第13练 导数的概念与计算-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题二 函数、导数及其应用 第13练 导数的概念与计算 [小题·精讲精练] (1)当点P(x0,yo)是切点时，切线方程为 y-yo=f'(xo)(x-xo). [例题讲坛] (2)当点P(x0,yo)不是切点时，可分以下几步： 【例1】曲线f(x)=ex(x≠0)过坐标原点的两 第一步：设出切点坐标P(x1,f(x1): 条切线方程为 第二步：写出曲线在点P'(x1,f(x1)处的切线 [思路引导] 方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1): 由对称性，只需先求当x>0时，f(x)的切线方 第三步：将点P的坐标(x0,yo)代入切线方程求 程.设切点，利用斜率相等建立方程求解即可， 出x1: [解析]当x>0时，f(x)=e, 第四步：将x1的值代入方程y-f(x1)=了(x1) 设切点为(m,e"),则子（m)=e-0 m-0,即em= (r一x1),可得过点P(x0,yo)的切线方程. 交 心，解得m=1 [小题·分层分练] 作 则切线斜率为e,切线方程为ex一y=0. [一层·打基础] 知识点一导数的概念与计算 业 又因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，切线方 程为ex十y=0. 1.若函数y=f(x)在x=xo处的导数等于a,则lim 时 故答案为：ex-y=0,ex+y=0. f(xo十△x)-f(o一△x的值为 [答案]ex-y=0ex十y=0 △x 可 【规律归纳】注意两类切线问题的区别 A.0 B.a C.2a D.3a (1)“过”与“在”：曲线y=f(x)“在点P(x0y0) 2.(多选)下列求导正确的是 沿 处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前 A.(m10y'=0 B(-=2+ 此 者P(x0,y%)为切点，而后者P(x0,y%)不一定为 C.(xe)'=(x+1)er D.(cos 3x)'=-sin 3x 切点， 线 (2)“切点”与“公共点”：某曲线的切线与此曲线 知识点二导数的应用 的公共点有可能有多个（即除了切点之外可能还 3.(多选)已知函数f(x)=3+(-1)·x2+1, 有其他公共点). ∫(x)为f(x)的导函数，则 ( 【例2】已知曲线y=ae'十xlnx在点(1，ae)处的 A.f(-1)=1 切线方程为y一2.x十b,则 B.f(1)=-5 A.a=e,b=-1 B.a=e,6=1 C.a=e1,b=1 D.a=e-1,b=-1 C.f(.x)在(0，十o∞)上单调递减 D.f(1)=3 [思路引导]切线问题中可以用来列出等量关 4.函数f(x)=lnx十a的导函数为f'(x),若方程 系的依据有 (x)=f(x)的根xo小于1，则实数a的取值范 (1)切点处的导数为切线斜率： 围为 ( ) (2)切点在切线上； A.(1,+∞) B.(0,1) (3)切点在曲线上. [解析]令f(x=ae十xlnx, C.(12) D.(1,W3) 则f(x)=ae2+lnx+1,f(1)=ae+1=2, 知识点三导数几何意义的运用 得a=1=e 5.若直线y=a.x十b与曲线y=e相切，则a+b的 e 取值范围为 () f(1)=ae=2+b,可得b=-1. A.(-oo,e] B.[2,e] [答案]D C.[e,+o) D.[2,+∞) 【规律归纳】利用导数求曲线的切线方程 6.(多选)下列函数的图象与直线y=x+1相切 若已知曲线y=f(x)过点P(x0,o),求曲线过 的有 点P的切线方程，则需分点P(xo,y)是切点和 A.y=e B.y=In x 不是切点两种情况求解. C.y=sin x+ D.y=x3+1 25 培优限时练小题突破·数学 [二层·提考能] 15.已知f(.x)为偶函数，当x>0时，f(x)=lnx 7.若函数)=号r2+加x的图像在点M 3.x,则曲线y=f(x)在点（一1，一3）处的切线与 两坐标轴围成图形的面积等于 (1,f(1)处的切线恰为直线x十2y一3=0，则 a+2b= A.1 r ) B子 c D. A.3 B.-1 C.1 D.-3 16.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求 8.已知函数f(x)=2x(x-2)(x-22)(x-23)(x 相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要 一2)(x-25)(x一26)，则(0)= ( ) 限期整改，设企业的污水排放量W与时间：的 A.220 B.221 C.22 D.223 关系为w=f),用-二@的大小评价 9.如图1，现有一个底面直径为10cm高为25cm b-a 的圆锥容器，以2cm3/s的速度向该容器内注入 在[a,b们这段时间内企业污水治理能力的强弱。 