第14练 利用导数研究函数的单调性-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题二 函数、导数及其应用 ------ 第14练 利用导数研究录数的单调性 [思路引导] [小题·精讲精练 由题意可得f(x)0在(0,5)上恒成立,即a [例题讲坛 (1-x)e在(0,5)上恒成立,令g(x)=(1-x) 【例1】已知y一xf(x)的图 e,求出g(x)取值范围即可, 象如图所示(其中f(x)是 [解析] 因为函数 f(x)=(2一x)e一ax在 (0.5)上为减函数,所以/(x)一一e十(2-) 函数f(x)的导函数)下面四 e一a0在(0,5)上恒成立, 个图象中,y一/(x)的图象 所以a二(1一x)e在(0,5)上恒成立,令g(x) ( 大致是 ) (1-x)e,所以g(x)=-e+(l-x)e= -------把--5 一xe<0,所以g(x)在(0,5)上单调递减,所以 -4e5=g(5)<g(x)<g(0)=1,故a>1,所以a 的取值范围是[],+o),故选D [答案] D 【规律归纳】 解决含参数的函数的单调性问题应 注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参 (--- 数对不等式解集的影响进行分类讨论, (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内 --一P C 讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点 [思路引导] 由函数y一f(x)的导函数y= [小题·分层分练] & f'(x)的图象自左到右先增后减,可知函数y [一层·打基础] f(x)图象的切线的斜率自左到有先增大后 知识点一 减小. 不含参数的函数的单调性 1.函数y一xlnx的单调递减区间是 下 [解析]当0x1时,xf(x)<0. A.(-c,e-1) B.(e-1,十) .f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数; C.(e.十oo) D.(0,e-1) 当x>1时,xf'(x)>0..,f'(x)>0. 2.函数f(x)=(x-1)e一x2的单调递增区间为 故y一f(x)在(1,十)上为增函数,故选C ,单调递减区间为 [答案]C 知识点二 含参数的函数的单调性 【规律归纳】确定函数单调区间的步骤 3.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,十o)单调递 (1)确定函数y一f(r)的定义域 增,则的取值范围是 ( ) (2)求f(x). A.(-co,1) B.(-o0,1] (3)解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分 C.(1,十oo) D.[1,十) 为单调递增区间. 4.函数f(x)=x3一ax为R上增函数的一个充分 (4)解不等式f(x)<0,解集在定义域内的部分 → 不必要条件是 ) 为单调递减区间 A.a<0 B.a<0 【例2】 已知函数f(x)-(2-x)e-ax在 C.a>0 D.a>0 (0.5)上为减函数,则a的取值范围是 ) 5.已知函数f(x)=x2-ax十lnx(aéR)的减区间 A.(-0,5e) B.[5e,十oo) 为(,1),则a-__ C.(1,十) D.[1,十) 27 培优限时练小题突破·数学 知识点三 利用导数解决函数单调性的应用问题 [三层·早拔尖] 6.若函数h(c)-lnx- 13.已知函数f(x)=ax②-4ax-lnx,则f(x)在 (1,3)上不具有单调性的一个充分不必要条 单调递增区间,则实数a的取值范围为 ) 件是 -_ A.[-1,+co) B.(-1,十) ) C.(-~- D.(--) B.a(-. ) 7.(多选)已知f(x)为(0,十x)上的可导函数,且 (x十1)/(x)>f(x),则下列不等式一定成立 的是 ) 14.