第6练 函数的单调性与最值-【小题突破·大题攻略】2026年高考数学培优限时练

第一部分 专题二 函数、导数及其应用 ....---.- 第6练 函数的单调性与最值 【规律归纳】 [小题·精讲精练] 1.比较大小问题的解题思路 (1)利用函数的单调性判断两个值的大小. [例题讲坛 (2)寻找中间量比较两个数值的大小,经常利用 【例1】函数f(x)=ln(x*-2x-8)的单调递增 1,0,-1等. 区间是 2.已知函数单调性求参数值的解题策略 ) A(-,-2) B.(-0.1) 依据函数的图象或单调性得出含有所求参数的 D.(4,十co) C.(1,+oo) 不等式或方程,解该不等式或方程即可。 [思路引导] 注意求单调区间应该在函数的定 [小题·分层分练] 义域范围内求 [一层·打基础] [解析] 函数有意义,则x2一2x一8>0,解得: 知识点一 函数的单调性(区间) 交 x<一2或x4,结合二次函数的单调性和复合 1.下列函数中,在区间(0,十o)上单调递减的是 函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为 (4.十o). , 作 A.f(c)=-logx B.f(x)=-|x-1l [答案]D C.f(x)-2- D.f(x)--r2十r 【规律归纳】 判断函数单调性的方法 2.函数y一() -十+2 (1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论. 的单调递增区间是( _ (2)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递 A.(1) B.(-) 可 增;图象逐渐下降,单调递减. (3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的 .() D.(2) 判断法则. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性, 知识点二 函数的最值(值域) 此 【例2】已知函数/(x)的定义域为R的奇函数, 3.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最 大值为15 ,则a等于 f(3)一0,对任意两个不等的正实数a,6都有 _ 。 ### ) f(a)-f(b)-0,则不等式f(2-1)<0的解集 1 -6 为 _}# [思路引导] 先根据条件确定函数单调性,然后 画出函数的草图,利用图象解不等式, 4.已知函数f(x)= logx ,实数a,b满足0<a< f(a)一/(b)0等 [解析] 不妨设ab0,则 b且f(a)=f(b),若f(x)在[a^②},b上的最大值 a-b 为2,则a十b的值为 价于f(a)→f(b),所以f(x)在(0,十oo)上单调 知识点三 函数单调性的应用 递增,又函数/(x)为奇函数,所以f(工)在 5.已知函数f(x)三x十a在(一o,一1)上是单调 (一,0),(0,十)上单调递增,.f(3)-0. 函数,则a的取值范围是 ( ) A.(-o0,1] .'./(-3)一0,作出/(x)的图象如下; B(-。,-1] C.[-1,十) D.[1,十) 6.已知函数/(x)-一 cosx十el,则使得f(2a)< f(a一1)成立的正实数a的取值范围为 ) A.) 结合f(x)的图象得不等式f(2-1)<0→2*- B.()# 1<-3或0<2r-1<3 →2<-2或1<2<4.2<2<2,0 C.(-,-1) r~2,故答案为:(0,2). D.(-~,-1)(},+~) [答案] (0.2) 11 培优限时练小题突破·数学 [二层·提考能] ((1-2a),r1. 15.已知函数f(x)一 7.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,十co)上单 对于任意 调递增的是 -_ ) A.