溶液，随着时间t(单位：s)的增加，圆锥容器内的 已知整改期内，甲，乙两企业的污水排放量与时 液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的 间的关系如图所示 厚度，则当1=π时，圆维容器内的液体高度的瞬 W↑甲企业 时变化率为 乙企业 乙企业 污水达标排放量 甲企 0 给出下列三个结论： 图1 图2 ①在[1,2]这段时间内，甲企业的污水治理能 A.V3 B.V300 力比乙企业强； 6 -cm/s 5x cm/s ②在3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已 C,5 D.15 达标： -cm/s cm/s 3π π ③甲企业在[0，t],[t1,t2],[t2,t3]这三段时 10.曲线y=e十x十1上的点到直线y=2.x距离的 间中，在[0,1]的污水治理能力最强. 最小值为 ( ) 其中所有正确结论的序号是 A得 8 c nys 17.曲线y=2√x与y=2十Inx的公切线方程为 11.已知f(x)=a.x4+beos r十7x-2.若f(2023) =6,则了(-2023)= [小题·真题真练] 12.已知函数f(x)=e一a.x的图象恒过定点A,则 1.(2024·新课标全国I卷)若曲线y=e十x在点 点A的坐标为 :若f(x)在点A处的 (0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切 切线方程为y=2.x十1，则a= 线，则a= 13.若点A(a,a),B(b,e)(a,b∈R),则A,B两点 间距离|AB的最小值为 2.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=e十2sin工，则 1十x2 [三层·早拔尖] 曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所 14.(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即 围成的三角形的面积为 F(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则 称f(x)在D上存在二阶导函数，记“(x)= A.6 C.2 n号 (f(x)',若(x)<0在D上恒成立，则称 e f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在 3.(2023·全国甲卷（文）)曲线y= 十1在点 (0,受)上是凸函数的是 (1,)处的切线方程为 A.f(x)=sin +cos x A.y= e B.f(x)=In x-2x B.y-gr C.f(x)=x3+2x-1 D.f(x)=xe D分+9 4 26培优限时练小题突破·数学 3解析：设公司在小地销售该品牌的汽车r06里酒)9.B将信噪比从1000提升至400时，C增加了 辆，则在B地销售该品牌的汽车(16一x)辆，所以可得利润y =4.1r-0.1x2+216-x)=-0.1r+2.1r+32=-10× W1oge1+4000)-W1og.+1000)≈1og:4000-log1000 W1og(1+1000) og.1000 (-婴)》+品×号+2 3og0-号g2%号×0.3010%0.2=20%，故C大约增 2 因为x∈[0,16]且x∈N 加了20%，故选B. 所以当x=10或11时，总利润取得最大值43万元 答案：43 10,解析：1)依题意，当0<1≤0时，设y=,则=，解得 4.C由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开 展户外活动，即当AQ1小于等于200时，适宜开展户外活 k=10,将 代入y=(信)》厂可得（信）产=1，解 动，聊y200, y=1 1-101+290,0≤1≤12 因为y={56F-2t,12<1≤24 得a=10 所以当0≤1≤12时，只需一101十290≤200，解得：9≤1≤12， 10t,0≤≤10 当12<t≤24时，只需56√1一24≤200，解得：12<116， 综上所迷y 综上：适宜开展户外活动的时间段为9≤1≤16， (信) 共计7个小时.故选C 5.B根据表格中的数据，作出散点图，如图所示， (2)由题意可得y<0.25=子，因为药物释放过程中室内药 根据散，点图可知，随着x的增大y的值增大，并且增长速度 量一直在增加 越来越快，结合选项：函数y=30gx增长速度越来越缓授， 即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 不符合题意： 函数y=23十1增长地度越来越快，符合题意： 所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下 时学生方可进入教室， 函数y=2x一2，增长速度不变，不符合题意： 而函数y=十号·当x=3时，可得y=2.73:当工=4 16/ 时，可得y=4.5,此时与真实数据误差较大， 1 了，解得> 所以最接近的一个函数是y=21十1，故选B. 710 y 由题意至少需要经过子小时后，学生才能回到教宝。 