已知函数f(x)=alnx-2x,若不等式f(x+1) A.3/(4)4f(3) B.4/(4)>5/(3) >ax-2e”在x(0,十)上恒成立,则实数a C.3f(3)4/(2) D.3f(3)>4/(2) ( 的取值范围是 _ [二层·提考能] A(-,2] B.[2,十) 8.函数f(x)=x-2ln(2x)的单调递减区间为 __ C.(-o,0] D.[0.2] A.(-oo.1) B.(0,1) 15.(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)连续,函 C.(0,2) D.(2.十co) 数f(x)的导函数为f(x).当x>0时,f(x) _ ) cosx>f(x)sinx十e·f(x),其中e为自然对 数的底数,则 ( A. f(2)>f(e)>f(3) B. f(3)>f(e)>f(2) ) C. f(e)>f(2)>f(3) D. f(e)>f(3)>f(2) A. f(x)在R上为减函数 B.当x>0时,/(x)0 C./()>/({)# 不单调,则实数n的取值范围为 ,→ ) A.__ # B. D. f(x)在R上有且只有1个零点 16.已知函数f(x)满足下列条件;①/(x)的导函数 D.m>1 f(x)为偶函数;②f(x)在区间(一x,一2) 11.函数/(x)是定义在(一4,4)上的偶函数,其图 (2.十o)上单调递增,则((x)的一个解析式为 象如图所示,f(3)=0.设f(x)是f(x)的导函 /f(x)一 .(答案不唯一) 数,则关于x的不等式f(x十1)·/(x)二0的 _ 解集是 ) [小题·真题真练] 1.(2024·新课标全国I卷)(多选)设函数f(x)三 (r-1)2(x-4),则 A.c一3是f(x)的极小值点 B.当0 x1时,f(x)<f(x2) A.[0.2] B.[-3,0]U[3,4 C.当1x 2时,-4 f(2x-1) 0 C.(-5,0][2,4) D.(-4,0]U[2,3) D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) $2.已知函数f(x)-x3+3(b-1)x$-b2+1( >0$$ 2.(2023·新高考II卷)已知函数/(x)=ae 一ln 的单调递减区间是(0,4) 在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( ) (1)实数的值为 A.e2 (2)若在(0,4)上为减函数,则实数×的取值范 B.e C.e-! 围是 D.e-2 28培优限时练小题突破·数学 17.解析:设曲线f(x)-2上的切点为A(x.2\) '.f(x)的单调递增区间为(一,0),(ln2,十x),单调递减 (x>0),曲线g(x)=2+lnx上的切点为 区间为(0.ln2). B(x.,2+lnx。)(x:0). 答案:(-o,0).(ln2,十)(0,ln2) 3.D 若函数f(x)一kx-lnx在区间(1,十)单调递增; / rrx (1,+)上恒成立;又画数y-一在(1.+oo)上递减,所 因为公切线的方程为y-(2+lnx。)-(v-x。),即y 以11恒成立,则>1 -1+1nx:+1, r 故友的取值范围是1,十),故选D. 将(x,2)代入公切线方程得2 -+lnx。+1. 4.B 画数f(x)一x一ax为R上增函数的充要条件是f(x) ,1 -3r^{}-a一0在R上恒成立,所以a<(3r^{}),因为 由x。=r,得lnr-+1-0. (3r)=0,所以a 0.而(-oo,0)(-,0].故选B. 令(x)=lnx-+1x>0,则c)-1-1. 5.解析:由题意可得,f(x)-2x-a+2*-ax+1<0,解 2 当0<x<1时,h'(x)>0:当x>1时,h'(x)<0. 集为(,1). 故函数h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递 减,h(x)-h(1)-0. .方程2x*}-ax十1-0的两根分别为士和1. 所以x-1,x-1. 故公切线方程为y-x+1,即x-y十1-0. +1-,则a-3. 故答案为:r-y+1一0. 