 [小题·精讲精练] [解析]法1：设等差数列{am}的公差为d,由 Ss=S12得5a1+10d=12a1十66d, [例题讲坛] 数列{an}满足a1=4,a= 4m-1十2n-2 所以d= 841<0.设此数列的前n项和最大， 1 【例1】 n-1 an≥0， (m≥2)，则+1+1+…十1 则 ( al a2 a3 2024 (am+1≤0. 2021 A.202函 1012 B.202函 C.1012 D. 023 4048 4048 即 a,=a+n-1D…()a1≥0. [思路引导] a+1=a1+n…(-8)a1<0 由等差数列的定义可判断供}是以=4为首 交 解得m9即8≤≤9，又n∈N“,所以当n=8 项，2为公差的等差数列，即可利用裂项求和 n≥8， 求解 作 或n=9时，Sm有最大值。 [解析] 将0=0m-1+2m- 化简为：一a-1 法2：由S5=S12,得a6十a1十ag+ag十a10十a11 业 n-1 n-1 =2 十a12=0,即7ag=0,ag=0,由a1>0可知d<0, 故当n=8或n=9时Sm最大. 时 所以数列 }是以号=4为首项，2为公差的等 法3：由S5=S12,可得a1=-8d,所以Sn 可 差数列 沿 所以4”=4+2(n-1)=2n+2,即 n =2n(n十1) 由n∈N”并结合Sm对应的二次函数的图象知， 当n=8或n=9时Sn最大. 此 =(所以 [答案]8或9 线 a? + 2 【规律归纳】求等差数列前n项和的最值，常用的 [1-）+(合-）++（-】 方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转 折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得 72 和的最值：(2)利用公差不为零的等差数列的前 所以1+1+ 1…十 2024 1012 t项和Sm=An2+Bn(A,B为常数，A≠0)为二 a as d2024 4050 2025 次函数，通过二次函数的性质求最值， 故选B. [答案] B [小题·分层分练] 【规律归纳】 判定一个数列是等差数列还常用到 [一层·打基础] 的结论： (1)通项公式：am=pn十g(p,g为常数)台{an}是 知识点一等差数列的基本运算 等差数列. 1.已知Sm是等差数列{an}的前n项和，若a1十a3+ (2)前n项和公式：Sn=An2十Bm(A,B为常数) a5=27,S10=115,则数列{am}的公差为( 台{am}是等差数列.问题的最终判定还是利用 定义， B.2 c D.1 【例2】等差数列{am}中，a1>0,Ss=S12,则当S, 2.在等差数列{am}中，若Sn为前n项和，2a?=as 有最大值时，n的值为 +5,则S11的值是 ( ) [思路引导]求等差数列前n项和的最值的 A.55 B.11 C.50 D.60 方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法（配方 知识点二 等差数列的性质及应用 法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N”. 3.已知Sm为等差数列{am}的前n项和，若a2=5, (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定 a5=2,则S6= n的值，使S取得最值. A.9 B.21 C.39 D.51 55 培优限时练小题突破·数学 4.设等差数列{am},{bn}的前n项和分别为Sm,:12.在数列{am}中，a1=2,a2=一3.数列{bn}满足 工，若对任意正整数都有=则 bm=am+1一am(n∈N").若(bm}是公差为1的 等差数列，则(bm)的通项公式为bm= a3 ag 干十5干b, ( am的最小值为 A B品 c D. 13.公差不为0的等差数列{am}的前n项和为Sn, 若a6=3a4,且S1o=入a4,则1的值为( ) 知识点三等差数列的最值问题 A.15 B.21 C.23 D.25 5.若{am}是等差数列，Sm表示{am}的前n项和，as 十a8>0,Sg<0,则{Sm{中最小的项是 ( [三层·早拔尖] A.S B.S5 C.Se D.Sz 14.