-2+: f(.x)一f(xg) 实数x1,x,当x口1去r2时, B.y-cosx <0. r1-x2 C.-2 D.y-log|xl 则a的取值范围是 ,~_ _ 8.已知f(x)是定义在B上的偶函数,且在区间 A.(0 B.[, [0.十o)上递增:若实数a满足/(loga)十 - C.(0 f(loga)<2f(1),则a的取值范围是 D.1, A.,1 B.[1,2] 16.已知函数f(x)=x2-4x+10,g(x)=2+$ C.2 D.(0,2] log(x2+12)+m2-3m,若对任意x1[0,4]. 总存在x2E[2,4],使f(x1)>g(x2)成立,则 9.设函数f(x)=a-log-(x+1)(a>0且a去1) 实数n的取值范围为 在[0,2]上的最大值和最小值之和为a2,则a的 17.(多选)对于定义域为D的函数f(x),若存在区 值为 ( ) 间[n,n]二D,同时满足下列条件: ①f(x)在[n,n]上是单调的,②当定义域是 [m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[n,n D.3 为该函数的“和谐区间”,下列函数存在“和谐区 间”的是 ( _→ 10.已知函数/(x)-ax2-2x十a,对xe [,2]都有 A.f(x)-3 f(x)一0成立,则实数a的取值范围是 ) C./(x)-e-1 B.~) D. f(x)-lnx+2 A.[1,十) [小题·真题真练] C.[1 D.(- 1.(2024·上海卷)已知定义在B上的函数f(x). 11.(多选)已知函数f(x)-2. 集合M=xo对于任意xE(-oo,xo),f(x) ,则 t,_s f(xo)),在使得M-[-1,1]的所有f(x)中,下 A.f(x)的定义域为xx≠一1 列说法成立的是 _ ) B.f(x)+/()-2(x≠0) A.存在/(x)是偶函数 B.存在f(x)在x一2处取到最大值 C. f(x)在区间(一1,十oo)上单调递增 C.存在/(x)在R上单调递增 D. f(x)的值域为R D.存在f(x)在x三一1处取到极小值 12.求函数f(x)= 一x2+4x+5 的单调增区间为 2.(2024·新课标全国I卷)已知函数f(x) [-2-2ax-a,r<o 13.已知函数f(x)=e一e十x,则不等式 在R上单调递增,则a的 e十ln(x十1),x>0 f(2m-2)+f(m+1)>0的解集为 -_ 取值范围是 [三层·早拔尖] A.(-o,0] B.[-1,0] 14.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意实 C.[-1,1] D.[o,+o) 数x,y满足f(x十y)=f(x)+f(y)+2,且 3.(2023·全国甲卷(文))已知函数f(x) ( f(2)一0,则下列结论正确的是 ) #(-#记-/(^),()#c#(^) A./(0)--2 B.f(-4)=-6 _ _ A.b>c>a C.f(x)十2为奇函数 B.ba>c D. f(x)为R上的减函数 C.c>>a D.c>a>b 12参考答案 1 1 2.解析:由知(-()+2-#(- 9.B 因为/(r十2)= #G),所以f(x+4)=一 /(十2)= #-1-#以#()#]7-# ## 当x 1时,由1< (x)<3可得1<-r+2<3 所以f(99)-f(3+96)-f(3)-1+log3-2.故选B. 所以-1r<1. r (2-)+2f(2-(2-x))-2-r 1-1. 所以1<2+ ③.1<f(x)<3等价于-1<<2+ 3 答为3) 所以[a,b][-1,2+3],所以b-a的最大值为3+3. [()+2f(2-)-1-1 答案 3+3 联立方程组 r 1 ,解得f(x)一 /(2-)+2f(x)--1 第6练 函数的单调性与最值 ##(-1-)所以/(3)- _.故选B. 小题·分层分练 1.C 函数f(x)一一loglx在区间(0,十o)上单调递增,A不 11.