第24练 复数-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题四 平面向量与复数 第24练 复 数 [小题·精讲精练] [思路引导]涉及复数模的最值问题以及点的轨 迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式 [例题讲坛] 入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. [解析]设复数一i,i,一1一i在 【例1】若复数x=sim0- 是+(eos0-吉)i(0e 复平面内对应的点分别为Z1, R)是纯虚数，则cos0十icos20的共轭复数在复 Z2,Z3, 平面内对应的点位于 ( 因为|x十i+|x-i川=2，Z1Z2 =2,所以点Z的集合为线 A.第一象限 B.第二象限 段Z1Z2. C.第三象限 D.第四象限 问题转化为：动点Z在线段 [思路引导]本题复数中含有三角函数问题求 Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值， 解时用到了同角三角函数的基本关系，二倍角 因为|Z1Z3=1.所以x+i+1|min=1. 交 公式 [答案]A 作 [解析] 因为复数x=sin0-+(os0-号)月 【规律归纳】关于复数的几何意义 sin0- 3 (1)复数：=a十i(a,b∈R)一对应Z(a,b) =0 (0∈R)是纯虚数，所以 ,一一对庭O立，充分利用三者之间的对应关系相 时 互进行转化. (2)川之一1=r的几何意义是复数之，1对应的 可 即sin0= 5.cos 0=- (0为第二象限角). 4 点的距离为r,若复数：对应的点为动点，1对 尉s20-1-2sm0=1-2x(层}广-石 应的点为定点，则复数：对应的点的轨迹是以1 沿 对应的点为圆心，”为半径的圆， 此 所以cos0十icos20的共軛复数的实部小于0，虚 [小题·分层分练] 部小于0，在复平面内对应的点位于第三象限. [一层·打基础] 线 [答案]C 知识点一复数的概念 【规律归纳】1.复数加、减运算的法则 1.已知i为虚数单位，若复数x满足(1一i)=i,则 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实 ≈的虚部为 ( 部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作 1 为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的 A-司 c D. 实部与虚部， 2.已知i是虚数单位，若复数=(m一i)·(3十i) (2)复数的运算可以类比多项式的运算（类似于 是纯虚数，则实数m的值是 合并同类项)：若有括号，括号优先：若无括号，可 A.-3 B.3 以从左到右依次进行计算. c- 3.已知复数￥=i+2i2+33+…+20232023,则￥的 2.两个复数代数形式乘法的一般方法 虚部为 (1)首先按多项式的乘法展开： 知识点二 复数的几何意义 (2)再将2换成一1： 4.复平面内表示复数之=m+(m+1)i(m∈R)的 (3)然后再进行复数的加，减运算，化简为复数的 点在直线y=2.x上，则m= 代数形式. A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.两个复数代数形式的除法运算步骤 5.若复数≈满足2：十i·=4+5i,则在复平面中 (1)首先将除式写为分式： 对应的点在 (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； A.第一象限 B.第二象限 (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其 C.第三象限 D.第四象限 化为复数的代数形式 【例2】如果复数x满足引z十i十x一i训=2，那么 ,在复平面内表示复数的点位于第二象限，则 |十i+1的最小值是 实数m的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1) A.1 C.2 D.5 C.(1,+o∞) D.(0,+∞) 49 培优限时练小题突破·数学 知识点三复数的四则运算 18.设x是复数且|x一1+2i|=1,则x的最小 7.已知复数一引G是虚数单位)，则 3i-1 值为 A.1 B.3-1C.5-1 D.5 [三层·早拔尖] A.0 B.√2 C.√3 D.2 19.若=(i+1)2023,则：的虚部是 8.(多选)已知复数：满足二2-2+1，则下列说法 A.2101 B.-21o1C.21o1 D.-21o 正确的是 ( ) 20.(多选)已知复数，，则下列说法正确的是 A.x的虚部为一1 B.|x=2 C.x1为纯虚数 D.x6=-8i A.若之=心，则之=心 4+3i B.若=3十i,=一2i,则十w在复平面内对 9.已知i是虚数单位.则 (1-2i)2 应的点在第二象限 10.在复平面内，复数，对应的点分别是(1,2)， C.若2=1，则x= (一3，一1)，则一x= D.若|x一2=1，复数。在复平面内对应的点 为Z,则直线OZ(O为原点)斜率的取值范围 [二层·提考能] 为- 33 11.设=一3十2i,则在复平面内：对应的点位于 21.