第15练 利用导数研究函数的极值与最值-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题二函数、导数及其应用 第15练 利用导数研究函数的极值与最值 [小题·精讲精练] [解析]因为f(x)=x3+3.x2-9x+1,所以 (x)=3.x2+6x-9,令(x)=3x2+6.x-9= [例题讲坛] 0,解得x1=一3，x2=1,所以了(x)在（一0， 【例1】 若函数f)=a.x2- 十1存在唯一的零 -3)和（1，十∞)时，(x)>0,(x)在 (一3,1)时，f(x)<0,所以函数f(x)在（一∞， 点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是 ( 一3)和(1，十o)上单调递增，函数f(x)在 A.(-∞， 2 B.(-√2,0) (一3,1)上单调递减，则f(x)在[1,2]内单调递 2 C.(0,w2) D竖+ 增，所以在[1,2]内，f(2)最大；f(x)在 (一3,1)时单调递减，所以在[一3,1]内，f(-3) 最大：f(x)在（一∞，一3）时单调递增，所以在 [思路引导]由存在唯一的零点x0,且x0>0, 想到分离变量a构建新函数 (-∞，-3)内，f(-3)最大：因为f(2)=3, [解析] 由函数f(x) f(-3)=28,且f(x)在区间(k,2]上的最大值为 =a.x3 作 x2+1存在 28,所以k<一3，即k的取值范围是（一0∞，一3）， 2 故选A 唯一的零点0，且x0>0 -2 [答案]A 【规律归纳】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最 等价于a= 时 x3有 大值和最小值的思路 (1)若所给的闭区间[a,b们不含参数，则只需对函 唯一正根， 数f(x)求导，并求f(x)=0在区间[a,b]内的 可 2x2 根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函 即函数y=g(x)= 的图象与直线y=a 数值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大 沿 在y轴右侧有1个交，点 值，最小的一个是最小值， 此 又y=()为奇画数且g()=3(2-)(W2+D (2)若所给的闭区间[a,b们含参数，则需对函数 2x f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单 调性，从而得到函数f(x)的最值， 线 则y=g(x)在（一∞，一√2），(2，十∞)上为减画 数，在（一√2,0），(0，√2)上为增函数，则满足题意 [小题·分层分练] 时y=g(x)的图象与直线y=a的位置关系如图 [一层·打基础] 所示，即实数a的取值范国是a<- 2 知识点一用导数解决函数的极值问题 [答案]A 1.设函数f(x)的导函数为∫(x),y=(x)的部分 【规律归纳】导数法研究函数零点的存在性问题 图象如图所示，则 的策略 (1)基本依据：函数零点的存在性定理. (2)注意点：函数零点的存在性定理是函数存在 -0.5 零点的充分不必要条件， (3)基本方法：导数法分析函数的单调性、极值、 区间端点函数值，画出函数的草图，数形结合求 参数的值。 (4)常见技巧：将已知等式适当变形，转化为有利 A函数x)在(2)上单调递增 于用导数法研究性质的形式， B.函数f(x)在(0,4)上单调递增 【例2】已知函数f(x)=x3+3.x2-9x+1,若f C.函数f(x)在x=3处取得极小值 (x)在区间(k,2]上的最大值为28，则实数k的 D.函数f(x)在x=0处取得极大值 值可以是 A.-4B.-3 C.-2 D.-1 2.函数f(x)=2x-tanx-x在区间(-受，受)的 [思路引导] 极大值、极小值分别为 ( 先求出f(x)的导函数，即f(x)=3.x2+6x-9, 令了(x)=3x2十6x-9=0,可得x的值，讨论函 A+1,-+1 B-+1，- 3十1 数的极值及单调性，结合f(x)在区间(k,2]上的 最大值为28，即可求出k的取值范围. c-1,-吾+1 D--1, 3元+1 2 29 培优限时练小题突破·数学 知识点二用导数解决函数的最值问题 [三层·早拔尖] 3.函数f(x)=sinx一(x十2)cosx一1在区间 13.对函数f(x)=x2+aln(x+x2+1)(x∈R, [0,2π]上的最小值、最大值分别为 ( a∈R且a≠0)的极值和最值情况进行判断，一 A.-2x-3,π+1 B.-2π-3.-3 定有 () C.-3,π十1 D.-3,2 A.