第10练 二次函数与幂函数-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题二 函数、导数及其应用 第10练 二次函数与幂函数 00 A [小题·精讲精练] 【规律归纳】1.关于二次函数的问题首先考虑开 口方向和对称轴，然后看所求值的自变量离着对 [例题讲坛] 称轴的远近。 【例1】已知实数a,b满足等式a3=b,给出下列 2.一元二次不等式恒成立的条件 五个关系式： (1)“a.x2十bx十c>0(a≠0)恒成立”的充要条件 ①l<b<a:②a<b<-1:③0<b<a<1:④-1<a <b<0;⑤a=b,其中可能成立的关系式有( 是“a>0且△<0” A.1个 B.2个 (2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件 C.3个 D.4个 是“a<0且△<0. [思路引导] 在同一坐标系中画出函数y=x3和y=x5的图 [小题·分层分练] 交 象，由图得答秦 [一层·打基础] [解析]在同一坐标系中画出函数y=x3和y =x的图象 知识点一幂函数的图象与性质 如图所示： y y=ry=x 1.已知幂函数f(x)=(a2+2a-2)x-3a-4 由图可知在(1)处a<b< -1:在(2)处-1<b<a< (4④ (a∈R)的图象在(0，十o∞)上单调递减，则a的 3) 取值是 ( 时 0:在(3)处0<a<b<1: 在(4)处1<b<a;在两曲 A.1 B.-3 可 线的三个交点处均满足a (2) C.1或-3 D.2 =b,所以①②⑤正确.故 (1) 2.给定一组函数解析式： 沿 选C. ①y=x;②y=xi;③y=rt:④y=x;⑤y [答案]C 此 【规律归纳】1.幂函数图象的特点 =xt:⑥y=x;⑦y=x 掌握暴函数图象只要抓住在第一象限内三条线 如图所示一组函数图象，图象对应的解析式号码 线 分第一象限为六个区域，即x=1,y=1,y=x分 顺序正确的是 的区域.根据a<0,0<a<1,a=1,a>1的取值 确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定 2.比较暴值大小的方法 在比较暴值的大小时，必须结合幂值的特点，选 择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【例2】已知函数f(x)=一2x2+bx,若对任意的 实数t都有∫(4+t)=f(4一t),则f(一2)， f(4),f(5)的大小关系为 ( A.f(5)>f(-2)>f(4) B.f(4)>f(5)>f(-2) C.f(4)>f(-2)>f(5) D.f(-2)>f(4)>f(5) [思路引导]关于二次函数的问题首先考虑开 口方向和对称轴，然后看所求值的自变量离着对 称轴的远近 [解析]因为对任意的实数t都有∫(4十t)= f(4一t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关 于直线x=4对称，所以f(一2)=f(10),又函数 f(x)=一2x2十bx的图象开口向下，所以函数 f(x)在[4，十∞)上是减函数，因为4<5<10，所 (5 (6) (7) 以f(4)>f(5)>f(10).即f(4)>f(5)>f-2). A.⑥③④②⑦①③ B.⑥④②③⑦①⑤ [答案]B C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤① 19 培优限时练小题突破·数学 知识点二二次函数的图象与解析式 10.函数f(x)=ax2十2x十1与g(x)=x“在同一直 3.已知函数f(x)=-2.2+bx十c,不等式f(x)>0 角坐标系中的图象不可能为 的解集为（一1,3）.若对任意的x∈[一1,0]， f(x)十m≥4恒成立，则m的取值范围是( A.(-∞，2] B.[4,+∞) C.[2,+∞) D.(-∞，4] 4.(多选)已知二次函数y=a.x2+bx十c的图象如 图所示，有以下结论：①a十b十c>0:②a-b十 cC0:8ac>0:①>4ac:⑤-3<合<-2，下 面的选项中所有序号结论全正确的是 11.设函数f(x)= 匠，0≤t≤a·其中a>0. log3x,x>a, ①若a=3,则[f(9)]= ②若函数y=f(x)一2有两个零点，则a的取值 A.①②④ B.②③④ 范围是 C.①④⑤ D.③④⑤ 12.已知函数h(x)=x2+(2-2m)x+m2-m+1 知识点三二次函数的性质及其应用 若不等式h(h(x))≥0对x∈R恒成立，则m的 5.定义在R上的函数∫(x)=一x3十m与函数 取值范围是 g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相 13.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-8)x(m∈R) 同的单调性，则实数k的取值范围是 是奇函数，若对于任意的x∈R,关于x的不等 式f(.x2+1)<f(a)恒成立.