第20练 正，余弦定理及其应用-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题三 三角函数、解三角形 第20练 正、余弦定理及其应用 [小题·精讲精练] 两个测量基点C与D,现测得∠BCD=70°， ∠BDC=30°，CD=108米，在点C测得塔顶A [例题讲坛] 的仰角为80°，则塔高AB为 米.（结果 【例1】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 保留整数，参考数据：c0s80°≈0.174) a,b,c,若beos C+ccos B=asin A,则△ABC的 [思路引导] 形状为 ( 设AB=h米，进而可得h=BCtan80°，在 A.锐角三角形 B.直角三角形 △BCD中由正弦定理求出BC,求解即可得出 C.钝角三角形 D.不确定 答案， [思路引导]三角函数和三角形的结合，一般可 [解析]设AB=h米，因为在点C测得塔顶A 以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边 的仰角为80°， 角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的 所以∠BCA=80,在△ABC中，B品 AB =tan80°= 交 灵活运用是解决此类问题的关键： [解析]法1：因为beos C+ccos B=b· 作 a2+2-2 +c.2+2-62a2 BC,所以h=BCtan80°， 2ab 2ac 2a =a,所以asin 在△BCD中，因为∠BCD=70°，∠BDC=30°， 业 A=a,即sinA=1,故A=受，因此△ABC是直 所以∠CBD=180°-70°-30°=80°， 由正弦定理得 CD BC 108 时 角三角形 sin∠CBD sin30,所以s sin 80 法2：因为bcos C十ccos B=asin A, 可 所以sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, BC,则BC 108×号 54 即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=sin2A, sin80° sin 805 沿 2 故sinA=1,A=受， 54 54 所以h=BCtan80°= 此 因此△ABC是直角三角形， sin80·tan80°= cos 805 法3：由射影定理可得beos C十ceos B=a, 54 线 所以a=asin A, ≈0.174≈310米. 所以sinA=1,A=受，为直角三角形. 故答案为：310. [答案]310 [答案]B 【规律归纳】求解高度问题的关注点 【规律归纳】判断三角形形状的两种思路 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（在 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关 铅垂面上所成的角)、方向（位）角（在水平面上所 系，从而判断三角形的形状. 成的角)是关键. (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系， 2.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题 从而判断三角形的形状，此时要注意应用A十B 转化为平面问题. 十C=π这个结论 [小题·分层分练] 边角 边化角：用角的三角 等式两边是边的齐 函数表示边 次形式等式两边是 互化 [一层·打基础] 角化边：将表达式中 角的齐次形式或 法 知识点一正、余弦定理的基本应用 的角用边的形式表示a2+2-2=ab 1.在△ABC中，2sinA=3sinB,AB=2AC,则 【例2】位于奥体核心的杭州世纪 cos C= () 中心总投资近100亿元，总建筑 面积约53万平方米，由两座超 A B-司 D.- 高层双子塔和8万平方米商业 2.(多选)在△ABC中，角A,B.C的对边分别为a, 设施构成，外形为杭州的拼音首 b,c,若b=2√3，c=3,A+3C=π，则下列结论正 字母“H”,被誉为代表新杭州风 确的是 ( ) 貌、迎接八方来客的“杭州之 门”.如图，为测量杭州世纪中心 A.cosC= 3 RmB=号 塔高AB,可以选取与塔底B在同一水平面内的 C.a=3 D.a=1 41 培优限时练小题突破·数学 知识点二有关三角形的周长、面积及正、余弦定： 9.(多选)在△ABC中角A,B,C所对的边分别为 理的综合应用 a,b,c,以下叙述或变形中正确的有 3.