第18练 三角函数的图象与性质-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题三 三角函数、解三角形 ------- 第18练 三角函数的图象与性质 [小题·精讲精练] [思路引导] 由题意可得y= |tanax (0)的最小正周期 [例题讲坛] 为1,根据y= tanaxl(0)的周期与y= 【例1】 已知函数/(x)=2cos(π-3x),xE tanx(0)的周期相等即可求解. [解析] 作出函数y= tanx (0)的图象 [-。],则(2)的单调递增区间是 如图所示, ) B.[_ -rm C.[-,[ #- --3 ------ [#, 不妨设A(-'),B(,”),c(,m) [思路引导] 可知y=|tanax |(n0)的最小正周期T-3 利用余弦函数的性质求解即可, -()=1,y=ltan x |(no)的周期与y= [解析]f(x)=2cos(-3.x),可化为f(x)= 时 tanx(0)的周期相等. 2cos(.x-). 所以匹-1,解得o-n.故选A. 寸 [答案] A 故单调增区间满足:2kn-x<3x-π<2k, -r 【规律归纳】涉及三角函数的性质问题注意事项 (1)考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的 一种函数形式, 5 (2)掌握一些简单函数的周期:如: 线 ##一# ①y-Asin(x十)的周期为 所以(t)的单调递增区间是[一] -1 ③y-|sinxl的周期为x. [51(故选 D. ④y- tanxl的周期为π. [答案]D [小题·分层分练 【规律归纳】 求三角函数单调区间的方法 [一层·打基础] 子集 知识点一 三角函数的定义域、值域(最值) 求出原函数的相应单调区间,由已知区 1.函数y-/2cos2x十1的定义域是 法 间是该区间的子集,列不等式(组)求解 {2k<1<2^+#e 2{ A. 求补 由所给区间求出整体角的范围,由该范 围是某相应正、余弦函数的某个单位调 B. 集法 区间的子集,列不等式(组)求解 C. 1) 周期 由所给区间的两个端点到其相应对称中 心的距离不超过士周期不等式(组)求解 性法 D. 2.已知函数/(x)-2cos(2x+)在区间[0,a]上 【例2】已知(一,)(,”),(,m)是曲线y 的值域为一2.③,则a的取值范围为 ) - tanx (0)与直线y=n相邻的三个交 2. 点,则一 ) 4. ( # C. A.π D. B.2π 37 培优限时练小题突破·数学 知识点二 三角函数的单调性 [三层·早拔尖] 3.函数f(x)-cos(2x-)在下列哪个区间上单 12.(多选)已知函数f(x)一sinxl十cosx,则下列 正确的是 ( 调递增 # ) 10 A.2x为f(x)的周期 B.对于任意xER,函数f(x)都满足f(n十x) .□# -f(n一x) C.函数/(x)在[,]上单调递减 4.下列函数中,在区间(o,)上单调递增的是( D.f(x)的最小值为一② A.y-tan(x+) B. y-sin(2x+) 13.已知函数/(x)=cos(x+)在(o.)上单调 C. y-cos(2xr-) 递减且其最小正周期为n,则函数/(x)的一个 D.y-Isinxl 零点为 ( A.} B3 知识点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 C.} 5.若函数(z)-3cos(2x+)(0<<)的图 14.已知偶函数/(x)一sin(ax十)(0)的图像 象关于y轴对称,则= ) 关于点(吾-o)中心对称,且在区间[0.于]上单 B. A. #.2 调,则一 6.若函数f(x)一Atan(ar十c)(Aa云0)为奇函数, 15.已知函数/(x)-2sin(ax十+)(n→0.-< 则二 ) A.n(Z) B.2k(-Z) C(e)# <)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 D.(2k+1)h(kZ) ,且关于点(1)对称,则的值为 [二层·提考能] 7.函数y=cos②x-2sinx的最大值与最小值分别 [小题·真题真练] 为 A.3.-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2 1.(2024·北京卷)设函数f(x)=sinax(0).已 8.函数/(x)-2cos(cux+)+1(>0)相邻极 知f(x)=-1,f(x)=1,且lxti-xl的最小值 为,则一 ) 值点的距离为,则为 ) A.1 B.2 C.3 D.4 C.1 B.4 A.3 D.2 2.(2024·新课标全国II卷)(多选)对于函数/(x) 9.