第12练 函数模型及其应用-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题二 函数、导数及其应用 第12练 函数模型及其应用 [小题·精讲精练] +3x+357≥417，当且仅当300=3x,即x=10 [例题讲坛] 时，y有最小值，故该场10天购买一次饲料才能 使平均每天支付的总费用最少。 【例1】某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x) 【规律归纳】形如f(x)=x十“(a>0)的函数模 (元)满足关系f(x)= C,0<x≤A, C+B(r-A).A. 已知某 型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数模型的单调 家庭2016年前三个月的煤气费如表： 区间及最值如下 月份 用气量 煤气费 (1)该函数在（一∞，一va]和[va,十o∞）上单调递 一月份 4m3 4元 增，在[-√a,0)和(0，wa]上单调递减. 二月份 25m3 14元 (2)当x>0时，x=√a时取最小值2va, 交 三月份 35m3 19元 当x<0时，x=一√a时取最大值一2√a. 若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气 [小题·分层分练] 作 费为 A.11.5元 B.11元 [一层·打基础] C.10.5元 D.10元 知识点一利用图象刻画实际问题 [思路引导]由f(x)的解析式考虑用待定系数 1.汽车的“燃油效率”是指 :燃油没率代T,) 时 法求A,B,C的值 汽车每消耗11汽油行 15 [解析] 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C 驶的里程，如图描述了 甲布 可 +B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19, 甲、乙、丙三辆汽车在不 1 解得A=5,B=2,C=4, 同速度下的燃油效率情 丙东 沿 4,0<x<5, 况.下列叙述中正确 的是 盼速线m倒 此 所以f(x)= ( (x-5),x>5. A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km 所以f20)=4+号(20-5)=1,5 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消 线 耗汽油最多 [答案]A C.甲车以80km/h的速度行驶1小时，消耗10L 【规律归纳】 求解已知函数模型解决实际问题的 汽油 关键 D.某城市机动车最高限速80km/h,相同条件 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. 下，在该市用丙车比用乙车更省油 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待 2.如图，△ABC是边长为2的等 定系数 边三角形，点E由点A沿线段 (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求 AB向点B移动，过点E作AB 解实际问题，并进行检验 的垂线l,设AE=x,记位于直 【例2】某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天 线1左侧的图形的面积为y,那 需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8 么y与x的函数关系的图象大 元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天 致是 0.03元，购买饲料每次支付运费300元.则该场 天购买一次饲料才能使平均每天支付 的总费用最少？ [思路引导]对勾函数求最值一定要注意该函 数的单调性，然后再求最值 0 0 设该场x(x∈N)天购买一次饲料，平均每天支 付的总费用为y元. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 /3 200×0.03=6(元)，所以x天饲料的保管费与其 3 他费用共是6(x-1)十6(x-2)十…十6=(3.x2 -3.x)(元). 从商有y=1（3r2-3x+30)+20×1.8=30 23 培优限时练小题突破·数学 知识点二已知函数模型求解实际问题 [三层·早拔尖] 3.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的 9.5G技术的数学原理之一是著名的香农公式：C 汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为y1一 4.1x一0.1x2,在B地的销售利润（单位：万元） WM10g1+月.它表示：在受噪声干扰的信道中， 为y2=2x,其中x为销售量（单位：辆），若该公 最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道 司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获 内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率 得的最大利润是 万元 N的大小，其中.叫噪比。当信噪比比较大时， 4.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状 况的无量纲指数.当AQI大于200时，表示空气 公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公 重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0~24 式，若不政变带宽W,面将信噪比.从100提 时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函 升至4000，则C大约增加了（附：1g2≈0.3010） -10t+290,0≤t≤12 数y= 描述，则该天适宜 56Nf-24,12<t≤24 A.10% B.20%C.50% D.100% 开展户外活动的时长至多为 ( 10.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进 A.5小时B.6小时C.7小时 D.8小时 行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空 知识点三构建函数模型的实际问题 气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比： 5.今有一组实验数据如下： 药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y= 2 3 5 (a为常数).