已知{am}是公差为2的等差数列，其前n项和 6.(多选)等差数列{am中，a2=一7，a5=一1，若 为Sm,S4是a2与a21的等差中项，则am= Sn=a1十a2+…+an,Tn=a1a2…am,则() A.S有最小值，Tm无最小值 :设6，=(）广·a…若对y∈N,使得 B.S有最小值，Tm无最大值 ≤入恒成立，则入的取值范围为 C.Sm无最小值，Tm有最小值 15.(多选)设Sn是数列{am》的前n项和，且a1=一1， D.Sm无最大值，Tm有最大值 am+1=SnSm+1,则下列选项正确的是() [二层·提考能] 7.设等差数列(am}的前n项和为Sn,若ag十a7+ A.an=- 217 as+ag7,则tanS4 ( -1,n=1, B.an= A.-③ 11 ,n≥2 3 C.-3 D.3 -1 8,已知等比数列{an)的各项均为正数，若a1,4 1 C数列兮}为等差数列 a3,a2成等差数列，则g十a10 1 ( a8十ag D.+ S2 十…十 =-5050 S10o A.√3+1B.3-1C.4+23D.4-2√3 [小题·真题真练 9.《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其 中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之 1.（2024·全国甲卷)记S,为等差数列{am}的前n 剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？ 项和，已知S5=S10,a5=1,则41= ( 意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将 它们三个三个地数，会剩下2个：五个五个地数， A名 B号 C.-3 n 会剩下3个：七个七个地数，也会剩下2个，这些 2.(2024·新课标全国Ⅱ卷)记S,为等差数列{an》 物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余 的前n项和，若a3十a4=7,3a2十a5=5,则S10 二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列， 则前10个数的和为 ( A.754 B.755 C.756 D.757 3.(2023·新高考I卷)记S,为数列{am}的前n项 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=2, 和，设甲：口，为等差数列：乙：停为等差数 S8=12,则S20= A.30 B.58 C.60 D.90 列，则 11.(多选)已知等差数列{am}的前n项和为Sm,a2 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 =4,S5=35,则 ( ) B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 A.nan的最小值为1 B.nSn的最小值为1 C.甲是乙的充要条件 C合为递增数列 为递减数列 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 56参考答案 中>a+20.≥2 7.D:(a,)是等差数列，且a,十a,+u,十aa= 2x <n2m≥2 ,+a,=s14a-=7ata,)=号 2 pa<动1o<<3 1 tan Su=tan弩=3. 。高 8.A因为等比数列{a.》中的各项都是正数，设公比为g,得 q>0又a1,aa:成等差数列， 1-1 可得a,×2=a1十a:→2a,+2a:=u,→2a,+2a19=a,9 +号<+).≥助 又a1≠0.所以g-2q-2=0.解得g=1十3或g=1-√3. 又g>0,所以q=1十√3 累加可得.-1<m-D+（+号+…+） 则“十9=4=q=3+1,故选A a≥8.“品-1<3+号（+号+）<3+ ag十agaa(1十q)aa 9.B设除以三余二的正整数为数列{an},则a。=3n一 吉（合×4+日×94）<39， 1(n∈N), 除以五余三的正整数为数列{b。