第19练 简单的三角恒等变换和函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题三三角函数、解三角形 第19练简单的三角恒等变换和数 y=Asin(wx十o)的图象及应用 [小题·精讲精练] 【例2】已知函数f(x)=Asin(ax十g)(A>0, m>0,|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所 [例题讲坛] 有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 【例1】 已知a∈(0，受)Va-na)-cosa (1+sin a)(1+cos a) 所得图象对应的函数为g(x),若g(x)的最小正 =4√2+1，则sin2a ( 周期为2，且()=2，则f(餐)= A.42+1 B.42+1 A.-2 B.-2 8 16 C.42-1 D.42-1 C./2 D.2 8 16 [思路引导]解决三角函数图象与性质的综合 [思路引导] 问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三 首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将 角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想 作 2 sin a+ cos a++1 研究函数的性质（单调性，奇偶性，对称性、周期 已知等式变形为 2 =4√2+1，解 性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点 cos a-1 1 2 sin a 及有界函数等概念， 时 [解析]：f(x)=Asin(ax十g)为奇函数， 得sina十cos&1十2，两边平方即可求解 ∴…9=kx,k∈Z,又|p<π，∴p=0, 可 [解析] 因为a∈(0，受)，所以号∈(0，)，所以 2 4 ∴f)=Asin,则g(x)=Asin(受x 沿 ,所以 (1+sin a)(1+cos a) cos (1-sin a)(1-cos a) 由8)的最小正周期T=2,得分-牙=1， 此 sin- 十co8 ·2c0s2 2 sin a -cos- .A=2,.f(.x)=2sin2x, 2 2 ·2sin2 2 sin +cos- cos 2 sin a+cos a+1 =2sin3领=反，故选C 2 [答案] sin号+eos a a )sin 2 cos a-1+ 1 2 sina 【规律归纳】由三角函数图象确定解析式y= =4√2+1， Asin(au.x十p)的解析式，关键是根据图象所反映 所以2(sina十cosa)+ 出的性质求振幅A,周期T及g: 2 2 (sina+cosa)· ()求，确定函数的周期T,则。== (42+1)-2·(42+1): (2)求9，常用方法有： 即2√2(sina+cosa)=2√2+1， ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要 所以sina十cosa=1+2 注意该点在上升区间上还是在下降区问上)或把 图象的最高点或最低点代入， Ep(sin a+cos a)2=1+2sin acos a=1+sin 2a ②五点法：确定9值时，往往以寻找“五点法”中 =(1+),所以sim2a=4中.故选A 的特殊点作为突破口，具体如下：“第一点”（即图 8 [答案]A 象上升时与x轴的交点)为ux十9=0：“第二点” 【规律归纳】三角函数式化简的方法 (即图象的“峰点”)为江十p=受，“第三点”（即 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或 升幂. 图象下降时与x轴的交点)为x十p=π：“第四 (2)在三角函数式的化筒中“次降角升”和“次升 角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时， 点”（即图象的“谷点”）为十g=受：“第五点” 一般需要升次. (即图象上升时与x轴的交点)为ux十0=2π. 39 培优限时练小题突破·数学 [小题·分层分练] [二层·提考能] [一层·打基础] 5.将函数y=sin(x十否)的图象上每一点的横坐 知识点一三角函数式的化简求值 1.(多选)下列化简正确的是 标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移受个 A.cos82°sin52-sin82°cos52°=- 单位长度，所得图象对应的函数 2 B.sin 15'sin 30'sin 75 A.在区间[一乏，0]上单调递减 c =③ R在区间[品·]上单调递增 sin C在区同[一吾，]上单测递减 知识点二函数y=Asin(or十p)的图象及图象变换 D.在区间[- ，]上单调递增 2.已知函数f()=sin(2x+g)(其中p<受)图 6.