△ABC中A=经，AB+AC=19,BC=2,则 16 A.a:b:c=sin A:sin B:sin C B.a=besin 2A=sin 2B △ABC的面积为 ( b+c A号 B C D.303 C. sin A sin B+sin C 49 D.A>Besin A>sin B 4.在△ABC中，tanA= 4,tan B= 亏若△ABC 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, 的最长边的长为I7.则最短边的长为 c,且a=3,acos B=(2c-b)cosA,则△ABC面 积的最大值为 ( A.√2 B.3 C.2 D.5 知识点三解三角形在实际问题的应用 4.93 4 B.93 2 c号 D.号 5.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的 面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与 11.在△ABC中，AB=5,C=平，且tanA=3,则 著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古 代已具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂 AB边上的高h= 并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂 12.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平 sin Csin (A-B)=sin Bsin (C-A),a=5,cos 方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S= A-票则△ABC的周长为 e-() 现有周长为2√2+√5 [三层·早拔尖] 的△ABC满足sinA:sinB:sinC=(√2-1)： 13.(多选)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是 5：(√2+1)，试用以上给出的公式求得△ABC a,b,c,若acos B+bsin A=c,a=2√10，a2+ 的面积为 b2-e2=absin C,则 A c A.tan C=2 BA=号 6.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了 C.b=62 D.△ABC的面积为12√2 与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与 14.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 D,现测得∠CDB=37°，∠BCD=68°，CD=37.6 米，在点C处测得塔顶A的仰角为64°，则该铁 是a,b.c,若c=2,A=5,则asin C- 塔的高度约为 ,(参考数据√2≈1.4，√6 a十b的取值范围是 ≈2.4，tan64°=2.0，c0s37°≈0.8) [小题·真题真练] 1.(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A,B,C所 对的边分别为a6,c若B=子，62= 4ac,则 sin A+sin C= ) A.2v39 13 B.39 13 c D.313 13 A.42米 B.47米 C.38米 D.52米 2.(2024·上海卷)海上有灯塔O, [二层·提考能] A,B,货船T,如图，已知A在O B 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 的正东方向，B在O的正北方 若a=2,b=3,sinA=号 ,则sinB ( 向，O到A,B的距离相等， ∠BTO=16.5°，∠ATO=37°， A号 R号 c 则∠BOT= ·(结果精 确到0.1) 8.在△ABC中，若acos A=bcos B,则△ABC的形 状一定是 3.(2023·全国甲卷（理）)在△ABC中，AB=2, A.等腰直角三角形 B.直角三角形 ∠BAC=60°，BC=√6，D为BC上一点，AD为 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 ∠BAC的平分线，则AD= 42培优限时练小题突破·数学 再向右平移酒个单位长度得 八、 2.A由cos(a十3)=m得cos acos B-sin a sin B=m①，由 tan atan日=2得nai!