根据图所提供的信息，回 y 1.5 2.012.985.02 8.98 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数 答下列问题： 据所满足的规律，其中最接近的一个是( ) ↑y毫克) A.y=3l0gsx B.y=2r-3+1 C-+ 2 D.y=2x-2 6.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底部一个 细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmn后剩余的细 沙量为y=ae“cm3,经过8min后发现容器内 00.1 (小时】 还有一半的沙子，则再经过 min,容器 (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 中的沙子只有开始时的八分之一， y(毫克)与时间1（小时）之间的函数关系式为 [二层·提考能] 7.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年 (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变 0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物 化的情况是 ( ) 释放开始，至少需要经过 小时后，学生 A.减少7.84% B.增加7.84% 才能回到教室， C.减少9.5% D.不增不减 8.(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度 [小题·真题真练] 变化是有规律的.如果物体的初始温度为1℃， 1.(2024·新课标全国1卷)已知函数f(x)的定义 空气温度℃保持不变，则t分钟后物体的温度 域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3 0(单位：℃)满足：0=十(01-0)e-0.05.若空 时f(x)=x,则下列结论中一定正确的是( 气温度为10℃，该物体温度从a℃(90≤01≤ A.f(10)>100 B.f(20)>1000 100)下降到30℃，大约所需的时间为t1,若该物 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的 2.(2024·新课标全国I卷)设函数f(x)=a(x+1)2 时间分别为2,3，则( )(参考数据：ln2≈ -1,g(x)=cosx+2a.x.当x∈（一1,1）时，曲线y 0.7,ln3≈1.1) =f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=( A.t2=20 B.28≤t1≤30 A.-1 C.1 D.2 C.t1≥2t3 D.t1-t2≤6 24参考答案 因为11.438-1.375=0,063<0.1满足精确度， 则a+b+e=2+e∈[6,7). 国为f(1.4065)=一0,052<0.所以根在(1.4065,1.438) 故答案为：2：[6,7). 内，所以方程的一个近似解为1.41，故选C 答案：2[6,7) 9.A由题意得4nz十1≠0，即1nz≠-}，得x≠ 13.解析：作出函数f(x)的图象 如图所示， ±e青，且x≠0， 由图可知，要使方程f(x)= 所以f(x)的定义战为《x|x≠士e,且x≠0}： a有四个不同的解，则需1≤ a<2,故a的最小值是1. e-e 又f-)=m-干=一nx甲=-fx).所以 由二次西数图象的对称性 可知，x1十x2=一2，由对数 f(r)为奇函数， 其图象关于原点对称，排除B,C: 函数的图象及性质可知， 又0<<etf()-t--g log.sxa=1 log.即logesr1=一log.5x4,所以x1x e 4n1+i -3 <0,所以 =1,所以，(x1十)十16 =-2x,+16 又函数y曰 e 排除D.故选A. 2x+16在[2,4)上单调递减，所以x,(红，十x)十16的 10.ABC:x∈(0,2]时，f(x)=(x-1),当x>2时，fx)= 号fx-2),当x∈(0.十)时，将fx)在区间(0,2]上 最大位为-2X2+号=4. 答案：14 的图象依次向右平移2个单位长度的同时，再将图象上所 小题·真题真练 有点的纵坐标缩短为原来的2，就可以得到函数()在 1.B捧除法。由题知西数∫(x)的定义城为R,关于原，点对 称，f(-x)=-(-x)2+(e-e)sin(-x)=-x十(e' (0,十oo)上的图象.又f(x)是偶函数，「(x)的图象关于 y抽对称.作出y=f(x)的图象如图所示， e)sinx=f(x),所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y 轴对称，善豫A.Cf1)=-1+(e-)sm1>-1+ 864分46 8￥ (e-)小m音=-1计受一>0，排降D故选B 2.D由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且（一2） 由图可知选项A,B,C正确.令g(xr)=0,得f(x)=立 =f(2)0, 由5sim(二=-5sin且定义战为R,即B中画数为奇画 )=子，易知直线y=号与y=)的周象有6个交 (-x)+1x+1 数，排除： 点，直线)=号与西载y=f)的阔象有10个交点函 当>0时2>0,2>0pAC中0+) 数g(x)共有16个零点，选项D不正确.故选ABC. 上函数值为正，排除： .c周为-≥2 故选D. 则f(号)=是（受）=号2)=1=1 第12练函数模型及其应用 小题·分层分练 L.D从图中可以看出当乙车的行驶递度大于40km/h时的 令 2x一3)-1=豆，解得x=3-5或x=3+ 2 21 燃油效率大于5km/L,故乙车消耗1L汽油的行驶路程可 x≥2 大于5km,所以选项A错误：由图可知以相同速度行驶相同 又在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=的 路程甲车消耗汽油最少，所以选项B错误：甲车以80km/h 图象， 的速度行驶时的燃油效率为10km/1,故行驶1小时的路程 为80km,消耗8L,汽油，所以速项C错误：当最高限速为 由图象观察可知y=f(x)与 80km/山且速度相阿时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效 y=2有4个交点，不妨设 率，故用丙车比用乙车更省油，所以选项D正确. 2.D因为△ABC是边长为2的等边三角形， 为x1·x2x·x,且T1<x 所以当AE=π时，设直线I与AC交，点为F, <x:<r, 1 3 则0<x12<1<,= 当E点在AB中点左侧时，EF=√3x,SAm=Z1·V5x= <2<x1<3<x1<4, 9r0<S1. 当fx)=号时，由f) 此时函数为开口向上的二次函数：此时可捧除BC, 1 =工0<=2<1，则存在4个不同实根， 当E点在AB中点右侧时，S图=之(2-)·5(2-) 由f)=车1<=号<2.