已知a,9为锐角，tan(a一)=三 sin asin-2 象的一个对称中心为（等，0小，为了得到g() 则sina十里 2 sin(2x-若)的图象，只需将fx)的图象( A B号 C26 D.15 5 A.向左平移若个单位 B.向左平移于个单位 6 [三层·早拔尖] C.向右平移个单位 D.向右平移于个单位 1 7.若a∈(0,2π)，则满足4sina =4c08a cos a 知识点三由图象确定y=Asin(ax十o)十B的解析式 3.函数f(x)=Asin(.x十) 的所有a的和为 ( sin a +b(A>0,w>0,gp<受） A. B.2元 c号 的部分图象如图所示，则 ( 8.(多选)已知函数f(x)=sin(or十晋】 ++cos wx A.f(x)=3sin(2x-）+1 (w>0)的最小正周期为2，则 A.w=π B.f(x)=2sin(3x+5）+2 B.曲线y=f()关于直线x=后对称 C.(r)=2sin(3x-)+2 C.f(x)的最大值为2 D.(x)=2sim(2x+8)+2 Dx)在区间[-2·]上单调递增 知识点四函数y=Asin(x十g)图象与性质的综 合应用 [小题·真题真练] 4.如图，为了研究钟表与三 1.(2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π 角函数的关系，建立如图 所示的坐标系，设秒针尖 的是 位置P(x,y).若初始位 A.y=sin +cos x B.y=sin xcos D.y=sin2r-cos2x 置为P(停》当秒针 C.y=sin2r+cos2x 2.(2024·新课标全国I卷)已知cos(a十)=m, 从P。(注此时1=0)正常 tan atan B=2,cos(a-B)= () 开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数 A.-3 D.3m 关系为 c号 A.y=sin(38+） B.y=sim(-66t-吾 3.(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知&为第一象限角， B为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan B=v2 C.y=sin(-+若）D.y=sin(-0-〉 十1，则sin(a十3)= 40参考答案 所以m-十是k∈五 4,A由)的最小王周期为，可得=二，所以。=子，所 3w 国为r∈[0，平]画教单调，所以0<r≤譬≤，即0< 以fx)=sm2x+)=-sin2红，当re[-是若]时，2z u≤4， 3 所以当k=0时，m=立特合条件。 [晋号]m2e[]所以)= 2 故选A 故答案为：是 第19练简单的三角恒等变换和函数 3 答案：。 y=Asin(x+g)的图象及应用 小题·分层分练 15.解析：因为函数f(x)=2sin(wx十9) 1.AB对于选项A:cos82°sin52°-sin82cos52= (>0,一受<g<受)国象的相邻两条对称轴之间的距 s血(52-82)=sin(-30)=-名，故A正确： 考为 对于选项B:in15sin30sn75=sn15sin30cas15=号 所以号=号，则T=要w=-3 3w= 2π sin30=令，故B正确 3 所以f(x）=2sim(3x十g),又函数图象关于点 对于选项C,巴图温 =tan(48+72)=1an120°= (0)对称 一√5，故C错误. 所以2sin(得+g）=0,到晋十p=k,k∈7.即g=k红 sin a 2sin号cos号 对于选项D户c001-（1-2sin号) 2sin 2cos? 6 晋ez 2sin号 1 = 因为-受<g<受，所以9=晋 an之：故D错误.故选AB 故答案为：晋 2.D因为函数f(x)=sin(2x十g)的一个对称中心为 (号，0)且<受 答案： 小题·真题真练 将点（受，0）代入f(x),可得sin(写+p)=0,解得9=晋， 1.B因为f(x)=sin or∈[-1,1]，且f(x)=-1,f(x)= 所以fx)=sin(2x十于），可得f(x-于) 1,国一=受，所以fx)的最小正周期T=2X受 ,所以w-华=2 =im[2(x-)+晋]-sin(2x-) 所以函数f(x)的圈象向右平移开个单位可得到g(x)= 2BC直接法对于A,令f)=0,剥-经，k∈。 sim(2x-吾)的图象，故选D 又g(受）≠0，故A错误： 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： 8D接指因泉物合有公解得A=8b=2 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确： )的最小正周期T=4×(臣一晋)= 对于D,f()国象的对称轴方程为2红=受十m,k∈Z,即x w=2红=2.f(x）=2sin(2x+p)+2. 江 =号+号k∈乙g)因象的对称轴方程为2x-票=受十 又函数图象的一个最高点为（君，4）： x,k∈Z,即x=琴+受：k∈Z,故f)与g)的图象的对 将其坐标代入x)=2m(2x+p+2得sim(2×晋+g)=l, 称轴不相同，故D错误，故选BC 3.C数形结合法因为通数y=2sim(3缸-晋)的最小正周 lpl<受g=若f()=2sin(2a+晋)+2.] 