第16练 任意角和弧度制及任意角的三角函数-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题三 三角函数、解三角形 专题三 三角函数、解三角形 第16练 任意角和弧度制及任意角的三角函数 [小题·精讲精练] [小题·分层分练】 [例题讲坛] [一层·打基础] 【例1】已知扇形的周长为20cm,当它的而积最 知识点一象限角与终边相同的角 大时，它的圆心角的弧度数为 1.(多选)下列命题错误的是 [思路引导]由扇形的周长想到扇形面积公式 A.第二象限的角都是钝角 S=r,周长=1什2r,转化为函数求最值 B.小于受的角是锐角 C.2023°是第三象限的角 [解析]因为扇形的周长为20，所以1+2r=20, 即1=20-2，所以扇形的面积S=号=号(20 D.角α的终边在第一象限，那么角的终边在第 交 二象限 2r)·r=-2+10r=-(r-5)2+25,所以当半 2.已知角e终边上有一点P(sin.co）,则x 作 径r=5时，扇形的面积最大为25，此时a=2(rad). [答案]2 一a为 【规律归纳】有关弧长及扇形面积问题的注意点 A.第一象限角 B.第二象限角 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意 C.第三象限角 D.第四象限角 时 角的单位必须是弧度. 3.与要终边相同的角的表达式中.正确的是( (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次 可 函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决， A.45°+2kπ，k∈Z B.k,360+平k∈Z (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理 地利用圆心角所在的三角形. Ck·360+315,k∈ZD.2kx-7,k∈Z 【例2】已知sin0·tan0<0,且cos0·sin0<0, 知识点二弧度制、扇形的弧长及面积公式 此 则号为 4.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧 ( 度数是 ( 线 A.第一或二象限角 B.第二或三象限角 A晋 B c.- D.- C.第一或三象限角 D.第二或四象限角 5.出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉 [思路引导] 璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面 根据给定条件，结合同角公式，由正余弦值的符 状，黄身外耧空雕饰“S”型双龙，造型精美，现要 号判断角所在象限即可推理得解。 计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据 [解析] 由sin0·tan0<0,得in0<0,则cos0 (图2)：AB≈8cm,AD≈2cm,AO≈5cm,若sin cos 0 37°≈ 3 <0且sin0≠0，又cos0·sin00, ,π≈3.14，则璜身（即曲边四边形AB CD)面积近似为 因此cos0<0且sin0>0,0是第二象限角，即受 +2kπ<0π+2kπ，k∈Z, 则晋+红<号<吾十：k∈乙，当k为隔教时，号 是第一泉限角，当人为奇数时，号是第三象限角， 0 图1 图2 所以号是第一或三象限角.故选C A.6.8cm2 B.9.8cm2 [答案]C C.14.8cm2 D.22.4cm2 【规律归纳】运用三角函数定义求三角函数值 知识点三任意角三角函数的定义及应用 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点 6.若a=3,则 A.sin a0,cos a0 B.sin a>0,cos a<0 P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解， C.sin a<0,cos a>0 D.sin a<0,cos a<0 (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设 7.已知角a(0°<a<360°)终边上A点坐标为(sin 出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离， 310°，c0s310°)，则a 然后用三角函数的定义求解 A.130 B.140 C.220° D.230 33 培优限时练小题突破·数学 [二层·提考能] 16.中央电视台综合频道每天晚 i2 8.下列说法中正确的是 上的“焦点访谈”是时事、政 A.锐角是第一象限角 治评论性较强的一个节目， B.终边相等的角必相等 坚持用“事实说话”，深受广 9 C.小于90°的角一定在第一象限 大人民群众的喜爱，其播出 D.第二象限角必大于第一象限角 时间是晚上看电视节目人数 9.已知集合A=a2kx+平<a≤2kx+受k∈Z: 最多的“黄金时间”，即晚上7 点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时 B={akx+牙<a≤kx+受k∈乙，则 刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚 A.A二B B.BCA 焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻 C.A=B D.A∩B=☑ 大约是 10.