若虚数≈同时满足下列两个条件： ( A.第一象限 B.第二象限 ①十5是实数： C.第三象限 D.第四象限 ②十3的实部与虚部互为相反数： 12.若=a(a+i)+(2-8isin 吾)i(a∈R)为纯虚 则 ,|= 数，则a= ( 22.关于x的实系数方程x2一4x+5=0和x2十 2m.x十m=0共有四个不同的根，若这四个根在 A.-2 B.-1 C.2 D.2 复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是 13.若复数=年十1为纯虚数，则实数a= A.-2 B.-1 C.1 D.2 [小题·真题真练] 14,已知1一D=1+i为虚数单位)，则复数： 1.(2024·新课标全国1卷)已知之=一1一i,则 等于 |= A.1+i B.1-i A.0 B.1 C.2 D.2 C.-1+i D.-1-i 15.已知(2一i)+3=3+i,则复数：的共轭复数 2.(2024·新课标全国I卷)若二=1+i,则 的虚部为 ( A君 c-号 7 D. A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i 16.已知复数之与（一4）2十32i均为纯虚数，则 3.(2024·北京卷)若复数：满足三=-1-i,则： 的虚部为 ( () A.-4 B.4 C.±4 D.8 A.-1-iB.-1+iC.1-i D.1+i 8+i 1.(多选)已知复数：=十其中i是虚数单位， 4.(2024·天津卷)已知i是虚数单位，复数（√5+i)· 则下列结论正确的是 ( （5-2i)= A.之的模等于13 B.:在复平面内对应的点位于第四象限 5.(2024·上海卷)已知虚数，其实部为1，且+ C.g的共轭复数为一2一3i 2=m(m∈R),则实数m为 D.若(n十4i)是纯虚数，则m=一6 50培优限时练小题突破·数学 cos(π-ACD)<0.lAB|0,知选项C错误;由题图可 第24练 复 数 知R:△ACDR△ABC,所以AC| BC =AB CD,结 小题·分层分练 1.C 因为 =1-=(1-ì)(1+i) i(1+i) AB{ 所以复数:的虚部为:.故选C. 2 正确.故选ABD. 15.解析:依题意e·e-le ·ecos 60*-1x1x 2.Cz=(m-i)·(3+i-3n+1+(n-3)i. 因为复数一(n一i)·(3十i)是纯虚数, 所以/3m+1-0 所以a·b=(e+2e)·(2e +e)-2e +2e+5e ·e 1. 3.解析:i+2i}+3+.+2023i{2*-(i-2-3i+4)+(5i-6 7i+8)+...+(2017i-2018-2019i+2020)+(2021i-2022 lal=e+2e I=(e +2e)-Ve+4e+4e·e -2023i)-505(2-2i)+(-2022-2i)=-1012-1012i. 则。的虚部为-1012. -7. 故答案为:-1012. b|=e+2eI=(2e+)=4e+e+4e·e 答案:-1012 -7. 4.A 复数;=m十(n十1)i(m-R)在复平面内对应的点为 (m,m+1),依题意可得n+1-2m,解得m-1.故选A. a.b 5.D 设:-a+bi. 所以cos(a,b)一- b- v7×/7 则由2+i·z-4+5i得2(a-bi)+i·(a+bi)-4+5i. 整理得2a-b十(a-2b)i-4+5i. 所以/2a--4 故答案为 所以;-1一2i在复平面中对应的点为(1,一2),在第四象 答案: 限。故选D. 6.B 由题意知_(+i)(+i)_”-1+2i_ m*一1 n-i(m-i)(m+D) n{士1 16.解析:建立平面直角坐标系如图所示, n^{十1 则A(2,0),设P(0.y).C(0,b),则 B(1,b). 所以PA+3PB-(2,-y)+3(1,b-y)- 0) (5.3-4y). A) (。 所以PA+3PB-25+(36-4y) {n+) 又该点位于第二象限,所以 #。 ,解得0m<1. (0). 当y-36时,PA+3PB[取得最小值5. 即实数m的取值范围为(0.1).故选B. 7.B 方法一:“:-1(2)(1-21) -3-1-(31-1)(1-21)-5+5i-1+i. 答案:5 小题·真题真练 5。 .1-11-i|-v②. $. B 由(b-2a)|b,得(b-2a)·b-b-2a·b-0,所以b} 2a·b.将a十2bl-2的两边同时平方,得a{}+4a·b+4b 故选B. 8.AD 因为 -2i-2+i,所以1-2-2+i,所以 - 1 -2i #2,故选B. -2i(1-)-2i+2^--1-i.:的虚部为-1,故A正 2$.B 由(a+b)·(a-b)-o,得a-b-o,即lal-|bl-0 (1+j)(1-D 所以lal-lb,当a-(1,1),b-(-1,1)时,|al-bl,但a 2 一b且a子一b,故充分性不成立;当a=一b或a-b时,(a十 确;l|=(-1)十(-1)}=v\②,故B错误;十1为纯虚$ b)·(a一b)一0,故必要性成立.所以“(a十b)·(a一b)-0” 数,故C错误;因为-(-1-)-1+2i十i-2i,所以 是“a一一b或a一b”的必要不充分条件. -()=(2i)=一8i,故D正确,故选AD 4计3i- 43i 3.D(a+xb)·(a+b)=a十(十)(a·b)+b= (4+3i)(-3十4i 2(1+)-0,所以--1;故选D. 4.