下列函数中,在区间(一1,1)上为减函数的是 -sin 2x和g(x)-sin(2x-哥),下列说法中正 A. f(x)-sin1 B. f(x)=cosx 确的有 _ ) C. f(x)-ln(x十1) D.f(x)-2-r A. f(x)与g(x)有相同的零点 10.下列关于函数y=tan(x十哥)的说法正确的是 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期 _ ) D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 A.图象关于点(,o)成中心对称 3.(2024·新课标全国I卷)当x[0,2x]时,曲线y B.图象关于直线x-成轴对称 -sinx与y-2sin(3x-夸)的交点个数为( ) B.4 C.6 A.3 D.8 4.(2024·天津卷)已知函数/(x)=sin3(cr十) 的最小正周期为x,则(2)在[-1-吾]的最小 11. 已知函数y=f(x),其中f(x)=2sin 值为 。 (2x十)在[0.a],(a>0)上是严格增函数,则 ) A. B.- C.0 a的最大值为 38参考答案 9.B由已知可得a∈（交π），所以sina>0,cosa<0. 16.ABD,2024°=360°×5+180°+44°， ,.co52024°=-cos44°，sin2024°=-sin44°， cos a+sin a=- sina=-1+四 :1>cos44>sin44>0, 6 由 3可得， ..a=sin sin 2024)=-sin sin 44). cos'a+sin'a=1 cos a=- 1+17 h=sin(cos2024°)=一sin(cos44°)， 6 c=cos(sin2024°)=cos(sin44°)， 故选B. d=cos(cos 2024)=cos cos 44), 10.A国为0e(径，受)，则sin0>c0s0,由同角三角画数的 即cos(sin44°)>cos(cos44)>0, sin(cos 44)>sin(sin 44)>0, 基本关系和诱导公式，可得2cos0+√1一2sin(x-0)cos0 所以-sin(cos44°)<-sin(sin44)<0, =2cos+(sin 0-cos 0)*=2cos 0+sin 0-cos 0=sin 8 即h<a<0<d<c,所以ABD正确，C错误，故选ABD. 十cos0.故选A. 17.B 11,AB对于A.2 tan acos a 2 sin ax cos a 由任意角的三角函数的定义可知c0a=号， cos a 2,故A正确： sin a sin a 所以simg=in(e十受）=c0sa=号，故选B 对子B,因为sin0:cos0=2' 1 小题·真题真练 L.解析：因为a与B的终边关于原点对称，所以B=2kπ十π十α 所以an0+cos0=sing+c0s日=sin0cos0=2,故B (k∈Z),所以cos3=cos(2kx十r+a)=-cosa.因为a∈ sin a cos a'sin a sin Ocos 0 正确： 1 对于C,因为tanr=2, 所以 2sin x 2tan r cos x-sin x 1-tan x 1 =2,故C错误： 1一2 答案：一2 对于D.开<3<x,所以sin3>0,cos3<0, 2.解析：因为0∈(0，受），则sim0>0,cos0>0, 2 x<4<,所以sin40.cos长0 又因为tang= os97,则cos0=2sin0, sin 1 cos 3 sin 4 cos0+sin0=4sin0+sin0=5sin0=1, 所以 =(-1)+(-1)=-2,故D √1-sin3 √/1-cos4 错误：故选AB. 解得如0=我血0=-停（合去 12.解析：点P(2,5)在角a终边上， sina=52四 29 0sa-2v@ 所以sin0-cos0=sin0-2sin0=-sin0=- 5 29· ..2cos(xta)-3sin(x-a)-2cos a-3sin a 故答案为：一 19 4cos (-a)+sin(2x+a) 4cos a++sin a 13" 19 故答案为：一13 答案：唱 答案昌 3.B当ima十ing1时，例如a=受g0但ma十0s≠0， 即sin'a+sin23=1推不出sina十cosB=0: 13.解析：由题知，0s(晋+)=0x一（吾-0] 当sina十cos8=0时，sina十sin'B=(-cosB)2+sin9=1, 即sina十cosB=0能推出sina十sinB=1. =-cos(-0)=a. 综上可知，sima十sin3=1是sina十cosB=0成立的必要不 充分条件，故选B. -0)=a 第18练 三角函数的图象与性质 故cos(晋+0)十sn(管-)=0 小题·分层分练 答案：0 14.