1 9.98 10t.0≤1≤ 故答案为：(1)y= (6) ,(2)5 5.02 0,t710 2.98 101,0≤1≤1d 2.01 答案：(1)y 1.5 16 0 23456 小题·真题真练 1.B赋值法周为当r<3时，f(T)=x,所以f(1)=1,f(2) =2.对于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得f(3)> 6,解析：当1=0时y=a,当1=8时y=ae=号 a,所以e脑 f(2)十f(1)=2十1=3：令x=4,得f(4)>f(3)+f(2) 3十2=5：依次类推，得f(5)>f(4)十f(3)>5十3=8： 豆，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，脚y=4e“ f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13:f(7)>f(6)+f(5)>13+8 -名，e*-名-(e“y-e训，则1=24，所以弄经过 =21:f(8)>f(7)+f(6)>21十13=34：f(9)>f(8)十 f(7)>34+21=55:f(10)>f(9)+f(8)>55+34=89: 24一8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一. f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144:f(12)>f(11)+ 答案：16 f(10)>144+89=233:f(13)>f(12)+f(11)>233+144 7.A设某商品原来价格为a,四年后价格为： =377:f(14)>f(13)+f(12)>377+233=610;f(15)> a(1+0.2)(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.9216a, f(14)十f(13)>610+377=987:….显然f(16)>1000,所 (0.9216-1)a=-0.0784a, 以f(20)>1000,故选B. 所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. 2.D由题意知f(x)=g(x),则a(x十1)”-1=cosx十2ax, 8.BC有题意可知，0=10+(0，一10)e, 即cosx=a(x十1)-1.令h(x)=cosx-a(x+1)十1.易 当0=30，则30=10+(0-10)e01, 知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在（一1,1）上有唯一零点， 20 20 所以h(0)=0,即cos0-a(0十1)+1=0，得a=2,故选D. 牌e4-a20-0.054,=n0' 第13练导数的概念与计算 则4=201n4-10 20,其是关于8的增西数， 小题·分层分练 当0，=90时4=201n9010=201n4=401n2≈28. 1,C由已知得lim f(x。+△r)-f(x。-△r) 20 r 当8=100时4=201n102010=20ln号 =limf(roAr)-f()+f ()-f(r-Ar) 20 =20(2n3-ln2)≈30，则28≤≤11≤30，故B正确： 当么-70时4-2070200-20n32.技A错 =lim ,x+a）-fx)+imf)-fx-4 △x =2了(x)=2a,故选C. 当8=50时4=20n0200=20ln2≈14， 2c(n10)'=0(r-1/=2a+(aw)'=e+d 此时满足1≥23,41一12≥6，故C正确，D错误，故选BC. =(x+1)e,(cos3.x)'=-3sin3.x.故选BC 130 参考答案 3cD周为了)=-是+2f(-D·,所以了(-1)= 所以直线2x一y十2=0到直线2x-y=0的距离为d 2 -3-2f(-1),解得f(-1)=-1, √/2+(-1) 25,即该曲线上的点到直线y=2x的最 5 期f)=是-+1f)=-是-2 小距高为25.故选C 易知f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(1)=-5,f(1)=3,故 A错误，B,C,D正确.故选BCD. 11.解析：图为f(x)=4a.x3-bsinr十7， 所以了（一x)=4a(-x)3-bsin(-x)+7 .A南画数f)=lnr+a可得f)=子，由于使得f) =-4ar+bsin r+7. =fx)成立的0r,<1.则=ln工+a(0<x。<1D. 所以f(x)十f(一x)=14. 