=2②、由①②得 y-sin[2()+]-sin(2), cos acos B 1co8aC0s3=一m 即y=sim(2r号) sin a sin9一2n·所以cos(a-B》=cos acos+sina sin9 =一3m,故选A. 由2-受≤2x-行<2x十受，k∈Z得增区间为 解折：尚题知ma十》-。品。1 [kx+是kx+],k∈乙 -2V2,即sin(a十B)=-2v2cos(a+3),又sin(a+B)+cos 当k=0时，一个增区间为[臣登]，而[西] （a十》=1，可得ina十B》=士2.由2kx<a<2kx+受， 3 [臣·]所以B正璃，故选B ∈Z.2m十<B<2m+经m∈Z.得2k十m)十x<a十 6.D周为a…B为能角，所以a-Be（-受，)a+B∈ B<2(k+m)π+2x,k+m∈Z.又tan(a十3)<0，所以a十3是 (0x).2e(0,受） 第四象限角，故sin(a十》=-2y2 31 又ma--是-8贵 答案：-22 3 c0s(a-3) 所以cos(a一B)=5 =cos acos月+sin asin3, 第20练正、余弦定理及其应用 3 小题·分层分练 而sin asin月=2，所以cos acos B=-0, 1.D由正贫定理可得，2BC=3AC, 所以eos(a+B)=cosacos--sin asin=i0 3 1 又AB=2AC,所以AC:BC:AB =2:3:4, 1一2()周光m√层=故选D 不妨设AC=2k,BC=3k,AB =4k, 7.D由4sina- 1 所以由余弦定理得cOsC= cos a 4k2+9k2-16 1 1 =sin a-cos a 2×2×3k 4 4(sin a-cos a)= cos a sin a sin acos a 故选D. .'sin a-cos a=0 4sin acos a=1, 即1ana=1或sin2a=之 1 2.ADA十3C=元，故B=2C,根据正孩定理：in B sin C,即 23sin C=3X2sin Ccos C. aeo.。=景最登 sinC≠0，故cosC-3 ,A正确：sinB=sin2C= 满足条件的所有a的和为 3,sin C=6 ++最++登+-选D 2 sin Ceos C=22,B错提. 4 3 &ABe)=sh(ar十吾）+c-9nar+osar c2=a+b-2 abeos C,化商得到a°-4a+3=0,解得a=3 十c0s=3in 号nar+c0s ar=原sin(ar+吾）， 我a=1,若a=3,故A=C=平，故B=受，不满足，故a=1, C错误，D正确.故选AD. 对A:由f(x)的最小正周期为2，故红=2，即仙=元，故A 3B国为A=号AB+AC=9,BC=2, 正确： 由余孩定理得4=AB十AC-2AB·ACc0s2红=AB十 对B:当=名时×言十音-受由=受是高数y 3 AC+AB·AC sinx的对称轴， =(AB+AC-AB·AC-(9）)-AB·AC, 故曲线y=f(x)关于直线x=合对称，故B正确： 所以AB·AC= 对C:又sim(r+5）e[-1.1],故fr)∈[-，w3],故 所以△MBC的面款为立AB·ACnA C错误： =15故选取 对D当之]时+骨[-吾] 4.A因为tanC=一tan(A十B)=一 tanA十tanB 1-tan Atan B 由[一吾管]不是高能y=n子的单销境瑞区网 1+3 45 117 =一1<0，又tanA>0,tanB>0,故A,B为 故[一立，2」不是函数八)的单调递增区间，故D错误. 1-×号 故选AB. 小题·真题真练 锐角，C为钝角，故c=√17， 1.A对于Ay=inx十cosx=2sim(x+开），共最小正周 国为y=anx在r∈(0，)上单调递增，anA<anB,故 期为2，A正痛：对于By=mrc0s=之in2,共兼小 A<B,所以a<b, 正周期为π，B错误：对于C,y=sinx十cosx=1,为常值函 又mA=热升子nA十sA=1,释释snA- 数，不存在最小正周期，C错误：对于D,y=sin2r-cosx 1 cos2x,其最小正周期为r,D错误.故选A. √17 同理可得sinC= 2 142 参考答案 由正孩定理得C印只=，解得a一反 山，解析：tanA=3A,注意到sinA十cosA=L, √17 2 A∈(0，r), 故选A 可得sinA=3 10 .cos A=10 10,sin B=sin(A+C)= 5.A因为sin A sin B:sinC=(W2-1):5:(2+1), 所以由正弦定理得a:b:c=(2-1):√5：(2十1)，又 3.+._25 10 2 10 25 a+b+c=22+5,所以a=2-1,b=5,e=√2+1， 由正孩定理得AB=AC 则ac=2-1=1,c2+a2-b=6-5=1, snC-simB,得AC=2V0, 故s√a-(-- 所以h=ACX sin A=2而×3D=6. 