既有极大值，也有最大值 4.已知函数f(x)=ae- 号2在区间1,2)上单 B.无极大值，但有最大值 调递增，则a的最小值为 ( C.既有极小值，也有最小值 A.e B.1 C.e-2 D.e-1 D.无极小值，但有最小值 知识点三用导数解决生活中的优化问题 14.(多选)已知函数f)=n工，g()=,若存 5.圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件 的圆柱的最大体积为 ( 在x1∈(0，十oo),x2∈R,使得fx1)=g(x2)= A.8π B.10元 C.12x D.16元 k(k<0)成立，则下列结论正确的是 6.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体 A.In 1=x2 积最大，则其高为 ( B.In(-x2)=- A.203 3 B.10 C.20 n号 ·心的最大值为号 [二层·提考能] 7.已知函数f(x)=(k一x)e'在区间[0,1]上的最 D. ·心的最大值为 大值为k,则函数f(x)在(0，十∞)上 15.如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的 A.有极大值，无最小值B.无极大值，有最小值 C.有极大值，有最大值D.无极大值，无最大值 轴截面是面积为9√3cm2的正三角形.若在该 8若函数f)=22-ax+lnx在(0,2)上有极 酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不 超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积 值，则实数a的取值范围是 ( 最大时，其高度为 cm. A[2] B(,] C.[2,+o) D.(2,+o∞) 9.已知函数fx)的导函数为f(x),f(x)为奇函数 且图象如图所示，则f(x)的解析式可以是() A.f(r)=(e+e)x2 yt B.f(.x）=x3-sinx [小题·真题真练] C.f(r)=x2-sin r D.c 2m￥ 1.(2024·新课标全国Ⅱ卷)（多选）设函数f(x)= 2x3-3a.x2+1,则 10.(多选)已知函数f(x) A.当a>1时，f(.x)有三个零点 =.x3十a.x2一a.x十1，则下列说法正确的是 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对 A.若f(x)为R上的单调函数，则a<一3 称轴 B.若a=2时，f(x)在(-1,1)上有最小值，无 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对 最大值 称中心 C.若f(x)一1为奇函数，则a=0 2.(2023·新高考Ⅱ卷)（多选）若函数f(x)=alnx十 D.当a=0时，f(x)在x=1处的切线方程为 3.x-y-1=0 名+a≠0)既有极大值也有极小值，则(】 11.已知函数f(x)=(x-1)e2+a.x2的最小值为 A.be0 B.ab0 一1，则实数a的取值范围为 C.b2+8ac>0 D.ac<0 12.某零食生产厂家准备用长 3.(2023·新高考I卷)（多选）已知函数f(x)的定 为2√7cm,宽为4cm的长 义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则() 方形纸板剪去阴影部分（如 A.f(0)=0 图，阴影部分是全等四边 形)，再将剩余部分折成 B.f1)=0 个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该 C.f(x)是偶函数 包装盒容积的最大值为 cm. D.x=0为f(x)的极小值点 30参考答案 1)上不单调, 因为/(r)在区间(m,n十 '16.解析:因为f(x)在区间(-o,一2),(2,十o)上单调递增, 所以,当x(-,-2)U(2,+).f(x)>0. n0 因为f(x)的导函数f(x)为偶函数, 所以 所以,令f(x)-x”-4,满足题意, 以.()-4 故选B. 11.D 由f(3)-0,且f(x)为偶函数,故f(-3)-0. 故答案为:13-4x(答案不唯一) 由导数性质结合图象可得当x(一4,0)时,/(x)<0. 当x(0,4)时,f(x)0,当x-0时,即f(0)-0. 