第8练 指数与指数函数-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

培优限时练小题突破·数学 12.解析：，f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)十f(2-x) =0,f(x)=-f(2-x)=f(x-2),函数f(x)是以2 _sinx十4虹=一了(x),故f(x)是奇画数，故选B. e 为周翔的周期函数，则了(）=(-4)=（一号） 2.解析：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x),即(-r 十a=-(x3十a),得a=0. =-f(号)=-R(号)）=-3fg30)=f1g3+ 答案：0 g10)=f(g3+1)=f(lg3-1)=-f(1-g3)= 3.B因为fx)为偶函数，则f(1)=f(-1).(1+a)ln3= -R1-lg3)=0.f(9)+/g30)=-专 1 (-1+a)n3.解得a=0,当a=0时，f(x)=ln2干 2x-1 答案：- (2r-(2r+1)>0,解得x>号或r<-号则共定义越为 13.ABC对于A,在函数f(x)的图象上取A(一1，一1)，B(0,0), C1,1),有f0)=-D,十f①成立，故A正确：对于B. >号我r<-》关于原点对称了(-)=(-) 在函数f(x)的图象上取A(-√2,1)，B(0,1),C(W2.1),有 -(-h=(-n()' f0)=一②)，十fW②成立，故B正确：对于C,在函数 2 h,故花时ú)为祸画数.故选B f(x)的图象上取A(1,2),B(0,0),C(一1，一2)，有f(0)= 第8练指数与指数函数 -1),十f山成立，故C正确：对于D,因为f(x)=2, 小题·分层分练 f+f)-21+2≥v2m2g=24 1.D对A:当n为偶数且a<0时，Va°=|a=一a,故A不 2 2 正确： 2华=（产）又所以f(产) 对B:只有M>0,N>0时，og(MN)=logM+logN才成 立，故B不正确： )十f恒成立，故D错误.故选ABC 对CNatvaiva-√a√a·a=√aa=√·a 14.D由①知函数「(x)的周期为4，由③知f(x十2)是偶函 at,故C不正确： 数，则有f(一x十2)=f(x十2)，即西数「(x)图象的一条对 称轴是x=2,由②知函数「(x)在[0,2]上单调递增，则在 对D:1og2+1og2)·(1og3+log3)=(1og2+号1og2) [2,4门上单调递城，且在[0,4]上越靠近x=2,对应的函数 值越大，又f(7)=f(3),f(6.5)=f(2.5),f(4.5)= f(0.5),由以上分析可得f(0.5)<f(3)<f(2.5),即 f(4.5)<f(7)<f(6.5).故选D. ·品号DE确：故这n 15.解析：画数f(.x十1)为奇函数，即f(x十1)=一f(一x十1)， !2.Ca+a=22, 对称中心为(1,0)，函数f(x十2)为偶函数，即f(x十2) (a+a6)2=8→a+2+aw=8→a+a0=6 f(一x十2)，对称轴为x=2, ∴(a-a6)2=a+aw-2=4, 又由f(x)=-f(-x+2)=一f(x+2)=f(x+4)可得 因为6b>0,所以一b<0→-b<b 函数∫(x)是周期函数，且周期为4， 又0<a<1,a<a,则a一a=-2.故选C 当x∈[0,1]时，f(x)=3x3-3r,则(x)=9.x2-3, 3.A 由指数函数f(x)=(a一1)的图象经过点 令了(x)>0,得<r<1,r)单调递增， a-1=1 （1号)可得。-1D6-专解得82 b=2' 2 令f(x)<0,得0<x ,f(x)单调递减， 所以ab=4,故选A. 所以=(）=3×(）-3×（）=-2 4.Af(-x)=2-2 -x =一f(x),且函数定义域为{x|x≠ 3 作出函数f(x)在区间[0,4]上的图象如下： 0},关于原点对称，所以f(x)为奇函数，排除CD. 当x>0时，2-2>0，所以f(x)>0,排除B,经检验A选 项符合题意.