期T=经，所以画数y=2sin(3x-吾)在[0,2]上的图象 4.C由题意，函载的网期为T=60,w一需-品 3 拾好是三个周期的图象，所以作出函数y=2si(3x一晋】 设画数解析式为y=sin(一品1十p)(国为秒针是顺时针走 动)， 与y=sinx在[0,2π]上的图象如图所示 ”初始位置为P(停)1=0时y= g=9可取晋， 1 “通数解析式为y=i加（一需十晋），故选C 5,B函数y=sin(x+）的国象上每一点的横坐标变为原 由图可知，这两个图象共有6个交，点，故选C 来的2得y=sin(2x+晋)， 141 培优限时练小题突破·数学 再向右平移爱个单位长度得 2.A由cos(a十B)=m得cos acos B-sin a sin B=m①，由 ana1an日=2得加asn目=2②，由①②得 y=m[2(e-晋)+若]=sim(2x-号)， cos acos B 即y=sin(2x一ξ)： 分二2n所以公-创=mae计n。n8 =一3m,故选A. 由2km-受≤2红-暂≤2次m十受，k∈7得增区间为 3解折：由超如ame+)=品产产 [k+是km+]k∈乙 -2W2,即sin(a+B)=-2√2cos(a十B),又sin(a十B)+cos 当k=0时，一个增区网为[竞]，而[品]= （a十B》=1,可得ina十》=士2.由2kr<a<2kr十受 3 [臣登]，所以B正璃，故选B k∈，2m十<g<2ma+受m∈Z.释2k+m)g十x<a+ 6.D因为a,B为锐角，所以a-Be（-受，受)a十B∈ B<2(k+十m)r+2r,k十m∈Z.又tan(a十B)<0,所以a十B是 第四象限角，故sin(a十)=- 22 (0x),e(0,受） 3 又tan(a-9)=3=sim(a- 答案：-2 4 cos (a-B) 3 4 所以cos(a一B)=5=cos acos月十sin asin, 第20练正，余弦定理及其应用 1 3 小题·分层分练 而sin asin B=立，所以cos acos B=-6, 1.D由正弦定理可得，2BC=3AC, 所以cos(a+B)=cosa0osg-nasm月=品一-号=- 3 又AB=2AC,所以AC：BC:AB =2：3:4, 1一2m().调光m√-故选D 不坊设AC=2k,BC=3k,AB =4k, 所以由余孩定理得cosC= 7.D由4sina 1=4cosa一sin。料 cos a 1 1 =sin a-cos a +96=- 2×2k×3k 4(sin a-cos a)= cos a sin a sin acos a 故选D ∴.sina一c0sa=0或4 sin ac0sa=1, 1 即tana=1或sin2a=立 2.ADA十3C=元，故B=2C,报据正孩定理：in B sin C,即 23sin C=3X2sin Ceos C, e0.a。=导票最瓷 sinC≠0，故cosC= 3,sin C=6 ,A正确：sinB=sin2C= 满足条件的所有a的和为 +平++++-，战选D 2 sin Ceos C=2E,B错提. 3 &AB)=sh(ar+吾）+0=9nar+osor c”=a°十b-2 abeos C,化简得到a-4a十3=0，解得a=3 或a=1,若a=3,故A=C=平，故B=受，不满足，故a=1, 号nar+是=尽sn(ar+号） C错误，D正确.故远AD. 对A:由(r)的最小正周期为2，故2红=2，即m=元，故A 3.B周为A=号AB+AC=9,BC=2 正确； 由余孩定理得4=AB+AC-2AB·ACcos2红=AB+ 对B:当x=名时x×言十受=受，南=受是画教y 3 AC+AB·AC sinx的对称轴， =(AB+ACO-AB·AC-(9)-AB·AC, 故南线y=f(x)关于直线工=石对称，故B正确： 对C:又sin(xx+号)e[-1.1],故fx)e[-],故 所以AB·AC=铝所以△ABC的面积为宁AB·ACsin A C错误： -155.故选B 49 对D当xe[-]时r+晋∈[-吾，g], 4.A因为tanC=一tan(A十B)= anA十tanB 1-tan Atan B 由[一吾晋]不是画数y=m的单销跳踏区网。 1+3 45 117 一1<0，又tanA>0,tanB>0,故A,B为 故[一立·2不是函教f八x)的单调递增区间，故D错误， 1-×号 故选AB, 小题·真题真练 锐角，C为钝角，故c=7, 1.A对于A,y=sinx十cosx=Esim(女+开）小共最小正周 因为y=1anx在x∈(0，受)上单调递增，tanA<anB,故 期为2红，A正确：对于By=imrc0s=号m2,共报小 A<B,所以a<b, 分子sinA十osA=1,解得mA 又tanA=sinA=」 正周期为π，B错误：对于C,y=sinx十cosx=1,为常值函 数，不存在最小正周期，C错误；对于D,y=sin'x一cosx cos2x,其最小正周期为r,D错误.故选A. ,同理可得sinC=夏 2 142