一0# 小题·真题真练 1.ACD 代数推理法十作差比较法 因为f(x)一(x-1) r之3,亦可得 /(r)0 ($-4),所以f(x)=2(r-1)(-4)+(-1)-3(-1 或f(x十1)-0,或/(r)-0, (x-3),令f(x)-0,解得x-1或x-3,当x<1或x3 -4十1<-3 时,/(x)>0,当1 x 3时,f(x)<0,所以函数f(r)的单 1o<r<4 7x)一o 调递增区间为(一oo,1),(3,十o),单调递减区间为(1,3). 故文一1是函数f(x)的极大值点,r一3是函数f(x)的极小 值点,所以A正确. ##。得 当0 x<1时,r-r-x(1-x)0,即0<r<x<1,又函 ,即-4r0. 数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x{})<f(x),所以B 由/(r十1)-0,可得x十1-士3,即r-2或x--4(含去, 错误。 不在定义域内), 当1<x<2时,1<2x-1<3,函数f(x)在(1,3)上单调递 由/(r)-0,可得x-0. 减,所以-4-f(3)<f(2x-1)</(1)-0,所以C正确。 综上所述,关于x的不等式/(x十1)·/(x)二0的解集为 当-1<x<0时,f2-x)-f(x)=(2-r-1)(2--4) (-4.0]U[2,3).故选D. 一(r-1)(r-4)=(-1)(--2)-(-1)(r-4)= 12.解析:(1)/(x)-3kr*+6(k-1)x,由题意知/(4)-0,解 (x-1)(-2r+2)=-2(r-1)0,所以f(2-) 一。 f(x),所以D正确,综上,选ACD. 2.C 依题可知,/'(c)-ae -1→o在(1,2)上恒成立,显然 (2)由/(x)-3kr^+6(k-1)x<0并结合导函数的图象可 (2)(0.] 答案:(1)寸 设g(x)=xe,x(1,2),所以g'(x)-(x+1)e0,所以 g(x)在(1,2)上单调递增,g(c)>g(1)-e,故e-,即a 13.Df(x)-2ar-4a-I2ax*-4ar-1.若f()在(1, 3)上不具有单调性,令g(x)-2ax^{-4ax-1,则当a-0 时,显然不成立,a≠0时,只需{-一16}-80→0.解得a< 第15练 利用导数研究函数的极值与最值 g(1)g(3)<0. ##>而(+)(--)乙(+),故 小题·分层分练 1.B 由图象可知,当xE(一o)时,/(x)<0, 选D 所以画数(二)在(一)上单调逆减,A错误; 14.A f(e)-ax-2e,所以f(x十1)ax-2e 在(0,+oo) 上恒成立,等价于f(1十1)→/(e)在(0,十)上恒成立。 因为当x(0,十)时,1<x十1<e恒成立,所以只需 当x(0,4)时,f(x)>0 f(x)在(1,十c)上递减,即当x>1时,/(x)之0恒成立, 所以函数f(x)在(0,4)上单调递增,B正确,C错误; 函数f(x)在x一0处取得极小值,D错误,故选B. 即当x>1时,“<2恒成立,所以a<2.故选A. 2.D 由题意,得”(x)-2-(s)-2- cos21 15.BCD由f(x)cosx>f(x)sinx十e·f(x),可得f(x) 2co{一1.当xe(-,-)U(,)时,2co{x- (cosx-e)-f(r)sinx0. 令g(x)=f(x)(cosx-e). cosr 则当x>o时,g'(x)-f(x)(cosx-e)-f(x)sinx>0. 1<0./(x)<0; 所以g(x)在(0,十oo)上单调递增, 当x(-ππ)时,2cosx-10,/(r)>0. 所以8(吾)<g(3),即/()(cos一)< 所以f(c)在(一一)上单调递减,在(一,)上单 #(3)( o3一e). 调递增,在(吾,吾)上单调递减. 可得/()(一e)</()(一e). 当-时:f(v)取得极小值,为/(一)--3-{+1; 所以/(吾)→/(),所以C正确; 当x-吾时:f(x)取得极大值,为/()--吾-1. 因为g(0)=f(0)(1-e)-0,所以当x>0时,g(x)>g(0) 故选D. -0,又因为cosxe 0,所以当x0时,f(x) 0,所以B 3.A f(x)=cos x-cos x十(r十2)sinx=(r十2)sinx. 正确; 所以f(x)在区间(0,π)上f(x)0,即f(x)单调递增; 由/(r)是定义在R上的奇函数,故当x0时,/(r)一 在区间(n,2r)上/(r)<0,即/(x)单调递减, 一f(一x)0,又因为f(0)-0,所以f(x)在R上有且只有 又f(0)--3,/(2π)=-2n-3.f(x)=+1. 1个零点,所以D正确. 所以f(x)在区间[0,2x]上的最小值为-2π一3,最大值为 因为f(x)的单调性无法判断,所以A错误.故选BCD n1.