解析:当x<0时,f(x)=x十1<1得x<0. 是;画数/()--1x-1|- --11 {-.r十1r1 ..r0 1在(0,1]上单调 当$x>0时,f(r)-ln(r+1)<1,得-1<x<e-1,所以$ 递增,B不是;函数f(x)-2在(0,十oo)上单调递减,C <。-1. 综上:/(x)<1的解集为(-x,e-1]. 故答案为:(-,e-1. 选C 答案:(-,e-1] 2.C 函数y-()是实数集上的减画数,因为二次函数y 12.解析:如图,画出函数/(工)= --十x十2的开口向下,对称轴为x-,所以二次画数 可知函数f(x)是增函数,若f(t十1) =-^*十x十2在(-,吾)时单调递增,在(,+)时 f(2-4),则只需要1十1>21-4,解得 <5. 单调递减,由复合函数的单调性,可得函数y-() 答案:(<5 13.A 令x =x。=1,则f(1)-f(1)+f(1)-2,解得f(1)= 的单调递增区间是(吾,+。o),故选C. 3.C 由函数f(x)=-r*-2r+3=-(x+1)+4,对称轴的$ 得/(1)十f(|)-4,所以/()+f()+f()+/(1) 方程为x=-1, 当a一1时,则x一一1时,函数/(x)取得最大值4,不满足 +f(2)+f(4)+f(8)-3×4+2-14,故选A. 题意; 14.解析:令y=2,得f(2x)-f(x)十f(2)-f(x)+1. 当一1<a<2时,可函数/(x)在区间[a,2]上单调递减, 所以f(2)=f(1)十1-1,解得f(1)-0, 所以当x一a时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(a) (1)-/()+1-0,解得/()--1. -或一 2(舍去).故选C. 4.解析:如图,因为0<a~/, 故答案为:-1. ? 且f(a)-f(b),所以0<a 答案:-1 y=llngx_ 1<b,所以0<a<a,又函 15.BCD 函数f(x)的定义域为D.VxED.3yED,使得 数f(x)= |logxl在 f(y)一一f(x)成立,所以函数f(x)的值域关于原点对称。 [0,1]递减, 对于选项A,函数f(x)一r*的值域为0,+c),不关于原 所以:f(a)>f(a)-f(b). 点对称,不符合题意: 故f(a)-2→loga--2 o a1b 对于选项B,函数/(x)-1 -的值域为(-oo,0)U(0.十o) 关于原点对称,符合题意; #(a)-/()- log:寸-1,由/(6)-logtb-1→6-2. 对于选项C,函数/(x)一ln(2x十3)的值域为R,关于原点 对称,符合题意; 对于选项D,函数f(x)一2x十3的值域为R,关于原点对 故答案为 称,符合题意,故选BCD. 16.解析:/(-2)--(-2)-2X(-2)+1-1. 答案 则/(/(-2))-/(1)-2-2. 令n-f(a),则f(m)-4. 5.A [/()-/x+a.x>-a. 当n0时,由2”-4,解得n-2. -r-a.r-a. 由题意知一a一-1,即a<1. 当m 0时,-n-2m+1-4.即n^{}+2m+3-0.此方程 故选A. 6.B 无实数解,故f(a)一2,当a>0时,由2-2,解得a-1. 由题知f(x)的定义域为R,且f(一x) 当a<0时,由-a?-2a十1-2,解得a--1. os(一#)+ecos+el=f(x), 综上知a-士1. 答案:2 士1 所以/(r)为偶画数。 小题·真题真练 1.解析:因为30,所以f(3)-3. 所以函数f(x)在(0,十)上单调递减,在(一o,0)上单调 答案.3 递增. 121 培优限时练小题突破·数学 所以若f(2a)<f(a-1)成立,则需{ |2a|>la-1l 解得 由 f(2m-2)+f(m+1)>0 得:f(2m-2) 0. 一f(m+1)=f(-m-1). _.故选B. .2m-2-m-1,解得:m1 3 7.D对于选项A,当r-1时,y-1+1-2,当x =-1时,y 'f(2m-2)+f(m+1)>0的解集为(,+o). 