如果角。的终边在第三象限，则号的终边一定 A.7点36分 B.7点38分 C.7点39分 D.7点40分 不在 17.(多选)下列命题中正确的是 A.第一象限 B.第二象限 A.若角a的终边上有一点P(0,一3)，则角a不 C.第三象限 D,第四象限 是象限角 11.(多选)下列结论正确的是( A.一是第三象限角。 B204和171均是第一象限角 B.若角a的终边过点P(-3,4),则cosa= 3 C.若某扇形的面积为2.5cm2,半径为rcm,弧 5· 长满足2r十l=7cm,则扇形的圆心角的弧 C.若sina>0,则a是第一或第二象限角. D.若圆心角为受的扇形的弧长为元，则该扇形 度数是醋 D.若0∈(0，π)，且角0与角70的终边相同，则0 面积为受 的值是背或写 12.当a为第三象限角时， sin a cos a sin a cos a [小题·真题真练] tana的值是 1.(2022·全国甲卷，理)沈括的《梦溪笔谈》是中国 tan g 13.已知角a的终边上一点P的坐标为 古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度 (sn要，c0s爱），则角a的最小正值为 的“会圆术”，如图，AB是以为O圆心，OA为半径 的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB会 14.《九章算术》是我国古代数学 圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：s= 成就的杰出代表作，其中《方 田》章给出计算弧田面积所 A当0A=2,∠A0B=60时.s=（) AB+CD 用的经验公式为：弧田面积 -2(弦×矢十矢)，弧田由 圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对 弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现 有圆心角为，半径长为4的弧田（如图所示）， 按照上述公式计算出弧田的面积为 [三层·早拔尖] 15.在平面直角坐标系中，角α与3的顶点均为坐 标原点O,始边均为x轴的非负半轴.若角a的 终边与单位圆交于点P(停，)将OP绕原点 0 A.1-33 B.1-43 O按逆时针方向旋转三后与角B的终边重合， 2 2 则cos3= ( C.9-33 D.9-43 2 2 A.3-43 B.3+43 2.(2020·全国卷Ⅱ)若a为第四象限角，则() 10 10 C.4-33 D.4+33 A.cos 2a0 B.cos 2a<0 C.sin 2a>0 D.sin 2a<0 10 10 34参考答案 6.B 因吾 a-3 x,则a是第二象限象限角, 所以sing0.cosa0.故选B. 7.B 因为sin3100,cos 310 0. 所以角。的终边在第二象限, 翻# 又因为tanac0s 310 cos(360-50°)cos 50 sin 310{sin(360*-50 )=-sin 50 cos(140*-90{)sin 140{ 综上可得,方程f(f(x))一x有4个实数根, -sin(14090)co8 140tan 140°. 故答案为:4 且0* a{360{,所以a-140{},故选B.$$ 答案:4 8.A 锐角是指大于0{小于90{的角,故其在第一象限,即A正 14.解析:.4logb+loga-4.a,b(0,1)U(1.+oo). 确;选项B.终边相等的角必相等,两角可以相差360{整数 倍,故错误;选项C.小于90{}的角不一定在第一象限,也可以 为负角,故错误;选项D.根据任意角的定义,第二象限角可 以为负角,第一象限角可以为正角,此时第二象限角小于第 一象限角,故错误,故选A. 9.A 当-2n,n乙时. $B={a2n+π<a<2nπ+-,z{=A. ) 所以当0 r<2时f(x)<0,当x>2时f(x) 0. 当-2n+1,nZ时. 所以f(x)在(0,2)上单调逆减,在(2,十)上单调递增, BB-{ al2n+x+-<<2n+x+ . 所以f(x)=f(2)-ln2+1. 所以(+ln)=ln 2+1.当且仅当b-2.a-2时 所以A二B.故选A. 10.B''为第三象限角,.'·360+180{ ·360 + $70{}E .'·120{+60} <k 120{+90{ . 答案:n2+1 令 =3n,nZ,时,3n·120 +60{<<3n·120 +90{. 专题三 三角函数、解三角形 第16练 任意角和孤度制及任意角的三角函数 n乙,可得号的终边在第一象限; 小题·分层分练 令k=3n+1,nz时,(3n+1)·120*+60{<< 1.ABD 对于A,一200{是第二象限角,但一200{不是钝角,故 A错误; (3n+1)·120{}+90{},nZ,可得号的终边在第三象限, 对于B,锐角是(o,吾)之间的角,如一一,但一不是 令 -3n+2,nZ时,(3n+2)·120{+60{}<。 锐角,故B错误; 对于C,2023{-5×360{}+223^{,所以2023{}与223^{*}角终边相 (3n+2)·120{+90{,nZ. 