故选A. 133 培优限时练小题突破·数学 4.D 因为f(x)一ae一x一0在区间(1,2)上恒成立,所以 f(r)-1--[/(-r)-1]→r+ar”-ar-x-ar^- ax→a一0,故C对: D:当a-0时,f(x)-x+1,/(x)-3r,则/(1)-3,切 &(2)-1<0在(1,2)上恒成立,所以g(c)-在区间 点为(1,2),切线方程为3x一y-1-0,故D对; 。r 故选BCD. (1,2)上单调递减,所以g(x)<g(1)=e,故a二e,故 11.解析:因为f(x)-(r-1)e+ax,所以/(x)-xe+2a 选D. -x(e+a). 5.A 圆柱的底面半径为r,高为h,则4r十2h-12,即2r十h- 若a0,则x(一oo,0)时,f(x)<0,故f(x)在(-,0) 6.圆柱的体积V=rh=xr(6-2r)=-2xr+6xr,0 上单调递减, 3.V--6r+12xr=-6xr(r-2),当0 r<2时. x(0.十)时,f(x)0,故f(x)在(0.十)上单调 V'0.函数单调道减,当2<r<3时,V<0.函数单调递增; 递增, 所以,当r一2时,函数V(r)取得最大值,最大值V(2) 所以当1一0时,/(x)有最小值/(0)一-1,满足题意; 8x.故选A. 若a0,则当工无限趋近于负无穷大时,f(x)无限趋向于 6.A 设圆锥的高为x(0 x 20),则罔锥底面半径:r 负无穷大,f(x)没有最小值,不符合题意; 综上,a0,所以实数a的取值范围为[0,十o). 故答案为:[0,十) 答案:[0,十o) .V--r+400xV-0.解得x= 203 12.解析:如图是四梭锥形包装盒的直观图,设ACOBD一O. 连接PO,易知PO1平面ABCD. 3 设AB、BC的中点分别为E、F,连接PE、PF. 当x(o.20③)时V>0;当xe(203,20)时V<0 设AB-a,BC-b.PO-h. .当x-20.V取最大值,即体积最大时,圆锥的高 则PE→+(),因为2PE+BC-4, 所以2、6}+(){}+6-4.梦整理得h}一4-26,所以b 为203 7.D 由(x)=(k-x-1)e,则x<b-1时f(x)0, -1时/(r)0. 所以f(x)在(一,k-1)上递增,(k-1,十o)上递减, 同理2PF+AB=2/7.,所以2+()+a=2、/7,整 而f(0)一k,f(x)在[0,1]上的最大值为, 所以h-1<0,即k 1,此时f(x)在(0,十o)上递减,且无 理得 ^}-7-7,所以7- /7 -. 极大值和最大值,故选D # -4#_ 2 /7 要画数/()一 /7 因为a,b0,所以h(0,2). 2 令g(h)-h-11h+28h,h(0.2). (0.2)上有实数根。 则g$(h)-5h -33h*+28-(5h*}-28)(h-1). 因为5h}-28{<0,所以当0{<h<1时g'(h)>0,当1<l 2时g(h)0. 2,当且仅当x-1时等号成立,所以a二2. 所以g(h)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减, 所以当h-1时g(h)取得最大值,即g(h)mx-g(1)-18, )r 调递增,则函数f(x)一- 值,故a2.故选D. 9.D由/(x)为奇函数,可知f(x)为偶函数,故可排除B、C; 对于A,当r→0时,/(r)-(e-e)r+2(e十e)x 答#7 >0,排除A;对于D,由/(x)-+cosx,有/(r)- -sinx,设g(r)= 2r-sinx,令g'(c)= 2-cosr-0,即 cosx-一有无数解,即说明/(c)有无数的极值点,与题意 -.C 相符,故选D. 10.BCD A:若f(x)为R上的单调函数,则f(x)一3r+2ar -a,A-4a+12a<0,则-3<a<0,故A错; 2x(+(2a+1) 13.C /(r)-2x+a.4r+2r_ B:当a=2时,f(x)-+2r-2x+1,令/P(x)-3x+4 +十1十+1 r+a十1),下面讨论方程:十(2a十1)x+a+1-0根的 -2-0,得x.--2-10 情况,令a-r[0,+co),g(u)-a十(2a十1)u+a+1, /(x)在(一1,工。)上单调递减,在(x。,1)上单调递增, (1)当g(0)-a十1 0时(即a<-1),g(u)仅有一个唯一 f(x)在x一x。处取最小值,无最大值,故B对; 的正零点,不妨设为u,此时/(x)有三个不同零点,分别 C:由于f(x)-1-工十ax*-ax,则f(x)一1为奇函数时, 为一。