第7练 函数的奇偶性与周期性-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分专题二函数、导数及其应用 第7练 函数的奇偶性与周期性 [小题·精讲精练] 【例2】若函数f(x)的定义域为R且图象关于y 轴对称，在[0，十∞)上是增函数，且f(一3)=0， [例题讲坛] 则不等式f(x)<0的解是 【例1】已知函数f(.x)满足f(x+3)=1一f(1 A.(-∞，-3) x),且函数f(x十1)为偶函数，若∫(1)=1，则 B.(3,+∞) f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)= C.(-3,3) A.0 B.1012 D.(-0,-3)U(3,十o∞) C.2024 D.3036 [思路引导]先分析不等式在[0，十∞)上的解， [思路引导]由题意得f(x十1)=f(一x十1)， 再根据对称性得出不等式在上（一∞，0）的解 f(x)的图象关于直线x=1对称，函数的周期为 即可 4,进一步f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2,由此即 [解析]因为f(x)在[0，十∞)上是增函数且 f(一3)=0，所以f(x)<0在[0，十o∞)范围内的 可得解。 作 解为[0,3). [解析]由题意函数f(x+1)为偶函数.所以 因为函数∫(x)在定义城R上图象关于y轴对 业 f(x+1)=f(-x+1),f(x)的图象关于直线x 称，所以f(x)<0在（一∞，0）内的解为 =1对称， 时 (一3,0)，所以不等式f(x)<0在R内的解为 所以f(x+3)=1-f(1-x)=1一f(1+x)=1 (-3,3).故选C. 可 -[1-f(3-x)]=f(3-x)=f(x-1), [答案]C 所以函数f(x)的周期为4，在f(x十3)=1 【规律归纳】奇偶函数对称区间上的单调性 沿 f(1-x)中，分别令x=0和1， 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性； 得f(1)+f(3)=1,f(0)+f(4)=1,即f(2)+ 此 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性， f(4)=1, 线 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2, [小题·分层分练] 所以f(1)+f(2)+…+f(2024)=506×2= [一层·打基础] 1012.故选B. 知识点一函数奇偶性的判断 [答案]B 1,若函数fx)=+Dx+)为奇函数，则实数 【规律归纳】1.抽象函数的周期性 (1)如果f(x十a)=一f(x)(a≠0)，那么f(x)是 周期函数，其中一个周期T=2a. A.1 B.-1 (2)如果+a)=问a≠0.那么)是周 C.2 D.-2 1a2x-1,x<0 2.若函数f(x)= 是奇函数，则实数 期函数，其中的一个周期T=2a. x十a,x>0 (3)如果f(x十a)十f(x)=c(a≠0)，那么f(x) a ( 是周期函数，其中的一个周期T=2a. A.0 B.-1 (4)如果f(x+a)=f(x-b).则T=|a+b. C.1 D.士1 (5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称，且关于 知识点二 函数的周期性及应用 x=b对称，则T=4a一b. 3.已知函数y=f(x)满足y=f(一x)和y=f(x+2) (6)如果f(.x)的图象关于(a,0)对称，且关于 是偶函数，且f(1)=,设F(x)=f(x)+ (b,0)对称，则T=2a-b. f(一x),则F(3)= 2.函数f(x)满足的关系f(a十x)=f(b一x)表 明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关 A. B 系f(a十x)=f(b十x)(a≠b)表明的是函数的周 期性，在使用这两个关系时不要混淆 C.x D. 3 13 培优限时练小题突破·数学 4.已知定义域为R的函数f(x)满足f(一x)+:12.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名 f(x-2)=0,f(x)=f(-x-4),则f(2023)= 的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高 ( 等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在 A.-3 B.-2 [0,1]上，其定义为：R(x)= C.0 D.3 分=号p,g都是正整数，是既约真分数， 1 知识点三函数性质的综合应用 0,x=0,1或(0,1)上的无理数. 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x十2)十 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任 f(x)=0,则以下说法错误的是 ( 意x都有∫(2-x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时， A.f(0)=0 B.f(x)是周期函数 C.f(2024)=1 D.f(1)+f(3)=f(4) fx)=R(x).