10 选A. 故答案为：6. 6.B在△CDB中，由题意可得∠CBD=75°， 答案：6 12.解析：因为sin Csin(A一B)=sin Bsin(C-A), 则sin∠CBD=sin75=sin(45°+30)=sin45°cos30°+ sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A- c0s45sin30°=V6+2 sin Bcos Csin A. 4 sin Csin Acos B+sin Bcos Csin A=2sin Bsin Ccos A., sin∠CDB=sin37°=√/1-cos37≈0.6， 由正弦定理可得：accos B十abcos C=2 becos A, 由正弦定理 CD BC 由余孩定理可得.4+c一b+0+6一C=c2+6-a,整 sin∠CBD sin∠CDB 可得BC 2 2 =CD·sin∠CDB 理得：2a=6+e2 sin∠CBD 25 在Rt△ABC中，可得AB=BC·tn∠ACB= 因为a=5,cosA一3 CD·sin∠CDB·tan∠ACB-37.6X0.6×2.0≈47， 「62+c2=50 sin∠CBD 6+2 所以 sAt二口-整理 4 所以该铁塔的高度约为47米.故选B. b+e2=50 12bc=31 7.A由正孩定是品A一B可得mB0A名 b 则b+c=/6+c+2bc=√/50+31=9， 故逃A 所以a十b十c=14, 8.D因为acos A=bcos B,故a×+C-a 故答案为：14 2be 答案：14 6×a+e2-6 13.AC由余弦定理可得a+b-c2=2 abcos C=absin C,解 2ac 得tanC=2,故A正确： 整理得到(a2-6)c2-(a2-b)(a2十b)=0, 由acos B十bsin A=c及正弦定理，可得sin A cos B十 故(a2-6)(c2-a”-b)=0,故a2=b或c2=a2+b, sin Bsin A=sin C=sin(A+B), 即a=b或c=a”十，故△ABC的形状为等腰或直角三角 化简可得sin Bsin A=cos Asin B. 形，故选D 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,所以sinA=cosA, 9.ACDA选项，由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC,A 即tanA=1. 选项正确」 因为A∈(0，x),所以A=牙，鼓B错误： B选项，由正弦定理得a=b一A=B, 因为tanC=2,所以cosC>0且sinC=2cosC, 而当sin2A=sin2B时，别2A=2B或2A十2B=,则A=B 代入sinC+cos'C=1, 或A十B=受，所以B选项错误。 可得5cosC=1,解得cosC= 5'sin C=25 5 C选项，由正孩定理得千。mBmC sin A 因为a=2.A=mC=25 5, 所以nAnB+nC所以C选项正确， D选项，A>B台a>b,由正弦定理得a>b=sinA>sinB, asinC2V1o×2v⑤ 5 所以由正弦定理可得( -=8, 所以D途项正确.故选ACD. sin A ② 10.A因为ac0sB=(2c一b)c0sA,由正弦定理可得： sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A. 由a+b-c2=absin C,可得(2V/10)+b-8=2√1ob psin(A+B)=2sin Ccos A. sinC=2 sin Ccos A,又C∈(0，x),sinC≠0，故cosA= ×25 合：由A∈(0，x),解得A=吾： 1 化简可得b-4√2b-24=0,解得b=6√2或b=-2√2 (舍)，故C正确： 由会赏定理：站合a=3,可得c0sA=号-公然9。 2bc S=名sin A=号×6V巨×8×号-24.t造AC 2 即十c2=bc+9≥2bc,解得bc≤9，当且仅当b=c=3时取 得等号： 14.解析：由正弦定理，可得入C 则asin C=csin A=2sin吾=. 4 b 9y3,当且仅当6-c-3时取得等号 4 即△AC的而积的最大值为”.故选A 可得a=csin A-3 sin C sin C 143 培优限时练小题突破·数学 cos C+sin C(1cos C) 又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°， 所以a十b= sin C sin C sin C 即AD=AB=2. 