1-1-0,即/(一1)-f(1),所以选项A不满足题意, 对于选项B,因y一cosx在区间(0,十oo)上不单调,所以选 故答案为:(,。). 项B不满足题意, 对于选项C,因为y一2图象不关于y轴对称,所以选项C 答案:(,十) 不满足题意: 对于选项D,因为y=loglx 的定义域为(-oo,0)U(0,+oo), 14.ABC A:令x=y=0,代入f(r+y)=f(x)+f(y)+2. 关于原点对称, 得f(0)-2/((0)+2,解得f(0)--2,故A正确; 又f(-x)=log |-x |=log |x =f(x),所以y= B:令x-2,y=-2,代入f(x+y)=f(r)+f(y)+2. log。x|为偶函数, 得f(0)=f(2)+f(一2)+2,又f(2)-0,所以f(-2) 当r0时,y-log xl-logx,又y-logx在区间 一4;令x=y=2,代入f(x+y)=f(x)+f(y)+2,得f(4) (0.+)上单调递增,所以选项D满足题意, -2f(2)+2-2,令x=4,y=-4,代入f(+y)=f(x)+ 故选D. f(y)+2,得f(0)-f(4)+f(-4)+2,所以f(-4)=-6, 8.C 由题意,f(x)为R上的偶函数,f(loga)十f(-loga)< 故B正确: 2f(1),即2f(loga) 2f(1),所以f(llogal)</(1),由 C.令y=一x,代入f(x+y)=f(x)+f(y)+2,得f(0) f(r)在[0,+o)上递增,得llogal1,即-1log:a 1,所 f(x)+f(-r)+2,则f(x)+2十f(-x)+2-0,所以函数 以<2 f(x)十2为奇函数,故C正确: D:由选项AB知,f(0)=-2.f(一2)=-4.则f(0)> 9.B 由换底公式可得/(x)-a十log(x十1),又y=a*与y /(一2),所以函数f(x)不为R上的减函数,故D错误,故 -log(r十1)在区间[0,2]上具有相同的单调性,故f(x)在 选ABC. [0.2]上单调递增或单调递减,f(x)在[0,2]上的最值分别 为f(0),f(2),故f(0)+f(2)=1十a+log.3,由题意1十 】一): ..f(x)是R上的减函数, a*+log.3-a^{},解得a-.故选B. ((1-2a),x1. (01-21. 0<a~1. 10.A 由题意知画数/(x)-ax*-2x十a,对xe[,2都有 “/()一 #1g#. 1-2a>; f(r)0成立, .<故选A. 即a^{-2x+a>0对xe[,2]成立, 即a22 16.解析:对任意x2.[0,4],总存在x。[2,4],使f(x) g(r:)成立. 对x[o,4.[2,4,fr)g(x).成立 设g(x)-+1,由于8(x)#+-在[1 1]上单调递 .f(x)--4r+10=(-2)+6.当x[0,4]时. f(r)=/(2)-6. 减,在[1,2]上单调递增, ,g(x)-2+log(r+12)+m-3m在[2,4]上是增 函数, 则8mn(x)-2,则2 '当x。[2,4]时,g(x。)i-g(2)-2+log(2+12) +n-3m-m*-3m+8. 故a二1,即实数a的取值范围为[1,+o),故选A. '6n-3n+8..m-3m+2 0. 11.ABC 由函数/(x)-2 2,可知文+1-0,解得x≠-1. ·(n-1)(m-2)<0...1m2. 故实数m的取值范围为[1,2. 所以函数的定义域为x|x去一1),故A正确; 故答案为:[1,2. 答案:[1,2] 22(x+1) 17.ABD对于A,y=t*在R上单调递增,若存在区间[n =十1+1 r十1 一2,故B正确: 区间[-1,0],[-1,1],[0,1]满足条件,所以A存在“和谐 ,所以当: 区间”;对于B,f(t)-3-2在(-o0,0)和(0.+)上单 r十1 (一1,十o)时,/(x)单调递增,故C正确; 二n. 