又(2023)=6，所以f(-2023)=14一6=8. 由子>1n,<0,所以a=。-n>1:故有>引 答案：8 12.解析：当x=0时，f(0)=e°一aX0=1,所以f(x)的图象恒 5.A对于y=e,有y=e,令切点为(m,e"),则切线方程为 过定点(0,1).由题意，f(x)=e-a,f(0)=e°一a=1 y=e"(.x-m)+e", a,所以1一a=2,a=一1. 即y=e“x+(1-m)e”,即有a+b=e"+(1-m)e”= 答案：(0,1)一1 (2-m)e", 13.解析：点A(a,a)在直线y=r上，点B(b,e)在曲线y= 令f(x)=(2一x)e,则f(r)=(1一r)e, e上， 当x<1时，f(x)>0,当x>1时.f(x)<0, 即求|AB|的最小值等价于求直线y=x上的点到曲线y 故f(x)在（一o,1)上单调递增，在(1，十o)上单调递减， =e上的点的距离的最小值， 故f(x)≤f(1)=(2-1)c=e, 过y=e上的点(m,e")作y=e的切线，可得y一e"= 叉当x趋向于正无穷大时，f(x)趋向于负无穷， e"(x-m), 故f(x)∈(-o∞，e,即a十bE(-∞，e.故选A 令e”=1,可得n=0,故孩切线为y=r十1， 6.AC选项A中，若y=e与y=r十1相切，设切，点 则直线y=x十1与y=x的距离即为AB的最小值， 为(x11), 易知y=e,则e=1,解得x1=0,即切点为(0,1)，切线为 此时=片号A1-号 2 y=x十1，A正确： ! 选项B中，若y=nx与y=r十1相切，设切点为(ry), 故答案为：2 易知了-hx)-之则名-1，解得=1，切点为 等案：号 (1,0),切线方程为y=x-1,即B错误： 14.AB A:f(r)=cos .r-sin r,f(r)=-sin -cosr. 选项C中，若y=sinx+1与y=x十1相切，设切点 为(xy) “x∈(0，受)∴广(x)<0,fx)在(0，受）上是凸函数， 易知y=c0sx,则c0sx1=1,解得x1=2kπ，k∈Z, 故A正确， 当k=0时，切点为(0,1)，切线方程为y=1十1，C正确： 选项D中，易知y=x十1与y=x十1有三个交点，(0,1)， 对于B:了()=-2.f()=-是<0，故f)在 (1,2),(-1,0),又y=3x,显然在三个交点处的斜率均 不是1，所以y=x十1不是切线，D错误.故选AC. (0,2)上是凸画数，故B正确： 1.D函数f)=号r+bl加x的号数为fx)=ar+名 对于C:f(x)=3x2+2,”(x)=6x>0,故f(x)在 由题意可得，图像在，点M(1,f(1))处的切线恰为直线x十 (0,受)上不是凸函数，故C错送： 2y-3=0,所以f1)=号+n1=1.f1)=a+b=-2 对于D:f(x)=(x+1)e,"(x)=(r+2)e>0,故f(x)在 解得6=-号a=2.即a+26=2-5=-3放选D. (0,受)上不是凸函数，故D错误.故选AB 、 15.C设x<0,则-x>0,于是f(-x)=ln(-x)-3(-x)= 8.C设g(.x)=(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)(.x-2) ln(-x)十3.x.因为f(x)为偶函数，所以当x<0时，f(x)= (r-2),则f(x)=2xg(r),故f(x)=2e(.x)+2rg'(r), 所以f(0)=2g(0)=2(0-2)(0-2)(0-22)(0-2) 1n(-x)+3,fx)=1+3.于是曲线y=fx在点(-1，-3) (0-2)(0-2“)=2+1+3+1+++6=22.故选C 处的切线斜率k=(一1)=2.因此切线方程为y十3= 9.C授注入溶液的时间为t(单位：s)时，溶液的高为hcm, 2(x十1)，即y=2x一1.故切线与两坐标轴国成图形的面积 时官·（信）=2，网. 为 16.解析：-fb)二fa表示两点（a,fa),(6,f6)连线斜 b-a 率的相反数， 所以当1=开时，h=150-50】 因此斜率越大，污水治理能力越弱， 31Vπ 3π 由题图可知甲企业的污水排放量在1时刻高于乙企业，而 即圆锥客器内的液体高度的醉时变化率为面。 3算 cm/s. 在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[，山4]这 段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确： 故选C 在时刻，甲，乙两企业的污水排放量都低于污水达标排 10.C令f(x)=e+x+1,则(x)=e+1, 放量，故都已达标，②正确； 设该曲线在点(x,f(x)处的切线为l, 甲企业在[04门，[t,4],[t]这三段时间中，在 需求曲线到直线y一2x的距离最小，必有该切线的斜率 [1,山]时对应的两点连线的斜率最小，因此在[1，]的 为2， 污水治理能力最强，故③错误， 所以f(o)=e+1=2,解得=0，则切点为(0,2)， 故答案为：①②. 