同,在第三象限,故C正确: 心可得“的终边在第四象限,故选B 对于D,若a-60{}终边在第一象限,而-20{终边在第一象 11.BD 对于A,由一吾E(一,0),则其为第四象限角,故 限,故D错误,故选ABD 2.C 已知角a终边上有一点P(sin2-.cos2-),即点 A错误: 对于B,由角a的终边过点P(一3,4),则co5a ##A-)g--+2ha(xe),# 一3.故B正确; (-3)*+4 .--7--2kx(kEz)为第三象限角,故选C. 对于C,由sina0,则角a终边也可能在y轴上,故C 错误; 3.D 在同一个表达式中,角度制与孤度制不能混用,所以A, B错误,与$终边相同的可以写成2^+9(e乙)的形 对于D,由圆心角吾的扇形的张长为π,则其半径r一3,所 以扇形的面积$-×3·-3,故D正确,故选BD. 12.解析;因为a为第三象限角,所以sina 0,cosa<0,tana 以C错误,D正确.故选D. 4.A 将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故C,D不正确。 >0. 所以 singlc0stan--1-(-1)+1-1. 又将表的分针拨慢10分,故转过的角度应为圆周的一 sina #-cos ana ##为#- 答案:! 故答案为:1. 5.C 显然△AOB为等腰三角形,OA-OB-5,AB-8, #AB 则cos OAB= 3,所以 0AB~37*,于是 A0B-180*-2×37*-106 - 53-,所以琐身的面积近似为乙AOB·(OA*-OD①{})- 答 00 答案: 137 培优限时练小题突破·数学 得 AO-# AO-#D-A-$4 2,可$ 得矣-4-2-2.由AD-A0sin-4×2,可得弦 sin+cos-1 联立方程组{ (4③×2+2)-43+2. #3,所以B正确; 答案:43+2 15.A 由题意可得sina=.cosa-,由于=+a,所以 cos8 cosg=costa+)cos cos-sin asin=3 错误,故选ABD. 3.B .sin(o+x)<o.'.-sinoo,sine0. 43_3-4故选A. .cos(0-n)0..-cos80,cos00.故选B 4.解析:由题意知tana=一 10 3。 2) 16.B 设7点1分(30 1~60)时针OA与分针OB重合,在7 点时,时针OC与分针OD所夹的角为210{},时针每分钟转 cos(吾+。)sin(z+a) 则cos(ini-a)sin(3π-a) --sina(-sina)_-sina_ 0.5^{},分针每分钟转6^{③},则分针从OD到达OB需旋转6{} -cosasina 时针从OC到达OA需旋转0.5{t.于是6^{①}-0.5{}t+210{}; cosa 81~38.故选B. 解得1-38 17.AD 对于A,因为点P在y轴上,所以角a的终边在y轴 负半轴上,所以角。不是象限角,故A正确。 答案: 对于B.200- 22-+2,因为2为第一象限角,所以200 为第一象限角,由于1711^{}-4×360{}+271^{},且271^{}不是第 5.B 因为sin(2{+a)-) 一象限角,所以1711{不是第一象限角,故B错误。 [7十2r-7, 所以cos(3π-。)=cos --(2+a)]-sin(2+ 1-5. 1-2. -.则sin(-一。)-1#-co(--2 以一-)一一) sin(3#,a) 对于D,因为角0与角70的终边相同,所以70-0十2k,k. -士2.故选B. -或,故D正确,故选AD. 小题·真题真练 .sina-寸,若+-吾,则--a. 1.B 由条件得,△OAB为等边三角形,有OC=③,CD= 2- .所以-2+(2-3)2+7-4/11-43 A中 sing-sin(-。o)-cosg-士T15,故 A符合条件; 2r 2 2 B 中cos(x+)-cos(-a)--sina--1,故B不 2.D 法1:由题意,知一吾+2k<a<2kx(乙). 符合条件: 所以-x+4k<2 4kx(kE),所以cos 2a 0或cos 2a>0. sin20,故选D. C中,tan{-15,即sin-15cos ,又sin}+cos^{}-}, 故sing一士15),故C符合条件; 法2:当a--"时.cos 2a-0,sin 2a--1,排除A、B.C,故 4 选D. D中,tan-15. 5, singT5 5 -cos ,又sin③十cos}③-1. 第17练 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 小题·分层分练 1.B 由(sinθ+cos 0)+(sinθ-cosθ)-2,sinθ-cos - 7.B 由tanθ=2,得sin(a-20)_ sin 20 2sin oeos0 5 1-cos20 #,得(sino+coso):-. 1-sin(吾-20) 2sin0 而θ(o.π),即sinθ0,coseo,解得sinθ十cos8= 3,因此sin-2. 8. C 由题 a0,sin10{}-asin100{}-asin(90{+10{})=a o$$ cos0 10*,又因为sin10{+cos10-1 故选B. 解得sin 10*-“,cos 10*-1 2. ABD 因为sin0十cos0-,平方可得sin{}+2sin 0cos 0十 +1 a十1 . -1,解得2sinocoso-一 又因为sin 20{-2sin 10 cos 10*-21 cos0-1+2sin fcos0- a+1a十1 因为6(0.x),所以sinθ0.cosθ<o,所以8(吾.x),所 以A正确; 故选C. 138