解析：“fa)=-2sina)(-cosa)+cosg 1.D由题意知2os2x+1≥0，即cms2r≥- 1++sin'a+sin a-cos'a 2sin acos atcos a cos a(1+2sin a) 六2kx-号<2≤2x+号，keZ 2 2sin'a+sin a sin a(1+2sin a)tan a' 1 1 kr-吾<≤kx十晋k∈，故选D 1 6 =3. an-2)a(-4标十吾)am号 6 2.Axe[0.a]时，2x+晋∈[吾2a+看]， 答案 由函数f(x)=2cos(2x+)在区间[0，a]上的值城 15.D由题意，得a≤2+n,令y=2+sin rcos工 sin a+cos x sin r+cos 为[-2w3] 期a≤ym,令sinx十cosr=,则sin rcos=,,且e 2 故函数y=c0sx在区间[吾，2a十晋]上的值城 4a.于是y0-去-+.退@在1]上 21 [-1] 为减画款所以0==5，所以<5，长选D 则有2a+吾∈[，]即ae[臣]故选A 139 培优限时练小题突破·数学 3.C令2kx-<2z-年<2kk∈1.得长m一<<kx+ 山，解析：由于晶载满足的单调递增区间为一受十2张x≤2x十 晋令=0可得，)的一个增区同为[-额，吾]，结合选 吾≤登+2x,∈2 项可得C符合题意，故选C, 4.DA选项，当x∈(0，受)时x+号∈（受，）： 解释一晋十x<x<x十危k∈Z: 而y=an:在x∈（-受+kx,受+kx)k∈Z)上单调递 故画数了)的单递增区间为[一语++], 增，A错误： k∈数[0]S[-+kkx+]k∈ B选项，当x∈(0，受)时，2x+誓∈(5，)： 故居=0a∈(0，造]，即a的最大值为臣 而y=in:在：∈[一受+2k,受+2kx]k∈ZD上单调递 故答案为：受 增，B错误： C选项，当x(0,受)时，2x-晋∈(-吾，) 答案：音 12.ABC根据题意，函数f(x)=sinx|十cos:x= 而y=cosz在[-π十2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，C错误 1sinx十cosx,2kx≤x≤2kr十r, D选项，画出y=sinx的图象如下： c03x一sinx,2kπ一r≤T≤2kπ， 依次分析选项： y=sing A.f(x)=|sinx1十cosx,其最小正周期为2π，故A正确： B.若f(π十x)=f(r一x),则函数f(x)关于x=r对称，即 T3π2π5元3m￥ f(2x十x)=f(-x),则f(2π+x)=|sin(x+2π)|+cos(x 2 2 +2)=Isinl+cosx,f(-r)=Isin(-x)+cos(-)= 可以看出y=inx在(0，受)上单调诡增，D正确， sinx+cosx,则f(2x十x)=f(-x),即f(m十x)=f(x-x) 故选D. 成立，截B正确：C当∈[子]时+晋∈[受，]： 5.B依题意，画数f(x)=3c0(2十9-吾)是偶画数，则华- 画就)号in(+景)单消道减，截C正确：D.当2x 音=-x,k∈乙 <r≤2kx+x,k∈，f(r)=sinr+cosr=√2sin(x+） 即9=晋十kx∈乙，而0<9<，所以9=受，故选B 6.C若0在定义域内，由x=0时，y=0得，g=kx(k∈Z): 2kx+子<x+开<2m+要ke五，此时f)e[-1W2: 若0不在定义城内，由r=0时，an9无意义，得9=登十 :f(r)是偶函数，∴.函教f(x)值战为[一1w2,故D错误. 故选ABC. kπ(k∈Z). 综上g经(k∈)，故选C 13.D因为函数f(x)=cos(r+于)的最小正周期为，所 7.D y=cos'.r-2sin r=1-sin'x-2sin r 以T=音-解得如=2或如一， =-sin x-2sin +1. 今t=sinx, 当w=-2时f(x)=cos(-2x+于）=cos(2x-开），由 则1∈[-1,11，y=-t-2t+1=-(t+1)°+2. 所以ymx=2,ymn=一2. xe(0,),可得2r-于∈(-平，-）： 8,D因为函数f()的相邻极值点之间的距离为受， 显然y=cosx在（-牙，-晋)上单调递增，则f(x)在 所以号-受得T=,又T=符 (0,晋)上单调递增，不符合题意， 所以仙=2.故选D. 当u=2时fr)=cos(2x+牙)小由r∈(0，吾).可得 9.DA.