2os 故答案为：2 C=1+3 答案：2 1+ 2sinos tan 2 专题四平面向量与复数 由△ABC是锐角三角形，可得0<C<受，0<经-C<受， 第21练平面向量的概念及线性运算 小题·分层分练 期音<C<受所以音<号<登：2-月<m号<1，所以 1.A①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点， ②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大 1十8<a十h1+B=4+23,所以a+b的取值范图 小，但它们的模均为实数，故可以比较大小，③错误，当a=0 2-5 时，无论入为何值，a=0.④错误.当A-以=0时，a=b,此 为(3+1,4+23). 时，a与b可以是任意向量 答案w3(W3+1,4+23) 2.C对于A:若a|=b|,则a,b只是大小相同，并不能说 小题·真题真练 方向相同，A错误： 1.C由正孩定理得号sin Asin C=smB,周为B=吾，所以 对于B:向量不能比较大小，只能相同，B错误： 对于C:若a=b,则a,b方向相同，C正确： in AsinC=音mB=子由余孩定理得谷=。2十 对于D:若a∥b,b∥c,如果b为零向量，则不能推出a,c平 行，D错误.故选C, 2ac·eosB=a2+2-uc=号ac,所以d2+2-是ac,所以 3.B当A<0时，a十b≠a+|bl: 当a>0时，a十b|=a十|b.故选B. sinA+simC=号sin Asin C,所以(sinA十si血Cy=sinA :4.AD非零向量e1,e·a,b满足a=2e,一e,b=be,+ e:(∈R).若e,与e不共线，a与b共线，则a=b(a∈R), +simc+2 nAsin C=4 n Asin C=子，又smA>0, 即2λ=k,一A=1,解得k=一2，所以A正确，B错误；若e 与e2共线，则e1=me:(m∈R),则a=2b,-e=(2m-1)e: inC>0,所以sinA+sinC- b=ke1十e2=(km十1)e,则a与b共线，所以C错误，D正 2 确.故选AD. 2.解析：设∠BOT=0,则∠AOT=90°-0，在△BOT中，由正： 孩定理得m。-m10,在△4OT中，尚正孩定 OT 5.A A正=花+成=分店+号武=筋十 OA OT (筋+C)=A店+号（宁A馆+）=子A店+ 理得n37=sn(37+90-0·0A=OB.两式相除得 sin 37 sin(37°+90°-0) A访故造A sin 16.5 sin(16.5°+0) ,sin37sin(16.5°+8)=sin16. 6.AC由DE∥AB,可得△DEN△BAN,又OB=OD,N是 5sin(37+90°-0)，sin0(cos16.5°-sin16.5)sin37= 线段OD的中点， 1 :DE=号ABA=Ai+D成-A+专A成.D错镁： cos0(cos37°-sin37°)sin16.5°，，.tan0= tan 373-1 1 tmn16.5-1 :A0=号AC=号AB+号AD,C正确： 0.1376,又0为锐角，.0=7.8 答案：7.8 :=0+O成=是（店+Aò）+青(A亦-A) 3.解析：如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a, AB+是AdA正B错镁.截选AC DE 个>B a b 7.C国为Ta-Tb故a,b同向， B D 对于A:a=一2b,a,b方向相反，A选项错误： 法1：由余弦定理可得，2+6-2×2×b×c0560°=6， 对于B:a=b,得出a=b,不能得出方向，B选项 因为6>0，解得：b=1十√3， 错误： 由5aw=5m十5am可得，号×2×bXsin60= 2 对于C:a=2ba:b方向向相同，则8=日成立.C选项 2XADX sin30D sin 30. 正确： 对于D:a=b,不能确定a,b的方向，D选项错误。 解得：AD=3-2v3(1+3)=2. 故选C. b 1+ 3+5 8.C由OA-OB=OC-OD1,可得1BA1=1DC1,即四边 形中AB=CDI. 故答案为：2. 法2：由余弦定理可得，2+6-2×2×b×cos60°=6，因为b 文由AB∥CD,所以AB∥CD,即四边形ABCD中有一组对 边平行且相等，所以四边形ABCD为平行四边形，故选C. >0,解得：b=1十√3， 9.C 因为向量e1是平面上两个不共线的单位向量，所以 由正孩定理可得一品B品C b 2 ee2可以作为一组基底， 对于A.因为AB-e,+2e,BC=-3e,+2e,若A,B.C三点 解得：inB=6+2,imC=号 4 2 共线，设-配A∈R则2，无，所以A,B.C 因为1+5>6>√2， 三点不共钱，故A蜡误： 所以C=45°，B=180-60°-45°=75°. 对于B,若A,B、D三点共线， 144