则f(8）+fg30)= 6.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x),其周期 [三层·早拔尖] 为4，当x∈[0,2]时，f(x)=2r一2，则() 13.(多选)设f(.x)是定义在R上的函数，若存在两 A.f(2023)=0 个不相等的实数·使得f(佰） B.f(x)的值域为[一1,2] C.f(x)在[4,6]上单调递减 f)+fx2）,则称函数f(x)具有性质P,那 2 D.f(x)在[-6,6]上有8个零点 么下列函数中，具有性质P的函数为() [二层·提考能] 1 7.若函数f(x)=ln(e+1)十ax为偶函数，则实数 A.f(x)= x≠0， B.f(x)=x2-1 a的值为 ) 0,x=0 C.f(x)=x3+x D.f(x)=2 A-司 B.0 14.定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R c 有f(x+4)=f(x):②f(x)在[0,2]上是增函 D.1 数；③f(x+2)的图象关于y轴对称.则下列结 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十2) 论正确的是 f,当x∈(2,4)时，f(x)=1+1ogx,则 1 A.f(7)<f(6.5)<f(4.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) f(99)= C.f(4.5)<f(6.5)<f(7) A.1 B.2 D.f(4.5)<f(7)<f(6.5) 15.已知定义在R上的函数f(x+1)为奇函数 C. D.-2 f(x+2)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x) 9.已知奇函数f(x)在R上是减函数，若a= 3x3一3.x,则方程f(x)=一1在[0,99]上的实 根个数为 -f(log）6=f1og号2).c=-f(2-0.8).则 [小题·真题真练] a,b,c的大小关系为 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a A.f(r)=er-z2 x2+1 B.f(r)=cos x+.r2 x2+1 10.(多选)定义在实数集R上的奇函数f(x)满足 f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时，f(x) C.f(x)-e-z x十1 D.f()=sin r+4r elrl 一x,则下列结论正确的是 ( 2.(2024·上海卷)已知f(.x)=x3+a,且f(x)是 A.函数f(x)的最小正周期为2 奇函数，则a B.函数f(x)在[2023,2024]上递增 3.(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)1n 2x-1 2x+1 C.函数f(x)的值域为[一1,1] 为偶函数，则a= D.方程f(x)=log5x有6个根 A.-1 B.0 11.已知函数f(x)=a.x8+x2十b.x-3,且f(10)= c. D.1 6,则f(-10)= 14参考答案 小题·真题真练 :5,C对A:由f(x)为定义在R上的奇函数，故f(0) 1.B对于A,因为M=[一1,1]，所以f(x)<f(1)在（一o,1) 一f(0),即f(0)=0,故A正确： 上恒成立，此时（一1）<「(1)与f(x)是偶函数矛盾，故A 对B:由(x+2)+f(x)=0,则f(x+4)+f(x+2)=0,即 (-1,x<-1 有f(x)=f(x+4), 错误：对于B,不妨取f(x)=x,一1≤x≤1，满足f(x)在x 故「(x)是以4为周期的周期函数，故B正确： 1,x>1 对C:由2024=4×506，∫(2024)=f(0)=0,故C错误： 一2处取到最大值，故B正确：对于C,若存在f(x)在R上 对D:由f(x+2)+f(x)=0,故f(3)+f(1)=0,又f(4)= 单调递增，则对任意x。∈R,当x<x。时都有f(x)<f(xo), f(0)=0,故f(1)十f(3)=f(4),故D正确，故选C 则此时M=R,与M=[一1,1门矛盾，故C错误：对于D,若存 6.AB对于A,f(2023)=f(506×4一1)=「(-1)=f(1) 在f(x)在x=一1处取到极小值，则存在一个8>0，对于任 0,所以A正确； 意x满足0<x+1<8,海有f(-1D<fx).-1-号∈ 对于B,当x∈[0,2]时，∫(x)=2一2单调递增，所以当 x∈[0,2]时，f(x)的值城为[一1,2]，由于函数是偶函数， (-1-0,-1D,而由-1∈M以及M的含义知f(-1-多) f(x)在[一2,0]上的值域也为[一1,2]， 对于C,当x∈[0,2]时，f(x)=2-2单调递增，又f(.x)的 <f(-1),与f(-1)<f(.x)对于任意x满足0<x+1|<8 周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误： 矛盾，故D错误，故选B. 