故选A, 5.A由题意可知f(x)的定义战为R,且f(一x) () =() =f(r),所以f(x)为偶函数： 当>0时，函数)=()广)单河递减 即在区间[0,4]上，方程f(x)=一1有4个实根 又99=4×24+3， 若f(2a)<f(a-1)成立，则|2a|>|a-1|,解得a<-1 则方程「(x)=一1在「0,99]上的实根个数为4×24+2 我a>3又a>0,所以正实数a的取值范圈是 =98. 故答案为：98， 答案：98 (合+)故选入 小题·真题真练 6.B当x≥1时，函数f(x)=2一a单调递增，故有f(x)≥ 1B遇解种子A-)--千≠ f(1)=2-a,此时函敛的值战为[2-a,+oo),当r<1时， 画款)-高=2计名单调递减，故有：)<2，此时 故f(x)不是偏函数：对于B.f(-)=os(一)十(-x 2. (-x)+1 函数的值城为(-00,2)，要想画数f(x)=二的 os十工=fx),故f(r)是偶函数：对于C,f(x)的定义城 2-a,x≥1 x2+1 值域为R,只需2一a≤2→a≥0，故选B. 为{xr≠-1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数：对于：7.D由1<l0g3<2,得3<2十log3<4. D,f(-r)= sin(-x）+4(-xl=二sinr-4虹 所以f(2+log3)=f(3+log3)=23*%3=2×2%3=24. e- 故选D. 124 参考答案 8.B因为y=x“图象过(1,1)，故由图象可得a<0, 所以函数L=√/一x+2x十3在[-1,1)上是增函数，在 又y=b图象过(0,1)，故由图象可得0<b<1, [1,3]上是城函数， 又y=logr图象迹(1,0)，故由图象可得c>1. 故log1c<log11=0,0<sinb<1,>b°=1，故log4c< 因为函数y ( ）是减函数 sinb<b.故选B. 9.AB因为函数y=logx为(0，十o)上的增函数，由l0ga≤ 所以画载=（侵）】 的单调递增区间为[13]. logb,可得b>a>0.由于函数y=3r为R上的增函数，则 3☑<3动，故A正确：画数y=(侵厂为R上的减画数，且。 故答案为：[片1]小：[13]（开闭均可） <0,则（号）广-b>(宁)=1，故B正确：南对数的注质可 答案：[小[13]（开闭均可） 15.C 令g(x)=(x-a)(x+2)=x2+(2-a)x-2a, 得b一a>0,但b-a与1的大小关系不确定，故ln(b一a)与 0的大小关系不确定，故C错误：取a=3,b=9,则有log13= 因为y=(写）广在定义越R上单调适减， 1>2=log3,即1og3>log3,故D错误. 是维画数)=（付）0 在区间（一1,2）上单调 1B对于A:圆为子>1，降以号-（受y>(宁”=1.所以 递增，则g(.x)=r+(2-a)x-2a在区间(-1,2)上单调 x>y,所以A错误：0<a<1,所以f(x)=a为减函数， 递减，所以“22≥2，解得≥6，所以a的取值花国为 又x>y>1,所以a<a,B正确，C错误：对于D,图为a< [6,十o∞).故选C a=1而y>y=1,所以a'<y,所以D错误. 11.D从2023年起，第n(n∈N”)该企业人均增加收入超过 16,解桥：令g)=ar+2r+3,由于x)的位城是(0，号]， 3000元，因为从2023年起，每年将在此基础上以10%的增 所以g(x)的值战是[2，十∞). 长率增长，所以，第n年该企业的人均增加收入为1000× a>0 1.1"元，由1000×1.1>3000，即1.1*>3，可得1n1.1" 因此有12a-4-2.解得a=1, In 3 In 3 nln1.1>n3.所以，n>n=nn0≈ 4a 2.40-2.3011,故2023+12=2035年开始，该企业每年 1.10 这时g)=+2x+3,)=(宁y2 由于g(x)的单调递减区间是（一∞，一1门， 人均增加收入开始超过3000元，故选D. 所以f(x)的单调递增区间是（一∞，一1]. 12.B因为函数y=1-a(a>0,a≠1)是减函数，所以a>1. 答案：(-∞，一1] 又因为函数y=x+(a一5)x+1图像的对称轴是直线x= 522所以画数y=+(a-5)x+1在(-0,52)上单 17.B画数/)=e-吉的定义域为R “f(-x)-e-↓ 调道减，在（佰22十∞）上单调递增。 。