1,则b.=5n一2(n∈N), 脚<40am>0脚10am>2 5 除以三余二且除以五余三的正整数为数列(。}， 而3和5的最小公倍数为15， 5 综上：2<100u1m<3.故选B. 则数列{c,}是由数列{an)和{b}的公共项构成的一个数 列，数列{c。}是以8为首项，15为公差的等差数列， 第26练等差数列及其前n项和 则c=15n-7, 所以前10个数的和为10X(8+143)=75.故选B. 小题·分层分练 2 1.D设等差数列{a.}的公差为d, 10.D由数列{a.}为等差数列， 图为a1十a1十a,=27,可得a1十a1十a:=3u1=27,即ag=9, 故S,S。-S,S一S、S6-S2,Sm一S,亦为等差数列， 所以a1十2d=9, 由S,=2.S4=12,则S%-S,=10, 又周为s。=115,可得10(a十a)=15,即a,+an=2a,+ 故S:-S。=18,S1w-S1:=26,Sw-Sw=34, 即有S:=18+S,=30,Sw=26十S:=56,Sm=34+S16 90.故逸D. 、9d-23,联立方程如2十223解得d故选D. 11ABC假设{a.)的公差为d,由S,=5(a十a》=5a,= 2.A设等差教列{a.}的公差为d,由题意可得2(a1十6d)= 2 4+7d+5,得a,十5d=5,则S1=1a,+11X10d= 35,所以d=7,又42=4， 2 所以d=3.a1=1,所以a=3m-2.5.=”(30-1D 2 11(a+5d)=11×5=55. 3.B因为a,=5a,=2,所以S,=6a十a》=6(a:十a)= 选项Aa,-n(3n-2)-3(n-号)》'-合，故m-1时m 2 2 的最小值为1，A正确： 3×(5+2)=21,故选B. 4.C由等差数列的等和性可得， 选项BS-(③g-卫，令)=号r-,所以 2 b:+bu 了)=号2-x,可知)在区间（号，+四）单调递培， 。品 所以n=1时nS。取得最小值1，B正确； 选质C受=受合故各}为递增能列，C运 n 5.B因为S=9(a十a)=9a,<0,所以4，<0 2 选项D导=一号+为号=1号=1所以}不 因为ds十a。=aa十ag>0,所以a,>一a3>0, 是递减数列，D错误.故选ABC. 所以公差d=a一a,>0, 12.解析：由题意b,=a,一a1=一5，文等差数列{b,}的公差为 故当n≤5时，a.<0,当t>≥6时，a.>0, 1,所以b.=-5十(n-1)·1=n一6： 所以当n=5时，S取得最小值， 故a+1一4m=1一6，所以当n≤6时，a+1一4.≤0，当n>6 即{S.}中最小的项是S,故选B. 时，awt1一a,>0, 6.AD设等差数列{a。}的公差为d, 所以a1>d:>a,>a,>as>a。=a,<a,<ag<,显然a, 软超套泽降路日。 的最小值是a 又a。+1一an=n-6,所以ag=41十(a:一a1)+(a,一a:)+ (a4一aa)十(a,一d:)+(ag-a1） a.=-9+2(n-1)=2n-11, =2+(一5)十(-4)+(-3)十(-2)十(-1)=-13，即 S,=”·（-9时2n-业=m-10m=(1-5)2-25, a,的最小值是一13. 2 故答案为：n一6，一13 .当n=5时，S,有最小值一25，S无最大值， 答案：n-6一13 而T=-9×(一7)×(-5)×（一3）×（一1）×1×3×…× 13.D由题意得a1+5d=3(a1+3d),.a1=-2d. (2n-11), 易得T1<0,T<0,T3<0,T>0,T:>0,且T>T _10×(-2d0+45d=25, 当n≥6时，T.<0, a a1+3d -2d+3d .当n=4时，T,有最大值，T无最小值.故选AD 故选D. 153 培优限时练小题突破·数学 14.解析：由题意知{a,)是公差为2的等差数列，S,是a1与 故S。-1=(n-1)a。-t·n(n-1),n≥2 a1的等差中项， 两式相减有a。=a+1一(n-1)a。一2tm→a,+1一a。=2, 则2S:=a:十aH,即8a1+24=a1+2+a1十40，.a1=3, 对n=1也成立，故{a.}为等差数列 故a.=3+2(n-1)=2n十1： 则甲是乙的必要条件 故6，=(）·a,=(2m+1)·()） 故甲是乙的充要条件，故选C 法2：（数列与充要条件） 则64-b,=(2m+3)·(）-(2m+1)·(）广 因为甲：{a。