,0.u;满足既有极小值,也有最小值; 134 参考答案 22 上单调递减,在(a,十c)上单调递增,且当r→-时,f(x) (2)当g(0)-a+1-0时(即a=-1)/(x)=- r+r+1 →-,f(0)=1,f(a)=-a+10,当x→+oo时,f()→ (r十1)(x一1);满足既有极小值,也有最小值; 十o,故/(x)有三个零点,A正确;对于B,当a<0时,由 (3)当g(0)-a十10时(即a>-1且a子0),若= 21<o(即a- f(x)<0得a<x<0,由f(x)>o得x0或x<a,则f(x) 一且a-0),则/(x)仅有一个唯一的 在(一,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,十o)上 极小值点为0,若--2a1→o(-1<a<-),结合A 单调递增,故x一0是f(x)的极小值点,B错误; 对于C,当r→十oo时,f(x)→十oo,当x→一x时,f(x)→ -(2a+1)-4(a+1)=4a-3分析可知:当-1<a<- 一.故曲线y一f(x)必不存在对称轴,C错误: #时,g(u)有两个不同的正零点(令为a,u:且u<a). 对于D,解法一(配方、平移)f(x)=2r一3ar^+1= ##(-)#}-(-)+1-},令1---,() 此时f(x)在(一o.一),(-n,0), ##{时,则(xc)仅# 可转化为(n)-2-3}+1-{},由y-2-为 (n,)上单调递减,当一 奇函数,且其图象关于原点对称,可知g(1)的图象关于点 有一个唯一的极小值点为0.满足既有极小值,也有最小 值;综上分析, (0.1-)对称,则/(x)的图象关于点(,1- ^$})对称, 故选C 故存在a一2,使得点(1,/(1))为曲线y一/(x)的对称中心, D正确,故选AD. 解法二(二级结论)任意三次函数f(x)一ar十br十cx十 d(ay0)的图象均关于点(一(一)成中心对称,D r 两边同时取对数可得ln(-lnx.)-lnx.-ln(-x。)-x。. ·画数y-lnx十x在(0,十oo)上为增画数.'-lnx。= 正确,故选AD. 2.BCD函数f(x)-alnr++的定义域为(0,+oo),求 r1 文){ e,设h(b)一b.e(k之0),.'h'(b)=e'(b}+2),由e(k^} 导得/(g)--△-2ca*-br-2c +2)0,可得 <一2,故h()在(-,-2)上单调递增, ) 在(-2,0)上单调递减,故h(b)n.-h(-2)- ,因此 因为函数f(x)既有极大值也有极小值,则函数/(工)在(0. 十o)上有两个变号零点,而a去0, (1) .的最大值为.综上,AC正确。 因此方程ar-bx-2c-0有两个不等的正根工,X。 (△-b+8ac>0 15.解析:由题意作出圆锥轴截面的平面图,如图所示,过等边 三角形ABC项点C作CD 1AB,则AD=BD, ACD= /BCD-30*. 2c~0 设圆锥底面圆的半径为Rcm,则AD=R,AC一2R; r二一 所以CD=AC-AD=4R-R-③R. ab0.即bc 0.A错误,BCD正确.故选BCE 因为圆锥的轴截面是面积为9/3cm; 3.ABC 令r=y=0,则f(0)-0,故A正确; 所以·AB·CD-·2R·3R-3R-93. 令x=y-1,则f(1)-f(1)+f(1). 即f(1)一0,故B正确; 解得R-3. 令x=y=-1,则f(1)-f(-1)+f(-1), 易知冰块体积最大时上底与杯口齐平, 因为f(1)-0,所以/(-1)-0;令y-1, 设圆柱形冰块的底面圈半径为xcm,其中0r3,高为h 则 f(一x)=f(x)十rf(一1)=f(x). cm.则AP-(3-r)cm. 故f(x)是偶函数,故C正确; 在Ri△APN中,tan NAP-NP AP 令/(r)一 10.1-0 1rnl,x,。满足题意, h_. 则当x0时,f(x)-rlnx. 则-v3(3-x)(0<x3). 设圆柱形冰块的体积为Vcm. 则V-③xr·(3-x)(0r3). 令/(r)<0.0r. 设/(x)-3xr(3-x)(0x<3). 故/(c)在(0,e)上单调递减,(e,+)上单调递增, 则/(x)-33rtx(2-x). 当0r2时.(x)0: 当2<r3时.(x)<0. 且 lim /(x)=lim _0. './(x)在x一2处取得极大值,也是最大值, →0 即f(x)-f(2)-4③x. 又f(x)是偶函数, 所以h-3×(3-2)-③ 故f(x)图象如图所示,所以x一0为f(x)的极大值点, 故当放置的圆柱形冰块的体积最大时,其高度为、3cm. 故答案为v3. 答案:③ fi)-nlxl 小题·真题真练 1.AD由题可知,/(r)-6r(x-a). 对于A,当a>1时,由/(x)<0得o<xa,由/(x)>0 得x0或x>a,则f(x)在(一o,0)上单调递增,在(0,a) 故D错误:故选ABC 135