故切线1的方程为y一2=2x,即2xy十2=0， 答案：①② 131 培优限时练小题突破·数学 17.解析：设曲线f(x)=2√上的初，点为A(x1,2√) ,f(x)的单调说增区间为（一oo,0),(ln2,十0∞），单调递减 (x1>0),曲线g(x）=2十nx上的切点为 区间为(0，ln2). B(x,2+lnxg)(x:>0). 答案：(-o∞，0)，(ln2,+∞)(0，ln2) 图为f)=ga)=1 3.D若函数f(x)=k.x一lnx在区间(1，十o∞)单调递增， 别公切线的斜率=】=人，所以x=√压 别了)=k-是≥0在(1，十四)上恒成立，即>在 √国xx (1,十四)上恒成主：义画数y=士在(，十○)上递减，所 因为公切线的方程为y-(2十nx)=(一)，即y 以上<1板成立，则k☑ 1r+Inr:+1. 故k的取值范国是[1，十∞).故选D. 将(G2回)代入公切线方程得2国-号+n+1. 4.B函数f(x)=x一a.x为R上增函数的充要条件是f(x) =3r2-a≥0在R上恒成立，所以a≤(3x)m,因为 由x:=√x,得ln√-√x+1=0. (3.r)m=0,所以a≤0.而(-∞，0)U(-oo,0].故选B. 令h()=1nx-x+1x>0,则x)=1-1 5.解析：由题意可得，f(x)=2-a+1=2-ar+1<0,解 r 当0<x<1时，h'(x)>0:当x>1时，h'(x)<0, 故函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递 集为(2小 减，h(x）mx=h(1)=0, 所以x=1,x:=1, :方程2x-4r十1=0的两根分别为2和1， 故公切线方程为y=x十1，即x一y十1=0. 故答策为：x一y十1■0. 号+1=号，则a=3. 答案：x一y十1=0 故答案为：3 小题·真题真练 答案：3 1,解析：由题，令f(x)=e十x,则f(x)=e+1,所以f(0)= 2,所以曲线y=e十x在点(0,1)处的切线方程为y=2x十 6D周为画数A=nx-ar2-2x在[1,4们上存在单明 1.令g(r)=ln(r+1)+a,则g'(x)=1 千干设直线y=2r+ 递增区间，所以存在x∈[1,4门，使h'(x)=1 -a.x-2>0 1与曲线y=g(x)相切于点(xw),剩， x+1 =2,得x。= 成立，即存在x∈[1,4们，使a<-2成立， 号，则%=2+1=0，所以0=ln(-号+1)+a,所以e ◆G(0=是xe[1,41,变形得6()=(-1) =ln2. 答案：ln2 1国为1所以[子小， 2.A(x)= (c+2cosx)(1+x)-(e+2sinx）·2r,所以f(0)=3, 所以当}=子即x=4时.6(r)=-0所以a<- T (1+x2)2 故选D. 所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1=3(x 0).即3x-y十1=0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)， 7BD设h)=号，rE0,+o. （一弓，0），所以切线与两坐标轴所国成的三角彩的面积为 h'(x)=x+1)(x)-fx) (x+1)2 ×1X故选 因为(x+1)f(x)>f(x)所以h'(x)>0, 3.C设曲线y一千在点1，）处的切线方程为y一 副函数(x)=骨在区间(0，+∞)上单调递增 kx-1,周为y=千所以y=》 = 所以6)>8，即>fg,40>53: 5 (x+1) h(3)>h(2),即3)>2,3f(3)>(2):而A无法确 所以=1=导所以y号=-1)，所 re e 3 定：故BD正确，AC错误，故选BD. 以曲线y品在点(1，受）处的初我方程为y=号十 8.Cf(x)=x-2ln(2x)的定义城为(0，十oa), 导，故选C f)=12·22=1-是- 由f(x)<0,可得r∈(0,2)， 第14练利用导数研究函数的单调性 故f(.x)=x-2ln(2.x)的单调地减区间为(0,2).故选C. 小题·分层分练 9.Dfx)=1-n(x>0 x 1.D函数y=xlnx的定义城为(0，十o), x∈(0，e)时，f(x)>0,f(x)递增 固为y=rnx,所以y'=lnx+1. x∈(e,十oo)时，了(x)0,f(x)递减 令y'<0得0<r<e, x=e时，f(.x）m=f(e) 所以减区间为(0，e). 2.解析：f(x)的定义城为R,f(x)=xe一2.x=x(e一2)， 又：f(2)=h2_m8 2 6 f(3)=In 3_In 9 3 6 令f(r)=0,得x=0或x=1n2. .f(e)>f(3)>f(2) 当x变化时，了(x),f(x)的变化情况如下表， 故选D. (-00,0) 0 (0,ln2)ln2(1n2,+oo) 10B高数/)=号-hr的定义拔为0，十0. f(r) 0 0 f(x) 单调遂增 单调递减 单调递增 f=-=1+1=D 令了(x)=0,得x=1, 132