与=二e三一f(x),·f(x)是奇函 数，那么不等式f(2x一1)十f(一x一1)>0等价于 a>I f(2.x-1)>-f(-x-1)-f(1+x),易证f(x)是R上的 又高数是R上的减高数，所以>1 ,解得2≤ 单调递增函数，.2x一1>x十1，解得x>2, .不等式f(2x一1)十f(一x一1)>0的解集为(2，十o∞). a-3≥1-a 小题·真题真练 a≤3，所以a的取值范围是[2,3].故选B. ) 1.B因为(x1y),(xy)为函数y=2的图象上两个不同 13.解折：画教f)=·3中，由a-1≠0，得r≠0， 的点，所以y=25y=2,且x1≠x…则2≠2=，所以y a‘-1 即函数f(x)的定义域为（一0©，0）U(0,十0∞)， 十头=21+2>2V的·25=2V√2的5，所以当十业> 2 由f(x)是偶蓝数得，对Hx∈（一0,0）U(0,十∞) f(一x)=f(r)恒成立， √20万>0，所以1g,当十出>10g,V2万=十，故 2 2 即x)'·3 -=x3·3 a-1 4·则—1—7，教罗】 3 选B. 2.D由y=1.0在R上递增，则a=1.01<b=1.01, a 由y-x3在[0，十∞)上递增，则a=1.01>c=0.6.所 a-1a-1' 以b>a>e.故进D. 因此a=9'对Vx≠0恒成立， 所以a=9. 3.D周为fx)=”为锅画数，则fx)-f(-x)= 故答案为：9 答案：9 1心一(-r。=[e-e门=0，又因为x不恒为 er-1 er-1 er-1 14.解析：令一x2十2x+3≥0，解得一1≤x≤3， 0,可得e-e-a=0,即e=e-,则x=(a-1)x,即1= 所以函教y=(侵) 的定义城为[一1,3]， a-1,解得a=2.故选D. 则-x+2.x+3=-(x-1)2+4∈[0.4]， 第9练对数与对数函数 所以√-x+2x+3∈[0,2]， 小题·分层分练 1 所以（）】 -+2十 ∈[： Ig 2 In2.Tog e 1.B对于①：由于ge =ln3,又y=lnx(r>0)是 增函数，故①正确， /++ 的值城为[子1]： 对于②：由于[（一8）门言=(82)齐=8=2，所以②错误. 对于③：对21=3“两边同时取常用对数，得g23 令1=√一x+2.x+3,.x∈[-1,3]， 1g3®2，即g3×1g2=g2×1g3,显然正确，故③正确. 令u=-x2十2xr十3，其在[-1.1)上是增函数，在[1.3]上 是减函数， 对于①：eh=C 而函数=√在定义域内为增函数， 综上，错误站论的个数为1.故选B. 125第一部分专题二 函数、导数及其应用 第8练 指数与指数函数 [小题·精讲精练] [解析] 当a<0时，不等式f(a)<1可化为 [例题讲坛] (2）》-1<1,申(2<8，即（分<（分），周 【例1】已知指数函数y=a',对数函数y=1ogx 为0<号1，所以>-3，所以-3<a<0, 的图象如图所示，则下列关系成立的是 ( 当a≥0时，不等式f(a)<1可化为Va<1,所以 0≤a<1.故a的取值范围是(-3,1). y=log [答案](-3,1) 【规律归纳】指数函数单调性的判断 (1)求单调区间必须先求定义域. (2)根据底数a进行判断，0<a<1为减函数， A.0<a<b<1 B.0<a<1<b a>1为增函数. C.0<b<1<a D.a<0<1<b (3)指数型函数的单调性根据复合函数“同增 作 [思路引导] 异减” 根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即 业 [小题·分层分练] 可得到a,b的范围，从而得到结果。 时 [解析]由图象可得，指数函数y=α为减函 [一层·打基础] 数，对数函数y=1og6x为增函数，所以0<a<1, 知识点一指数幂的化简与求值 可 b>1,即0<a<1<h.故选B. 1.下列结果正确的是 [答案]B A.Va"=a 【规律归纳】1.指数函数图象的画法（判断）及应 B.log (MN)=log M+log N 用方法 此 (1)画（判断）指数函数y=a(a>0,a≠1)的图 C.√a√aa=a 线 象，应抓住三个关键点：1a,(0,1),(-1,. D.(log32+log92)·(1og43+1og83)=5 4 (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往 2.