则存在2个不同实振， 9e-x. 由f(x)=x1,2<x1<3,则存在2个不同实根， 由f(x)=x,3<x<4,则存在2个不同实根， 此时左相部分面积为：Sr一Sg-×2-号（2- 4 综上ff)=号的实根个数为10.故选C -8x-2+31<x≤2)为 12解折：由f)-传2，故)在(-小、 ! 此时函数为开口向下的二次函数，此时可襟除A,故选D. (2,十©∞)上单调递减， 在[1,2]上单调递增，且有f(1)=0,f(2)-1,f(0)=1, f(4)=1,f(5)=0,5-2=3: 由f(a)=f(b)=f(c),则0≤a<1<≤2<4≤c<5, 由x∈[0,2]时，f(x)=|x-1,则f(x)关于x=1对称， 故a十b=2, 129 培优限时练小题突破·数学 3解析：设公司在小地销售该品牌的汽车r06里酒)9.B将信噪比从1000提升至400时，C增加了 辆，则在B地销售该品牌的汽车(16一x)辆，所以可得利润y =4.1r-0.1x2+216-x)=-0.1r+2.1r+32=-10× W1oge1+4000)-W1og.+1000)≈1og:4000-log1000 W1og(1+1000) og.1000 (-婴)》+品×号+2 3og0-号g2%号×0.3010%0.2=20%，故C大约增 2 因为x∈[0,16]且x∈N 加了20%，故选B. 所以当x=10或11时，总利润取得最大值43万元 答案：43 10,解析：1)依题意，当0<1≤0时，设y=,则=，解得 4.C由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开 展户外活动，即当AQ1小于等于200时，适宜开展户外活 k=10,将 代入y=(信)》厂可得（信）产=1，解 动，聊y200, y=1 1-101+290,0≤1≤12 因为y={56F-2t,12<1≤24 得a=10 所以当0≤1≤12时，只需一101十290≤200，解得：9≤1≤12， 10t,0≤≤10 当12<t≤24时，只需56√1一24≤200，解得：12<116， 综上所迷y 综上：适宜开展户外活动的时间段为9≤1≤16， (信) 共计7个小时.故选C 5.B根据表格中的数据，作出散点图，如图所示， (2)由题意可得y<0.25=子，因为药物释放过程中室内药 根据散，点图可知，随着x的增大y的值增大，并且增长速度 量一直在增加 越来越快，结合选项：函数y=30gx增长速度越来越缓授， 即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 不符合题意： 函数y=23十1增长地度越来越快，符合题意： 所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下 时学生方可进入教室， 函数y=2x一2，增长速度不变，不符合题意： 而函数y=十号·当x=3时，可得y=2.73:当工=4 16/ 时，可得y=4.5,此时与真实数据误差较大， 1 了，解得> 所以最接近的一个函数是y=21十1，故选B. 710 y 由题意至少需要经过子小时后，学生才能回到教宝。 1 9.98 10t.0≤1≤ 故答案为：(1)y= (6) ,(2)5 5.02 0,t710 2.98 101,0≤1≤1d 2.01 答案：(1)y 1.5 16 0 23456 小题·真题真练 1.B赋值法周为当r<3时，f(T)=x,所以f(1)=1,f(2) =2.对于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得f(3)> 6,解析：当1=0时y=a,当1=8时y=ae=号 a,所以e脑 f(2)十f(1)=2十1=3：令x=4,得f(4)>f(3)+f(2) 3十2=5：依次类推，得f(5)>f(4)十f(3)>5十3=8： 豆，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，脚y=4e“ f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13:f(7)>f(6)+f(5)>13+8 -名，e*-名-(e“y-e训，则1=24，所以弄经过 =21:f(8)>f(7)+f(6)>21十13=34：f(9)>f(8)十 f(7)>34+21=55:f(10)>f(9)+f(8)>55+34=89: 24一8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一. f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144:f(12)>f(11)+ 答案：16 f(10)>144+89=233:f(13)>f(12)+f(11)>233+144 7.A设某商品原来价格为a,四年后价格为： =377:f(14)>f(13)+f(12)>377+233=610;f(15)> a(1+0.2)(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.9216a, f(14)十f(13)>610+377=987:….显然f(16)>1000,所 (0.9216-1)a=-0.0784a, 以f(20)>1000,故选B. 所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. 2.D由题意知f(x)=g(x),则a(x十1)”-1=cosx十2ax, 8.BC有题意可知，0=10+(0，一10)e, 即cosx=a(x十1)-1.令h(x)=cosx-a(x+1)十1.易 当0=30，则30=10+(0-10)e01, 知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在（一1,1）上有唯一零点， 20 20 所以h(0)=0,即cos0-a(0十1)+1=0，得a=2,故选D. 牌e4-a20-0.054,=n0' 第13练导数的概念与计算 则4=201n4-10 20,其是关于8的增西数， 小题·分层分练 当0，=90时4=201n9010=201n4=401n2≈28. 1,C由已知得lim f(x。+△r)-f(x。-△r) 20 r 当8=100时4=201n102010=20ln号 =limf(roAr)-f()+f ()-f(r-Ar) 20 =20(2n3-ln2)≈30，则28≤≤11≤30，故B正确： 当么-70时4-2070200-20n32.技A错 =lim ,x+a）-fx)+imf)-fx-4 △x =2了(x)=2a,故选C. 当8=50时4=20n0200=20ln2≈14， 2c(n10)'=0(r-1/=2a+(aw)'=e+d 此时满足1≥23,41一12≥6，故C正确，D错误，故选BC. =(x+1)e,(cos3.x)'=-3sin3.x.故选BC 130