根据正孩函数的性质可知，(-1,1)二（-受，受) 所以y=sinx在（一1,1）上为增函数，故A错误： 2+∈() B.f(x)=cosx是偶函数，关于y轴对称，（一1,1）二 （-受，受)所以y=0sx在(-1,0)上是增函数，在 显然y=cosr在（臣，晋）上单调递减，别f()在 (0,1)上是减函数，故B错误： (0,吾)上单调递减，符合题意， C.f(x)=ln(x十1)的定义域是（一1，十oo), 函数y=n(x十1)是区间（一1,1）上是增函数，故C错误： 所以fx)=cos(2x+平). D.根据指数品数的性质可知，∫(x)=2'在区间（一1,1）上 是减函数，故D正确.故选D. 令2r十吾=受十：kEZ,解释r=音+经，ke乙 10.A当x=牙时，x+至=受，所以（牙0）是画数y 即儿)的零点为营十经，A∈么当=1时为受 2 故选D, an(r十牙)的中心对称，所以A选项正确，B选项错误 、 14.解析：圈为偶函数f(x)=sin(x十)(w>0),所以9= C选项，注意到r=子时x+=受，而tan受不存在，所 k十受k∈么. 以C选项错误. 即f(x)=cos o.r或f(x)=一cosr D选项，注高到x=一平时十交=一受， 又f)=sin(r十p)(w>0)的图像关于点（号，0）中心 而an(-受)不存在，所以D遮选项错误，故选A 对称，所以c0s哥w=0,即子w=km十受，k∈乙 140 参考答案 所以u=3谈+受k∈乙 4A由了)的最小正月潮为，可得-二所以。=号，所 国为r∈[0，誓]画数单调，所以0<r<翠<，即0< 以fx)=sin2r+x)=-sn2x,当re[-音，看]时，2a ≤4， 所以当=0时m=号特合条件， []m2[]以= 2 故选A. 故答案为： 第19练简单的三角恒等变换和函数 答案：号 y=Asin(ex十g)的图象及应用 小题·分层分练 15.解析：因为函数f(x)=2sin(wr+华) 1.AB对于选项A:cos82°sin52°-5in82cos52°= (>0,一受<9<受）困象的相邻两条对称轴之间的距 5in(52°-82)=sin(-30)=-2,故A正确： 离为行， 对于选项B:sin15sin30sn7行=sn15sin30cos15=号 所以-，则T-一经-3 3w= 2π si加30=日，故B正境 所以f(x)=2sin(3x十g),又函数图象关于点 对于选项CG"%=m(4g+72)=m12w (语0)对格， -√5，故C错误. 2sin号o号 0 0 所以2sin(管+p)=0,期晋十9=a:k∈乙.即9=x 对于选项D:户00-（1-2sin号) sin 2sin cos2 晋kez 2sin号 1 因为一受<<受，所以9=吾 0,故D错误，故选AB tan 故答案为：吾 2.D因为函数f(x)=sin(2x十P)的一个对称中心为 (号0)且<受， 答案：君 小题·真题真练 将点（号，0）代入f).可得sin(学+g)=0,解得9=晋， 1.B图为f(x)=sinr∈[-1.1]，且f(x1)=-1,f(x)= 所以fx)=sin(2x+等)，可得(x-平》 1,国-一=受所以f)的最小正周期T=2X吾 =sim[2(e-)+号]=sim(2r-吾) 所以=学=2 所以函数∫(x)的图象向右平移工个单位可得到g(x)= 2.BC直接法对于A,令f)=0,则经，k∈。 sim(2x-晋)的图象.故选D 又g(）≠0，截A错援： 8D#标因亲为合有6解释A=26=2 对于B,f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确： 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确： )的最小正同期T=4×(管一吾)=x 对于D()国象的对称轴方程为2红=受十，∈乙，即x ow=2红=2.fx)=2sim(2r+g）+2. =晋十受∈g)国象的对称轴方程为2x-于=受十 又函数图象的一个最高点为（君，4小 k,k∈Z,即=警+经∈，故f)与)的周象的对 将其坐标代入x)=2sn(2x+p)+2得sim(2X晋十9）=l 称轴不相同，故D错误.故选BC 3.C数形结合法国为函数y=2sin(3红-)的最小正周 lg<受9=fx)=2sim(2x+吾)+2.] 期T=红，所以画数y=2sin(3x-若)在[0,2xJ上的图象 4C由题意，函数的月期为T=60需-斋 3 拾好是三个周期的图象，所以作出函数y=2sin(3r-) 设函数解析式为y=sim(一1十p)(因为秒针是顺时针走 动)， 与y=sinx在[0,2x]上的图象如图所示 TA :初始位置为P(停，》小4=0时y= 1 六sin99可取， 函数解新式为y=im(-01+晋），故选C 5.B函数y=sin(r十晋)的图象上每一点的横坐标变为原 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C 未的2得y=sin(2x+答)小 141