对于D,令f(x)=2一2=0.得x=1,所以f(1)=f(-1) 2.B逻辑分析法+数形结合法图为函数f(x)在R上单调 0,由于f(x)的周期为4，所以f(5)=f(一5)=0，f(3) 递增，且当x<0时，f(x)=一x2-2ar-a,所以f(x)=- f(一3)=0，所以f(x)在「一6,6]上有6个零点，所以D错 x一2ax-a在(-o∞，0)上单调递增，所以-a≥0，即a≤0： 误，故选AB. 当r≥0时，f(x)=e十ln(x+1),所以函数f(x)在[0，+ 7.Af(r)=ln(e+1)+ax的定义城为R, ∞)上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增，则一a f(0)=1,即a≥一1.综上，实数a的取值范围是[一1,0].故 f(-)-In(e+1)-ar-ln()-ar-mn(e+1)- 选B. x一ax,由于f(x)=ln(e十1)十ax为偶函数，故f(一x)= 3.A令g(x)=一(x一1)”，则g(x)开口向下，对称轴为x f(r),In(e'+1)-(1+a)r=In(c'+1)+ar=(1+2a)r 1.周为5-1-(1-)=6空- 2 2 =0,故1十2a=0,解得a=- 2,故选A 而(w6+√3)-42=9+6√2-16=6√2-7>0， 所以-1-(1-）=6->0. 8.B因为fx+2)=-fa,所以fx+4)= f(r+2) -丁=f八x),所以f()是以4为周期的周期画数， -1>1 f(x) 2 所以f(99)=f(3十96)=f(3)=1十10g3=2.故选B. 由二次禹教性质知g()<R()。 9.B奇函数f(.x)在R上是减函数，剥-f(x)=f(一x), 所以a=-f(1og十）=-f-log4)=fog40, 2 2 c=-f24)=f(-2),图为1=1og,3<log4<1og9= 而(W6+√2)2-42=8+45-16=45-8=4(W5-2)<0 中-1<1-号所以g>g. 2,log2<log4号-log(号) =-1,又0<2<2=1， 所以-1<-20.5<0，所以l0g号2<-20<10g4,则 上g竖<g<g. f(log42)>f(-2.)>f(log4),故b>c>a.故选B. 10.BC对于A.因为当r∈[-1.1]时，f(x)=x, 又y=e为增函数，故a<c<b,即b>c>a.故选A. 所以f（一1)=-1，f(1)=1,故f(-1)≠(1)，故A错误： 第7练函数的奇偶性与周期性 对于B,定义在实数集R上的奇函敦f(x)满足f(x十2) 一f(x),所以f(x十2)=一f(x)=一f(x）,则f(x》关于x 小题·分层分练 =1对称，又f(x+4)=一f(.x+2)=f(x),即f(x)的最小 1.B由题意可得，x≠0，f(一r)=一f(x), 正周期为4，则函数f(x)在[2023,2024]上的单调性与 -x+1)(-r+a2--x+1)(x+ [一1,0]单调性相同，由f(x)在[一1,0]上单调递增知， 函数f(x)在[2023,2024]上递增，故B正确： 整理可得，2(a+1)x=0对任意x≠0都成立， 又当x∈[一1,1门时，f(x)=x,结合对称性与周期性作出 .a+1=0,.a=一1.故选B. 函数f(x)的图象，如图， 2.C当xr>0时-x<0,则f(-x)=a(-x)-1=-x-d= 一别日解得=1 y=logslx 28-6A 此时f(r)={x1,x<0 4-X0246￥ y三八x {x+1,x>0 当x<0时一x>0,所以f(一x)=一x十1=一(x一1)= 由图可知函数f(r)的值域为[一1,1门，故迭项C正确： 一f(x),符合题意，所以a=1,故选C. 作出y=og。【x的图象，由图知两函数共有5个交，点，可 3.B由y=f(-x)和y=f(x十2)是偶函数知/（一x)=f(r),且 得方程f(x)=log|x|有5个根，则D错误：故选BC. f(x十2)=f(-x+2).则f(x十2)=f(x-2). 11.解析：令g(x)=ax+hr,h(x)=x2-3,r∈R, ∴.f(x十4)=f(x),则y=f(x)的周期为4. 则g(-x)=一ax3-br=-(ax+br)=-g(x),h(-x) 所以F3)=3+-3》=23)=2-1D=2)-5 =x2-3=h(x), 所以g(x)为奇函数，h(x)为偶函数， 4.C因为f(x)=f(一x-4),所以f(-x)=f(r-4). 又f(r)=g(x)+h(x),且f(10)=g(10)+(10)=6, 又因为f(-x)十f(x-2)=0,所以f(x-4)十f(x-2)=0, h(10)=102-3=97, 所以f(.x-2)+f(x)=0,即f(x-2)=-f(x), 所以g(10)=-91,h(-10)=h(10)=97, 所以f(x一4)=一f(x一2)=f(x),所以茜效f(x)是周期为 又g(-10)=-g(10)=91, 4的函数，在f(一r)十f(r一2)=0中令x=1,得2f(一1) 所以f(-10)=g(-10)+h(-10)=91+97=188. =0,即f(-1)=0, 故答案为：188. 所以f(2023)=f(506×4-1)=f(-1)=0.故选C. 答案：188 123 培优限时练小题突破·数学 12.