答案:--y+1-0 故答案为:3 小题·真题真练 答案:3 1.解析:由题,令f(x)=e十x,则f(x)=e十1,所以/(0)= 6.D 因为函数h(x)-lnx- 2.所以曲线y-e十x在点(0,1)处的切线方程为y-2x十 1.令g(x)-ln(r十1)+a,则g(r)=1 递增区间,所以存在x[1,4],使h'(c)-1-ax-20 1,设直线y-2r+ 1与曲线y-g(x)相切于点(x。,yo),则1 可_2得。= 令G()--2[1.4],变形得G(r)-(--1)*一 -ln2. 1,因为[1,4],所以[,1]# 答案:ln2 2.A/(c)一 (+2cos x)(1+r)-(e+2sinr)·2r.所以/(0)-3. (1十r*){ 故选D. 所以曲线y-f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1-3(x 7.BD设h(Cr)f(x) 0).即3x一y十1一0,切线与两坐标轴的交点分别为(0,1). x(0,+oo). (一,o),所以切线与两坐标轴所因成的三角形的面积为 则'(x)(r+1)/(r)-/(r) ##x###选A# (r十1) 因为(r十1)/(r)>((x)所以h(x)0. 所以h(4)>h(3),即f(4)f(3) 。 .所以-(+1)-= 4(3.4/(4)>5/(3): (x-1),因为y= h(3)(2),即(3)/(2),3/(3)>4/(2);而A无法确 5 (r十1) .ref #(所以-y1_-,所以y-# #-#(c一1),所 定;故BD正确,AC错误,故选BD. 8.C f(x)-x-2ln(2x)的定义域为(0.+oo). .故选C. 由/(r)0,可得x(0,2). 第14练 利用导数研究函数的单调性 故/(x)-x-2ln(2x)的单调递减区间为(0,2).故选C. 9.D()1-ln(o) 小题·分层分练 ,r2 1.D 函数y=xlnx的定义域为(0,十o). 'x(0.e)时,f(x)0.f(x)递增 因为y=xlnx,所以y'-lnx+1. rE(e.十oo)时,/(x)0./(x)递减 令y'0得0r<e. r=e时,f(x)一f(e) 所以减区间为(0,c). 又·'/(2)-n2n8 /(3)-1n3In9 2.解析:f(x)的定义域为R,f(x)=xe-2x=x(e-2). 26 3 6 令/(x)-0,得x-0或x-ln2. '.f(e)>f(3)>f(2) 当工变化时,/(x),f(x)的变化情况如下表, 故选D. (-o0.0)。 (o.In2) ln2(ln2,+oo) 10.B 数/(r)- -ln:的定义域为(0,+oo), /(r) 士 0 且/()--1--1(+1)(Gr-1 7。 /(r) 单调递增 单调递减 单调递增 r 令/(x)-0,得x-1. 132 参考答案 1)上不单调, 因为/(r)在区间(m,n十 '16.解析:因为f(x)在区间(-o,一2),(2,十o)上单调递增, 所以,当x(-,-2)U(2,+).f(x)>0. n0 因为f(x)的导函数f(x)为偶函数, 所以 所以,令f(x)-x”-4,满足题意, 以.()-4 故选B. 11.D 由f(3)-0,且f(x)为偶函数,故f(-3)-0. 故答案为:13-4x(答案不唯一) 由导数性质结合图象可得当x(一4,0)时,/(x)<0. 当x(0,4)时,f(x)0,当x-0时,即f(0)-0. 一0# 小题·真题真练 1.ACD 代数推理法十作差比较法 因为f(x)一(x-1) r之3,亦可得 /(r)0 ($-4),所以f(x)=2(r-1)(-4)+(-1)-3(-1 或f(x十1)-0,或/(r)-0, (x-3),令f(x)-0,解得x-1或x-3,当x<1或x3 -4十1<-3 时,/(x)>0,当1 x 3时,f(x)<0,所以函数f(r)的单 1o<r<4 7x)一o 调递增区间为(一oo,1),(3,十o),单调递减区间为(1,3). 故文一1是函数f(x)的极大值点,r一3是函数f(x)的极小 值点,所以A正确. ##。