解析:法l:因为 a十b|-|2a-b|,即(a十b)-(2a-b), (1-2i){{ 则a}+2a·b+b-4a}-4a·b+b. 故答案为:1. 整理得a{-2a·b-0. 答案:1 又因为|a-b-/3,即(a-b)}-3, 10.解析:.-1+2i,w--3-1. 则a{}-2a·b+b-b-3,所以|b -③. 'w-z-(-3-i)-(1+2i)--4-3i. 法2;设c-a-b,则 |c l-3,a+b=c+2b,2a-b-2c+b, -3-1(-3-)(1-21)-5+5i--1+i. 则---4+3i; 由题意可得:(c+2b)-(2c十b),则c+4c·b+4b^*- -1+2i(1+2i)(1-2i) 4c+4c·b+b. 5 {## 整理得:c一b,即b=c l一③ 故答案为:③. 故答案为:-4十3i;v② 答案v③ 答案:-4+3iv2 148 参考答案 11.C 2--3-2i,故对应的点(-3,-2)位于第三象限,故 1 21.解析:设;=a十bi(a,bER且b:0); 选C. -+5-+6it+ 2.D 因为sin{-sin(x+)-sin--. -a+bi+5(a-bi) +6{ -(a+)+(0). 则x-a(a+i)+(2-8isin7*)i-a(a+i)+(2+4i)i- 因为十是实数,所以65 (a-4)十(a+2)i. #_0 若:为纯虚数,则{+2去0# a-4-0 ,解得a-2.故选D. 又因为b-0,所以a{+6{-5.① 又十3一(a十3)十hi的实部与虚部互为相反数, a(1-D 所以a+3十b-0.② (a2二o. -2或 6--1. 2 “.:为纯虚数, .a--2. #-#z0.# 故存在虚数 ,=-1-2i或 =-2-i,|zl-/. 答案:-1-2i或-2-15 1+=1+ 22.解析;因为x-4x+5-0的解为 -445-(-4)1-2士i. 2-1=2-1 5 2 47 所以,复数的共复数为一71,所以复数的共矩复数的 设所对应的两点分别为A,B. 则A(2,1),B(2,-1). 皮书为一故选C. 设}+2mx十m一0的解所对应的两点分别为C.D. 记为C(x,y).D(x,y). 16.A 因为复数;与(t一4)十32i均为纯虚数, 当A 0,即0 m 1时,因为A,B关于:轴对称 所以设=bi(b0),所以(-4)+32i-(bi-4)+32i 且C,D,关于x轴对称,显然四点共圆; -6+16-86i+32i 当△0,即m1或m0时, -16-十(32-8)i,则 32-8≠0 116-2-0' 2 解得:6=-4,所以;=-4i,的虚部为-4.故选A 8-2-3i,所以|c-V13.因此A项错误; 17.BD 因为:- 2 12 复数:在复平面内对应的点为(2,一3),位于第四象限,B项 又圆心O.到A的距离0A|- (2十m)+1=r. 正确;的共辄复数-2十3i.C项错误;因为s(n+4i)= 解得--1, (2-3i)(m+4i)-(2m+12)+(8-3m)i为纯虚数,所以 综上:m(0.1)U(-1. 故答案为:(0.1)U(-1. 2m+12-0,8-3m0,得m--6,故D项正确.故选BD. 18.C 根据复数模的几何意义可知,一1 答案:(0,1)U(-1) , 十2i=1表示复平面内以(1.一2)为圆 小题·真题真练 心,1为半径的圆,而:|表示复数:对 1.C1l-|-1-il= (-1D+(-1-,故选C. 应的点乙到原点的距离: 2.C 解法一(解方程法)因为=1十i,所以x=(-1) 由图可知,|sl=1+(-2)-1= 5-1.故选C. (1+ì),即-:-1+zi-i,即zi-1+i,所以 -1+i 19.B ·(i+1)-+2i+1-2i. (1+i)(-)-1-i,故选C. 则=(i+1)*=(i+1%(i+1)=[(i+1)](i+1) =(2i)1(i+1)-2.x .(i+1)-2..(i i(-i) 1-21011.(-i)·(i+1)-2101|(1-i)-210ì-2-01 i. 解法二(取倒数法)因为-1+i,所以-1-1 故。的虚部-2*.故选B. -0# #^1 20.ACD 对于A,设z=a十bi(a,bR),则=a-bi,若= -=(1+i)(1-)-2 2 w.则w-a十bi. 则w-a一bi,所以:一w,故A正确; 对于B,若z-3十i,w--2i,则 +w-3-i.所以 +w在 3.C 由题意得,:-i(-1-i)=1-i. 复平面内对应的点 在第四象限,故B错误: 4.解析:(+i)( 5-2i-5)-25+-2i-7-. 对于C,设=a十bi(a,bER),由。-1,可得(a}-b)十 答案:7一5i 2abi-1,则a-士1,b-0,即x-士1,则-,故C正确; 5.解析:解法一:设-1+bi(bR且b≠0),则+2-1+bi 对于D,设 =r+yi(a,bER),则z-2-(x-2)+yi,若 , -2|-1,则(x-2){}+y-1,即点乙在以(2,0)为圆 #2(# 心,1为半径的圆上, 1十 设过原点与圆相切的直线为y一kx,即x一y-0. nER,所以b-- _0,得61.所以m=1+2 2 十(-1) #8-m,依题意得”-1,解得一2. [-#),.故D正确,故ACD. 2 答案:2 149