则实数a的取值范 A.(-∞，-2) B.[2,+∞) 围是 C.[-2,2] D.(-∞，-2]U[2,+∞) 14.写出同时满足下列条件①②③的一个函数 6.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0, (x)= 则 ①f(x)是二次函数：②xf(x十1)是奇函数：③ A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 2在(0，十o∞)上是减函数. C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 [二层·提考能] [三层·早拔尖] 15.已知不等式xy≤a.x2+2y2对于x∈[1,2]，y∈ 7.已知幂函数f(x)的图像过点(2，号）则 [2,3]恒成立，则a的取值范围是 ( A.[1,+∞) A.f(x)为减函数 B.f(x)的值域为(0，十o∞) B.[-1,4) C.[-1,+o∞) D.[-1,6] C.f(x)为奇函数 D.f(x)的定义域为R 8.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(1-x)= 16.当x∈（-1,1D时，不等式2kx2-kx- <0恒 f(x),且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解 成立，则k的取值范围是 ( 析式为f(x)= ( A.(-3,0) B.[-3,0) A.-4.x2+4.x+7 B.4x2+4x+7 D(3] C.-4x2-4x+7 D.-4x2+4x-7 9.二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意 [小题·真题真练] 的x∈R都有f(x)=f(4-x)成立，若f1-22)< (2023·新高考I卷)设函数f(.x)=2rx-在区 f1+2x一x2),则实数x的取值范围是( 间(0,1)单调递减，则a的取值范围是 () A.(2,十∞) B.(-∞，-2)U(0,2) A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(-2,0) D.(-9,-2)U(0,+0∞) C.(0,2] D.[2,+o∞) 20参考答案 当0>1时，函教)在区同[宁，号]上是增画数。 !3.B因为f(x)>0的解集为(-1,3)，故一2x2十bx十c=0的 所以log(1-a)>0, =-1×3, 两个根为一1,3，所以 2 .1 即1-a>1,且2×2-a>0, 2 =-1+3 中 解得a<0,且a<1,此时无解 令g(r)=f(x)十m, 实数a的取值范国是（号1） 则g(x)=-2x2+4x+6十m=-2(x-1)+8+m, 由x∈[一1,0]可得g(r)m=m, 答案：（号1）】 又g(x)≥4在[-1,0]上恒成立，故m≥4. 4.AC由图可知f(1)=a十b十c>0,故结论①正确： 18.解析：令m=log2x,n=logy,则x=12”,y=9”, 由图可知f(一1)=a一b十c<0,故结论②正确： 由题可得16-9=12"，16”-9"=12， 由图可知二次函数图象开口向下，所以a<0,且f(0)=c> 所以（器）”+()广=1.()广+()=1 0,对称轴x= -力>1>0→b>0,所以abc<0,故结论③不 2a 正确： 因为函数y=（品）厂+（子）在R上单调递减，所以m 由图可知二次函数图象与x轴有两个交点，所以△=方一 4ac>0→b>4ac,故结论④正确： (品)+()广”=1.得[()门+()》广-1=0. 由图可知对称轴1<一岛<号-3<女<-2，故特论同 正确： 粽上所迷：下而的选项中所有序号结论正确的有①②④⑤. 故选AC. 故答案为： 5.B易知f(x)=一x十m在R上是减函数.依题设，函数 g(x)=x一kx十m在[一1,1]上递减，所以抛物线的对称轴 答案5 合>1，所以>2 小题·真题真练 6.C法1：：f(0)=f(-1)=a>0,由 1.B由函数y=4.2单调递增可知，0<a<1<b,又c=log2 f(n)<0,得一1<m<0, 0.2<0,故b>a>c,选B. .0<m+1<1. 2.C等价转化法由f(x)≥0及y=x十a,y=ln(x十b)单调 递增，可得x十a与ln(x十b)同正、同负或同为零，所以当ln “fx)=(x+2y+a-: 、G+b)=0时x+a=0.即{名0，所以b=a+1,则a2+ :当>一时，函教f化x)递增， .f(m十1)>f(0)>0>f(m). 6-+a+1r-2(e+）'+号>选C 法2：因为fx)图象的对称轴为x=一2·f0)=a>0,所 3.解析：根据题意有 210g2=-.即310g2 1 5 以f(x)的大致图象如图所示， 3 logza 由f(m)<0,得一1<m<0,所以m+1>0, 所以f(m十1)>f(0)>0. 