若0<a<1,b>0,且ab+ah=22,则ab-ab 利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换 等于 () 得到其图象. A.√6 B.2或-2 (3)一些指数方程，不等式问题的求解，往往利用 C.-2 D.2 相应的指数型函数图象数形结合求解。 知识点二 指数函数的图象及应用 2.指数函数的图象与底数大小的比较 3.已知指数函数∫(.x)=(a一1)b的图象经过点 在第一象限内，指数函数y=a(a>0,a≠1)的 (-1,）则ab= ( 图象越高，底数越大， A.4 B.1 C.2 n号 4.函数f(x)= 2的图象大致为 x-7,x<0, 【例2】设函数f(.x) 若f(a) Vx,x≥0， <1,则实数a的取值范围是 [思路引导]充分利用指数函数的性质，将指数 方程或不等式转化为一次、二次方程或不等式， 即可解决。 15 培优限时练小题突破·数学 知识点三指数函数的性质及应用 12.已知a>0,a≠1，函数f(x) 5.已知函数f(x)=() ,则使得f(2a)< |x2+(a-5)x+1,x≤1 是R上的减函数，则 1-a,x>1 f(a一1)成立的正实数a的取值范围是( a的取值范围是 A(g+) B(,) A.(1,3] B.[2.3] C.[2,+∞) D.[3,+o∞) C.(0,1) D.(1,+∞) 13.已知函数f(x)=x3·3 4r-1 (a>0且a≠1)为偶函 2x 6.已知函数f(x)= x-1x1 的值域为R,则 数，则a= 2r-a,x≥1 x+2x+3 14.函数y= (2 的值域为 ,单 实数a的取值范围是 ( A.(-∞，0] B.[0,+o∞) 调递增区间为 C.(-∞，1] D.[1,+c∞) [三层·早拔尖 [二层·提考能] 15.若函数f(x)= ( (-a)+2) 在区间 [f(x+1),x<4 7.已知函数f(x)= ,则 (一1,2)上单调递增，则a的取值范围是( 2,x≥4 A.[0,6] B.[-2,0] f(2+1og23)= C.[6,+o∞) D.(-∞，0] A.8 B.12 +2.r+ C.16 D.24 16.若函数f(x)= 的值域是(0，]， 8.已知函数y=x“,y=扩，y=logx在同一平面直 则f(x)的单调递增区间是 角坐标系的图象如图所示，则 1.已知函数八)=心-，其中e是自然对数的 底数，则关于x的不等式f(2x一1)+f(-x一1) >0的解集为 A.（-∞，- 号)U2,+∞) B.(2,十∞) C.(∞，)U2,+o∞) A.logc<b<sin bB.logc<sin b<b C.sin b<ba<logc D.sin b<log< D.(-∞，2) 9.(多选)若实数a,b满足log3a<log3b,则下列各 [小题·真题真练] 式一定正确的是 1.(2024·北京卷)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y A.3a<3b (侵)-1 =2的图象上两个不同的点，则 C.In (b-a)>0 D.log.3<logi,3 A.log2h十业<十型 2 2 10.已知0<a<1,x>y>1,则下列各式中正确的 是 ( B.log2"2>1十9 2 A.r<y B.a<a C.a>a D.a>y C.log2 y十坐<x1十x2 2 11.党的二十大会议确定“高质量发展是全面建设社 D.log2 会主义现代化国家的首要任务”的新部署.某企 y1+2>x1十x2 2 业落实该举措后因地制宜，发展经济，预计2023 2.(2023·天津卷)若a=1.019.5,b=1.010.6,c= () 年人均增加1000元收入，以后每年将在此基础 0.60.5,则a,b,c的大小关系为 A.c>a>b B.c>b>a 上以10%的增长率增长，则该企业每年人均增加 C.a>b>c D.b>a>c 收入开始超过3000元的年份大约是 ( (参考数据：ln3≈1.10，ln10≈2.30，ln11≈ 3.(2023·全国乙卷（文）)已知f(x)=e 是偶 ear-1 2.40) 函数，则a= ( A.2030年 B.2032年 A.-2 B.-1 C.2033年 D.2035年 C.1 D.2 16