由/(x)-2-2 可知,f(x)学2,故函数值域不为R.故D 调递增,设nn~0或0mn,满足 解得 错误.故选ABC. 12.解析:/(x)= 一r+4x+5= {m=1所以存在区间[1,2]满足条件,所以B存在“和谐 ((x-2)-9,x5或x-1 ,画出 n-2. (-(-2)+9-1<x<5 区间”;对于C,y-e*一1在R上单调递增,若存在区间 函数图象(如图所示) 结合图象得函数f(x)的单调递增区 。-1-, 间为[一1,2]和[5,十). 根,但函数y一e的图象与直线y一x十1相切于点(0,1). 故答案为:[一1,2]和[5,十). 所以e一x十1没有两个不等实数根,所以C不存在“和谐 答案:[一1,2]和[5,十) 区间”;对于D,y-lnx+2在(0,十o)上单调递增,若存在 13.解析:.f(x)的定义域为R,f(一x)=e一一1=一f(x). |lnm十2-m,即lnx+2-x有两个 ./(x)为定义在R上的奇函数; :y-e与y=工均为R上的增函数,y=c为R上的减 不等实数根,转化为lnx一x一2,即y-lnx的图象与直线 数, y一r一2有两个不同的交点,易知满足条件,所以D存在 ./(x)为定义在R上的增函数; “和谐区间”,故选ABD. 122 参考答案 小题·真题真练 15.C 对A:由f(x)为定义在R上的奇函数,故f(0) 1.B 对于A,因为M=[-1,1],所以f(x) f(1)在(-,1) 一f(0),即/(0)一0,故A正确; 上恒成立,此时/(一1) /(1)与/(r)是偶函数矛盾,故A 对B:由f(r+2)+f(r)=0,则 f(r+4)+f(x+2)=0,即 (-1,<-1 有f(x)=f(x十4), 错误;对于B,不妨取f(x)=x,-1<x 1,满足f(x)在r 故/(r)是以4为周期的周期函数,故B正确; 1.x>1 对C:由2024-4X506,/(2024)-f(0)-0,故C错误; 一2处取到最大值,故B正确:对于C,若存在f(x)在R上 对D:由f(r+2)十f(x)=0,故f(3)十f(1)=0,又f(4) 单谓递增,则对任意x。R,当x<工。时都有f(x)<f(x。). ((0)=0,故((1)十/(3)=f(4),故D正确,故选C. 则此时M-R,与M一[-1.1]矛盾,故C错误;对于D,若存 6.AB 对于A.f(2023)-f(506X4-1)-f(-1)=f(1)- 在f(x)在1一-1处取到极小值,则存在一个80,对于任 0.所以A正确; 对于B,当x[0,2]时,f(r)-2-2单调递增,所以当 x[0,2]时,f(x)的值域为[一1,2],由于函数是偶函数, f(x)在[-2,0]上的值域也为[-1,2], 对于C,当x[0,2]时,f(x)一2-2单调递增,又f(x)的 <f(-1),与f(-1)<f(x)对于任意x满足0<|x+1l<》 周期是4,所以f(x)在[4,6]上单调递增,所以C错误; 矛盾,故D错误,故选B. 对于D,令f(x)=2-2-0,得x=1,所以f(1)=f(-1) 2.B 逻辑分析法十数形结合法 因为&数f(x)在R上单调 递增,且当x<0时,f(x)--r”-2ar-a,所以f(x)-- 0.由于f(x)的周期为4,所以f(5)一f(-5)一0,f(3) f(一3)一0,所以f(x)在[一6,6]上有6个零点,所以D错 r-2ax-a在(-oo,0)上单调递增,所以一a→0,即a 0; 误,故选AB. 当x0时,f(x)=e+ln(r十1),所以函数f(x)在[0,十 7.A f(x)-ln(e+1)+ax的定义域为B. )上单调递增:若函数f(x)在R上单调递增,则一a< f(0)-1,即a二一1.综上,实数a的取值范围是[一1,0].故 f(-x)-ln(e+1)-ax-ln 选B. 3.A 令g(x)=-(x-1){,则g(x)开口向下,对称轴为x= r-ax,由于f(x)一ln(e十1)十ax为偶函数,故f(一x)= #$.1-(#})# f(x),即ln(e +D)-(1+a)x=ln(e +1)+ax→(1+2a)x -0.