得 当0 x<1时,r-r-x(1-x)0,即0<r<x<1,又函 ,即-4r0. 数f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x{})<f(x),所以B 由/(r十1)-0,可得x十1-士3,即r-2或x--4(含去, 错误。 不在定义域内), 当1<x<2时,1<2x-1<3,函数f(x)在(1,3)上单调递 由/(r)-0,可得x-0. 减,所以-4-f(3)<f(2x-1)</(1)-0,所以C正确。 综上所述,关于x的不等式/(x十1)·/(x)二0的解集为 当-1<x<0时,f2-x)-f(x)=(2-r-1)(2--4) (-4.0]U[2,3).故选D. 一(r-1)(r-4)=(-1)(--2)-(-1)(r-4)= 12.解析:(1)/(x)-3kr*+6(k-1)x,由题意知/(4)-0,解 (x-1)(-2r+2)=-2(r-1)0,所以f(2-) 一。 f(x),所以D正确,综上,选ACD. 2.C 依题可知,/'(c)-ae -1→o在(1,2)上恒成立,显然 (2)由/(x)-3kr^+6(k-1)x<0并结合导函数的图象可 (2)(0.] 答案:(1)寸 设g(x)=xe,x(1,2),所以g'(x)-(x+1)e0,所以 g(x)在(1,2)上单调递增,g(c)>g(1)-e,故e-,即a 13.Df(x)-2ar-4a-I2ax*-4ar-1.若f()在(1, 3)上不具有单调性,令g(x)-2ax^{-4ax-1,则当a-0 时,显然不成立,a≠0时,只需{-一16}-80→0.解得a< 第15练 利用导数研究函数的极值与最值 g(1)g(3)<0. ##>而(+)(--)乙(+),故 小题·分层分练 1.B 由图象可知,当xE(一o)时,/(x)<0, 选D 所以画数(二)在(一)上单调逆减,A错误; 14.A f(e)-ax-2e,所以f(x十1)ax-2e 在(0,+oo) 上恒成立,等价于f(1十1)→/(e)在(0,十)上恒成立。 因为当x(0,十)时,1<x十1<e恒成立,所以只需 当x(0,4)时,f(x)>0 f(x)在(1,十c)上递减,即当x>1时,/(x)之0恒成立, 所以函数f(x)在(0,4)上单调递增,B正确,C错误; 函数f(x)在x一0处取得极小值,D错误,故选B. 即当x>1时,“<2恒成立,所以a<2.故选A. 2.D 由题意,得”(x)-2-(s)-2- cos21 15.BCD由f(x)cosx>f(x)sinx十e·f(x),可得f(x) 2co{一1.当xe(-,-)U(,)时,2co{x- (cosx-e)-f(r)sinx0. 令g(x)=f(x)(cosx-e). cosr 则当x>o时,g'(x)-f(x)(cosx-e)-f(x)sinx>0. 1<0./(x)<0; 所以g(x)在(0,十oo)上单调递增, 当x(-ππ)时,2cosx-10,/(r)>0. 所以8(吾)<g(3),即/()(cos一)< 所以f(c)在(一一)上单调递减,在(一,)上单 #(3)( o3一e). 调递增,在(吾,吾)上单调递减. 可得/()(一e)</()(一e). 当-时:f(v)取得极小值,为/(一)--3-{+1; 所以/(吾)→/(),所以C正确; 当x-吾时:f(x)取得极大值,为/()--吾-1. 因为g(0)=f(0)(1-e)-0,所以当x>0时,g(x)>g(0) 故选D. -0,又因为cosxe 0,所以当x0时,f(x) 0,所以B 3.A f(x)=cos x-cos x十(r十2)sinx=(r十2)sinx. 正确; 所以f(x)在区间(0,π)上f(x)0,即f(x)单调递增; 由/(r)是定义在R上的奇函数,故当x0时,/(r)一 在区间(n,2r)上/(r)<0,即/(x)单调递减, 一f(一x)0,又因为f(0)-0,所以f(x)在R上有且只有 又f(0)--3,/(2π)=-2n-3.f(x)=+1. 1个零点,所以D正确. 所以f(x)在区间[0,2x]上的最小值为-2π一3,最大值为 因为f(x)的单调性无法判断,所以A错误.故选BCD n1.故选A. 133