}为等差数列，设数列{a。}的首项a1,公差为d, ()广.5” 即8=m+"2d,则受=4+0d=兰a十 2 2 d 当n≤2时，b+>bn,数列的项增大：当n≥3时，b+1<b。, a-2 数列的项是减小的： 故(S}为等差数列，即甲是乙的充分条件 故么=7X(亭=胃为载列6的最大位项， {n 反之，乙：{三}为等是数列 对y∈N”,使得么S恒成立，则入： n 即A的取值范国为≥婴， n十1拉 即S。=nS,+n(n-1)D. 故卷案为0，=2十1以≥ S。-1=(n-1)S1+(n-1D(n-2)D. 当n≥2时，上两式相减得：S。-S。-1=S1+2(n-1)d. 答案：2m+1 e黑 当n=1时，上式成立， 所以a。=a1+2(n-1)D. 15.BCD因为S。是数列{a,}的前n项和，且a1=一1，a+i= 又a,+1-a。=a1十2nD-[a4十2(n-1)D]-2D为常数. 5,S1…所以S1-5=S5易知5.510，所以s 1 所以{a,}为等差数列.故选C. 1 S. -1(常数)，所以最到（发}是以写=-1为首项， 第27练等比数列及其前n项和 小题·分层分练 -1为公差的等差载到，就C正确，所以安 =-1-(m-1) 1C设等差数列的公差为d,则d≠0， =-n,故S=一是当≥2时山，-5，-S一 11 因为4，a:是公比为2的等比数列， 所以4，十6d 2,t七md=2,由前者得到a,=21,代 一1，n=1, a1+2d a1+6d (首项a1=一1不满足该式)，故a,= 11 故 (-1n≥2， ,;, 入后者可得”1=2，故m=15,故选C 8 A溪，B正由8=一可释写十京十十品 1 2.A设等比数列{au}的公比为g, 由S=a:十5a1,得：a1+ag十a:=a:+5a1 -(1+2+…+100)=-5050,故D正确.故选BCD. 即：a,=a1=a19,所以，g=4, 小题·真题真练 又a=4,所以，a1q=41(g2)=a1X4=4, 1.B由S,=Sm,得5aa）=10a,an),所以5a 2 2 所以a=子.故选A 5a十a).所以a=0,公差d=g号=-寻，所以a, 3.D在等差数列{b,}中，由b1十b十b11=6,得3bs=6,b=2, 8-5 .b十6=2h=4.在等比数列{a}中，由a1·a6·a1=3V3,得 a-d=1-4(-号)=子故选B a4·a4·a·=3V5,au=5,∴a4·a,=ai=3则4+6.故 2.解析：解法一（基本量法）设(a。}的公差为d,由a:十a= 选D. a,+2d+a1+3d=2a1+5d=7,3a:+a:=3(a1+d)+a+ 4.A设等比数列{an》的公比为q,在等比数列{a。}中，由So 4d=4a1+7d=5,解得a1=-4,d=3,则S1m=10a1+45d =10,Sw=70可知9≠-1， =95. 所以So,S一Sn,S。一S如，Sm一Sm构成公比为q的等比 解法二（利用下标和性质）设{a,}的公差为d,由a3十a, 数列 a十a,=7,3a,十a=5,得a=-1,a-8,故d=ag 所以(S0-Sa)2=S1m·(S0-Sm),即(S0-10)2=10· 5-2 (70一S如)，解得Sm=30(负值含去)， 3,46=1,则S。=0a业×10=5(a,+a)=5×19=95. 2 因为3=00-2= 10 答案：95 所以S。-S0=2(Sm-Sm)=80,Sm=S。+80=150. 3.C法1：a为等差数列，设其首项为a1,公差为d, 故选A. 尉s=m,+nn2d.各=a,+”d-号+a 2 2 5.D根据等比敛列的片段和性质有一气=S-S」 510-S S 由-3，SSu成等差数列，有S1。-5=S一(-3)， 故（侣}为等差数到，时甲是乙的老分条件 中5-5=8十3，故有等= S ”,又因为数列为正 项等比数列，则S>0, 反之，倍}为等装到：即岩受-5S n十1壮 n(n+1) 年5.-5=8+》=8+68+9=8+是+6≥ S 03为常数，设为1，即" n(n十1) n(十1) 2= 35·号+6=12. 故S.=na+1-t·n(n+1), 当且仅当S=3时，等号成立.故选D 154