故1+2a-0,解得a--1. 故选A. 而6+③) -4-9+6v2-16=62-70. 1 .所以f(x十4)-一 8.B 因为/(r十2)一- 1 (2) ##1# -/(c),所以f(i)是以4为周期的周期画数, /(G) 由二次数性质知()#之(#) 所以f(99)-f(3+96)-f(3)=1+log3-2.故选B. 9.B 奇函数f(x)在R上是减函数,则一f(x)一f(一x). #为#1-(1})##### 所以a--/(log )--f(-log:4)-/(log:4), =-f(2*)-/(-2-o*),因为1-log,3<log。4<log9= 而+②)-4-8+4③-16-43-8-4 ③-2 0. 、10 2<logy一lo8({) #一) =-1,又0 2 2-1. 所以-1<-2*<0,所以log2<-2*<log 4,则 综上,#)#_)_#) f(log2)f(-2)f(log4),故bca.故选B. 10.BC 对于A,因为当x[-1.1]时,/(x)=x, 又y=e为增函数,故a<cb,即bc>a.故选A. 所以f(-1)一一1,f(1)-1,故f(-1)/(1),故A错误; 第7练 函数的奇偶性与周期性 对于B,定义在实数集B上的奇函数f(x)满足f(r十2) 一f(c),所以f(x十2)=一f(x)=一f(x),则f(x)关于x 小题·分层分练 -1对称,又f(x+4)=一f(x+2)=f(x),即f(r)的最小 1.B 由题意可得,x0,f(一x)一一f(x), 正周期为4,则函数f(工)在[2023,2024]上的单调性与 .(-+1)(-r+a)(r+1)(x十a) [一1,0]单调性相同,由f(x)在[一1,0]上单调递增知, 函数f(x)在[2023,2024]上递增,故B正确; 整理可得,2(a十1)x-0对任意x-0都成立, 又当x[一1,1]时,f(x)一1,结合对称性与周期性作出 '.a+1-0..a--1.故选B. 函数f(x)的图象,如图: 2.C 当x>0时-x<0,则f(-x)-a(-x)-1=-x-a= r-log_lx ##### ___ 此时/(c)-/x-1,r<。 r十1xo' 当x<0时-x>0,所以f(-x)=-x+1=-(x-1)- 由图可知函数f(x)的值域为[一1,1],故选项C正确; 一f(x),符合题意,所以a一1.故选C. 作出y一log。 |x 的图象,由图知两函数共有5个交点,可 3.B 由y-/f(一x)和y-/(r十2)是偶函数知/(一x)一/(x),且 得方程f(x)一log。 x |有5个根,则D错误;故选BC. f$x+2)-f(-x+2),则f(r+2)=f(r-2). 11.解析:令g(x)=ar+bx,h(r)-x”-3,xER. '.f(x十4)一/(x),则v=f(x)的周期为4. 则g(-r)=-ax-br=-(ax+bx)=-g(x),h(-) 所以F(3)-f(3)+f(-3)-2f(3)-2f(-1)-2/(1)-2-r -r-3-h(x). 所以g(r)为奇函数,h(r)为偶函数, 4.C 因为f(x)=f(一x-4),所以f(一x)-f(x-4). 又/(x)=g(x)十h(x),且f(10)=g(10)+h(10)=6 又因为f(-x)+f(x-2)=0,所以f(r-4)+f(x-2)=0. h(10)-10-3-97. 所以f(x-2)+f(x)-0,即f(x-2)--f(x). 所以g(10)--91,h(-10)-h(10)-97. 所以f(x一4)一一f(x一2)一f(x),所以涵数f(x)是周期为 又g(-10)--g(10)-91. 4的函数,在f(一x)十f(x-2)-0中令x-1,得2f(-1) 所以f(-10)-g(-10)+h(-10)-91+97-188. -0.即/(一1)-0. 故答案为:188. 所以f(2023)-f(506×4-1)=f-1)-0.故选C 答案:188 123