解析：，f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)十f(2-x) =0,f(x)=-f(2-x)=f(x-2),函数f(x)是以2 _sinx十4虹=一了(x),故f(x)是奇画数，故选B. e 为周翔的周期函数，则了(）=(-4)=（一号） 2.解析：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=一f(x),即(-r 十a=-(x3十a),得a=0. =-f(号)=-R(号)）=-3fg30)=f1g3+ 答案：0 g10)=f(g3+1)=f(lg3-1)=-f(1-g3)= 3.B因为fx)为偶函数，则f(1)=f(-1).(1+a)ln3= -R1-lg3)=0.f(9)+/g30)=-专 1 (-1+a)n3.解得a=0,当a=0时，f(x)=ln2干 2x-1 答案：- (2r-(2r+1)>0,解得x>号或r<-号则共定义越为 13.ABC对于A,在函数f(x)的图象上取A(一1，一1)，B(0,0), C1,1),有f0)=-D,十f①成立，故A正确：对于B. >号我r<-》关于原点对称了(-)=(-) 在函数f(x)的图象上取A(-√2,1)，B(0,1),C(W2.1),有 -(-h=(-n()' f0)=一②)，十fW②成立，故B正确：对于C,在函数 2 h,故花时ú)为祸画数.故选B f(x)的图象上取A(1,2),B(0,0),C(一1，一2)，有f(0)= 第8练指数与指数函数 -1),十f山成立，故C正确：对于D,因为f(x)=2, 小题·分层分练 f+f)-21+2≥v2m2g=24 1.D对A:当n为偶数且a<0时，Va°=|a=一a,故A不 2 2 正确： 2华=（产）又所以f(产) 对B:只有M>0,N>0时，og(MN)=logM+logN才成 立，故B不正确： )十f恒成立，故D错误.故选ABC 对CNatvaiva-√a√a·a=√aa=√·a 14.D由①知函数「(x)的周期为4，由③知f(x十2)是偶函 at,故C不正确： 数，则有f(一x十2)=f(x十2)，即西数「(x)图象的一条对 称轴是x=2,由②知函数「(x)在[0,2]上单调递增，则在 对D:1og2+1og2)·(1og3+log3)=(1og2+号1og2) [2,4门上单调递城，且在[0,4]上越靠近x=2,对应的函数 值越大，又f(7)=f(3),f(6.5)=f(2.5),f(4.5)= f(0.5),由以上分析可得f(0.5)<f(3)<f(2.5),即 f(4.5)<f(7)<f(6.5).故选D. ·品号DE确：故这n 15.解析：画数f(.x十1)为奇函数，即f(x十1)=一f(一x十1)， !2.Ca+a=22, 对称中心为(1,0)，函数f(x十2)为偶函数，即f(x十2) (a+a6)2=8→a+2+aw=8→a+a0=6 f(一x十2)，对称轴为x=2, ∴(a-a6)2=a+aw-2=4, 又由f(x)=-f(-x+2)=一f(x+2)=f(x+4)可得 因为6b>0,所以一b<0→-b<b 函数∫(x)是周期函数，且周期为4， 又0<a<1,a<a,则a一a=-2.故选C 当x∈[0,1]时，f(x)=3x3-3r,则(x)=9.x2-3, 3.A 由指数函数f(x)=(a一1)的图象经过点 令了(x)>0,得<r<1,r)单调递增， a-1=1 （1号)可得。-1D6-专解得82 b=2' 2 令f(x)<0,得0<x ,f(x)单调递减， 所以ab=4,故选A. 所以=(）=3×(）-3×（）=-2 4.Af(-x)=2-2 -x =一f(x),且函数定义域为{x|x≠ 3 作出函数f(x)在区间[0,4]上的图象如下： 0},关于原点对称，所以f(x)为奇函数，排除CD. 当x>0时，2-2>0，所以f(x)>0,排除B,经检验A选 项符合题意.故选A, 5.A由题意可知f(x)的定义战为R,且f(一x) () =() =f(r),所以f(x)为偶函数： 当>0时，函数)=()广)单河递减 即在区间[0,4]上，方程f(x)=一1有4个实根 又99=4×24+3， 若f(2a)<f(a-1)成立，则|2a|>|a-1|,解得a<-1 则方程「(x)=一1在「0,99]上的实根个数为4×24+2 我a>3又a>0,所以正实数a的取值范圈是 =98. 故答案为：98， 答案：98 (合+)故选入 小题·真题真练 6.B当x≥1时，函数f(x)=2一a单调递增，故有f(x)≥ 1B遇解种子A-)--千≠ f(1)=2-a,此时函敛的值战为[2-a,+oo),当r<1时， 画款)-高=2计名单调递减，故有：)<2，此时 故f(x)不是偏函数：对于B.f(-)=os(一)十(-x 2. (-x)+1 函数的值城为(-00,2)，要想画数f(x)=二的 os十工=fx),故f(r)是偶函数：对于C,f(x)的定义城 2-a,x≥1 x2+1 值域为R,只需2一a≤2→a≥0，故选B. 为{xr≠-1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数：对于：7.D由1<l0g3<2,得3<2十log3<4. D,f(-r)= sin(-x）+4(-xl=二sinr-4虹 所以f(2+log3)=f(3+log3)=23*%3=2×2%3=24. e- 故选D. 124