5 20g2-?,设1=log2(a>1),别1>0，故31-27 ! 7.B设)=r,将(2，)代入，得艺=，解得a=-2 ，得1=言u=-1舍去)所以10限2=言所以a=2 5 故f(x)=x2,易知f(.x)在(-o∞，0)上单调递增，在(0，+ ∞)上单调递减，且值拔为(0，十∞)，故A选项错误，B选项 所以a=64. 正确： 答案：64 f(x)=x的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，且f(一r) 第10练二次函数与幂函数 (一x)1=x2=f(x),为偶函数， C,D选项错误： 小题·分层分练 故选B. 1.A:f(x)为函数，∴.a2+2a一2=1→a=1或a=-3: 8.A根据题意，由f(1一x)=f(x)得：f(x)图象的对称轴为 当4=1时，f(r)=x,在(0，十∞)上单调递减： 当4=一3时，f(x)=x4,在(0，十o)上单调递增，不满足题 直线r=合设二次画纸为f儿)=a(r-专)十(a≠0). 意.综上可知4一1.故选A. 2.C图象(1)关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象 因fx)的最大值是8，所以a<0,当x=之时，/（受）=k 限递减，故y=x育满足： 图桑(2)关于y抽对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递 8,即二次画数f)=a(r-号)）广+8a≠0)，由f2)=-1 减，故y=音满足： 得：2)=a(2-）°+8=-1，解得a=-4,则二次画教 图象(3)非奇非偶函数，且不过原，点、第一象很递减，故y= x音满足： fx)=-4(x-之)+8=-4r+4虹+7，故选A 图象(4)关于y轴对称，为偶函数，且过原，点、第一象限递增， !9.C由题意知，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x= 故y=x行满足； 2,图象在对称轴左侧对应的函数为减函数， 图象(5)关于原点对称，为奇函数，且过原点，第一象限递增， 又1一2x2<2,1十2.x-x=2-(x一1)2≤2，所以由 故y=京满足： f(1-2x)<f(1十2x-x),得1一2x2>1十2x-x,解得 图象(6)非奇非偶西数，且过原点、第一象限递增，而增长率 一2x0,故选C. 10.B对于A,二次函数开口向下，所以4<0，此时g(x)=x 随x增大递减，故y=r满足： 与图中符合： 图象(7)非奇非偶函数，且过原，点、第一象限递增，而增长率 对于B,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在 随r增大递增，故y=x满足： (0,十∞)为增函数，不符合； 故图象对应解析式顺序为⑥①③②⑦①⑤. 对于C,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在 故选C. (0,十∞)为增函数，符合： 127 培优限时练小题突破·数学 对于D,二次函数开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在：小题·真题真练 (0,十o⊙)为增函数，符合：故选B. 11.解析：①当a=3时，f(x)=N,0≤x≤3， 1.D易得，2≥1，所以a的取值范国是[2，十o∞)：故选D. llogar.>3, 第11练函数的图像、函数与方程 则f(9)=1og9=2, ∴.f[f(9)]=f(2)=2: 小题·分层分练 ②分别画出y=f(.x)与y=2的图象，如图所示， 1.C由题意可知：f(x)的定义拔为R,关于原点对称， 且f(一x)= （-)+1中-fx),可知fx)为 -2r --y=fix) 奇函数，藉除AB,且f(1)-一1<0，排除D.故选C “y=2 2.C由图象可知f(1)<0,故BD不成立：对于A选项：f(x) 0/14a 6r+1,当f>0时e(-,) 函数y=f(r)一2有两个零点，结合图象可得4a<9, 故a的取值范国是[4,9). 当fx)<0时x∈(-o,-)U(g,+∞) 故答案为w2:[4,9) 答案：①√2②[4,9) 所以x)在(-，-）上单润递浅，在(-）上单 12.解析：因为h(x)=x+(2-2m).x+m-m+1=(x-m十 1)2十m,所以h(x)图象的对称轴为直线x=m一1， 调递增，在（十∞）上单调递增，不特合国象，故A不成 则h(r)的最小值为m, 立：故选C 不等式h(h(x))≥0对x∈R恒成立等价于Ht∈ 3.B由已知，可知f(x)为增函数，且f(1)=2十1一9=一6< [m,+∞)，h(t)≥0. 0,f(2)=4十8一9=3>0，极据零，点存在定理，函数f(x)在 因为h(1)在[m,十o)上单调递增， (1,2)有零点，且零，点是唯一的，故选B. 所以h(t)=h(m)=m十1，则m十1≥0，解得m≥一1， 4.B在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=|gx的 故m的取值范围是[一1，十o). 大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，国 故答案为：[一1，十o). 此函数F(x)=f(x)一|lgx的零点个数是10. 答案：[一1，十∞) 5.AB对于A,f(2023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)= 13.解析：由f(一x)=一f(x）得(m-2),x2一(m一8)x= 0,所以A正确： -(m-2)x2-(m-8).x, 对于B,当x∈[0,2]时，f(x)=2一2单调递增. 则m一2=0，即m=2,f(x)=一6x,f(x)是R上的奇函 所以当x∈[0,2]时，f(x)的值城为[-1,2]， 数，且为减函效，由f(x+1)<f(a)恒成主得x+1>a恒 由于函数是偶函数，f(x)在[一2,0]上的值战也为 成立，又当x∈R时，x十1≥1，所以a<1 工一1,2]，又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(π)的值城 答案：（一o∞，1） 为[一1,2]，所以B正确： 14.解析：因为「(x)是二次函数，所以令「(x)=一x十 对于C,当x∈[0,2]时，f(x)=2-2单调递增， 2.x,(r≠0)， 又f(x)的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C 令g(x)=xf(x+1)=x[-(x+1)+2(x+1)]=-x2 错误； 十x, 对于D,令f(x)=2一2=0，得x=1,所以f(1)=f(一1) g(一x)=-(一x)一x=一g(x),故满足条件②： 0,由于f(x)的周期为4，所以f(5)=f(-5)=0,f(3)= 令Ar)=n=二+2虹=-x+2在(0，十∞)上是减画 f(一3)=0，所以f(x)在[一6,6]上有6个零点，所以D错 误，故选AB. 数，满足条件③， 故答案为：一x2+2x 6.BC 作出f(x)= |x十1，x<0的图象，如图： Ig r,>0 答案：一x+22 15.C不等式xy≤a.x十2y对于x∈[1,2]，y∈[2.3]恒成 =x 立，等价于a≥义-2（义）对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成 y=d 立，令1=兰则1<1<3≥1-2在[1,3]上恒成立 -10/1 “y=-2r+1=-21-十+日4=1时y=-1, 令f(x1)=f(x)=f(x1》=a,根据图象知， 实数a的取值范国为(0,1门，且一(x1十1)=r1十1=1gx ,.a≥一1，故a的取值范四是[一1，十oo),故选C. =a,所以x1十x2=-2,x=10°，因为a∈(0,1]，所以10 16.D当x∈(-1,1)时，不等式2kx-虹-8<0恤成立， ∈(1,10]，所以x1十x+x∈(-1,8]， 当k=0时，满足不等式恒成立： 结合选项知，x1十工十x的值可以是6,8.故选BC 7.D因为f(x)=e一2十x,且函数连续不间断，所以f(0) 当k≠0时，令x)=2h-kr-是，则fx)<0在(-1， e"-2+0<0,f(1)=e-2+1>0,f(2)=e2-2+2>0, 1D上恒成立，画数)的图像抛物线对称轴为= f(3)=e2-2+3>0.f(4)=e-2+4>0 所以f(0)f(1)<0,f(1)f(2)>0,f(2)f(3)>0,f(3)f(4) k>0时fx)在(-1，)上单调递减，在（行，1）上单调 >0,由零，点存在性定理得函数f(x)=e一2十r的零，点所 在的区间为(0,1)，故选D f(-1)=2k+k-3 8.C由所给数据可知，函数(x)在区间(1,1.5)内有一个根. 因为f(1.5)=0.625>0,f(1.25)=-0.984<0. 递增，有 0 /0)=2--<0 解得0<≤ 所以根在(1.25,1.5)内， 因为1.5一1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度， k<0时，x)在(-1，)上单调递增，在（子1）上单调 继续取区间中，点1.375， 因为f(1.375)=-0.260<0,f(1.5)=0.625>0, 递减 所以根在区间(1.375.1.5)， 则有（行）-器-冬-音<0，解得-3<<0， 因为1.5一1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度 继续取区问中点1.438， 综上可知，k的取值范周是(-3，日]，故选D 因为f(1.438)=0.165>0,f(1.375)=-0.260<0. 所以根在区间(1.375,1.438)内， 128